考研數(shù)學(xué)二(矩陣)模擬試卷28(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷28(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．設(shè)A，B均為n階矩陣，則必有()A．｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。B．AB=BA。C．｜AB｜=｜BA｜。D．(A+B)—1=A—1+B—1。正確答案：C解析：因?yàn)椋麬B｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜B｜=｜BA｜，所以C項(xiàng)正確。取B=一A，則｜A+B｜=0，而｜A｜+｜B｜不一定為零，故A項(xiàng)錯(cuò)誤。由矩陣乘法不滿足交換律知，B項(xiàng)不正確。因(A+B)(A—1+B—1)≠E，故D項(xiàng)也不正確。故選C。知識(shí)模塊：矩陣2．設(shè)A，B均為n階可逆矩陣，則下列等式中必定成立的是()A．(A+B)(A—B)=A2一B2。B．(A+B)—1=A—1+B—1。C．｜A+B｜=｜A｜+｜B2。D．(AB)*=B*A*。正確答案：D解析：根據(jù)伴隨矩陣的定義可知(AB)*=｜AB｜(AB)—1=｜A｜｜B｜B—1A—1=B*A*。故選D。知識(shí)模塊：矩陣3．設(shè)A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣。若A3=D，則()A．E一A不可逆，E+A不可逆。B．E—A不可逆，E+A可逆。C．E一A可逆，E+A可逆。D．E—A可逆，E+A不可逆。正確答案：C解析：已知(E一A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E，故E—A，E+A均可逆。故選C。知識(shí)模塊：矩陣4．設(shè)A，B均為n階矩陣，且AB=A+B，則①若A可逆，則B可逆；②若B可逆，則A+B可逆；③若A+B可逆，則AB可逆；④A一E恒可逆。上述命題中，正確的個(gè)數(shù)為()A．1。B．2。C．3。D．4。正確答案：D解析：由AB=A+B，有(A—E)B=A。若A可逆，則｜(A—E)B｜=｜A—E｜×｜B｜=｜A｜≠0，所以｜B｜≠0，即矩陣B可逆，從而①正確。同①類似，由B可逆可得出A可逆，從而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故②正確。因?yàn)锳B=A+B，若A+B可逆，則有AB可逆，即③正確。對(duì)于④，用分組因式分解，即AB一A一B+E=E，則有(A—E)(B一E)=E，所以得A—E恒可逆，④正確。故選D。知識(shí)模塊：矩陣5．設(shè)A為n階可逆矩陣，且n≥2，則(A—1)*=()A．｜A｜A—1。B．｜A｜A。C．｜A—1｜A—1。D．｜A—1｜A。正確答案：D解析：根據(jù)伴隨矩陣的定義可知(A—1)*=｜A—1｜(A—1)—1=｜A—1｜A。故選D。知識(shí)模塊：矩陣6．設(shè)則必有()A．AP1P2=B。B．AP2P1=B。C．P1P2A=B。D．P2P1A=B。正確答案：C解析：由于對(duì)矩陣Am×n施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)Am×n作一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣。經(jīng)過(guò)觀察A，B的關(guān)系可以看出，矩陣B是矩陣A先把第一行加到第三行上，再把所得的矩陣的第一、二兩行互換得到的，這兩次初等變換所對(duì)應(yīng)的初等矩陣分別為題中條件的P2與P1。故選C。知識(shí)模塊：矩陣7．設(shè)n階矩陣A，B等價(jià)，則下列說(shuō)法中不一定成立的是()A．若｜A｜＞0，則｜B｜＞0。B．如果A可逆，則存在可逆矩陣P，使得PB=E。C．如果A與E合同，則｜B｜≠0。D．存在可逆矩陣P與Q，使得PAQ=B。正確答案：A解析：兩個(gè)矩陣等價(jià)的充要條件是兩個(gè)矩陣的秩相同。當(dāng)A可逆時(shí)，r(A)=n，所以r(B)=n，即B是可逆的，故B—1B=E，選項(xiàng)B成立。矩陣的合同是一種等價(jià)關(guān)系，若A與E合同，則r(A)=r(B)=n，由選項(xiàng)B可知，選項(xiàng)C成立。矩陣A，B等價(jià)的充要條件是存在可逆矩陣P與Q，使得PAQ=B，選項(xiàng)D成立。事實(shí)上，當(dāng)｜A｜＞0(即A可逆)時(shí)，我們只能得到｜B｜≠0(即B可逆)。故選A。知識(shí)模塊：矩陣8．設(shè)A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，若AB=E，則()A．r(A)=m，r(B)=m。B．r(A)=m，r(B)=n。C．r(A)=n，r(B)=m。D．r(A)=n，r(B)=n。正確答案：A解析：因?yàn)锳B=E，所以r(AB)=m。又r(AB)=m≤min{r(A)，r(B)}，即r(A)≥m，r(B)≥m，而r(A)≤m，r(B)≤m，所以r(A)=m，r(B)=m。故選A。知識(shí)模塊：矩陣填空題9．設(shè)α，β均為三維列向量，βT是β的轉(zhuǎn)置矩陣，如果αβT=，則αβT=______。正確答案：5解析：設(shè)α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，則αβT=而有αTβ=(a1，a2，a3)=a1b1+a2b2+a3b3，可以看出αTβ就是矩陣αβT的主對(duì)角線元素的和，所以αTβ=1+6+(一2)=5。知識(shí)模塊：矩陣10．設(shè)α=(1，2，3)T，β=(1，，0)T，A=αβT，則A3=______。正確答案：解析：A=αβT=，又因?yàn)棣娄罷=，且矩陣的乘法滿足結(jié)合律，所以A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βTα)(βTα)βT=4αβT=4A=。知識(shí)模塊：矩陣11．設(shè)方陣A滿足A2一A一2E=O，并且A及A+2E都是可逆矩陣，則(A+2E)—1=______。正確答案：一(A一3E)解析：由A2一A一2E=O，可得(A+2E)(A一3E)=一4E，于是有(A+2E)—1(A+2E)(A一3E)=一4(A+2E)—1，因此(A+2E)—1=一(A一3E)。知識(shí)模塊：矩陣12．設(shè)A，B均為三階矩陣，E是三階單位矩陣，已知AB=2A+3B，A=，則(B一2E)—1=______。正確答案：解析：利用已知條件AB=2A+3B，通過(guò)移、添加項(xiàng)構(gòu)造出B一2E，于是有AB一2A—3B+6E=6E，則有(A一3E)(B一2E)=6E。從而(B一2E)—1=知識(shí)模塊：矩陣13．設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*=，則A=______。正確答案：解析：由AA*=｜A｜E可得A=｜A｜(A*)—1，對(duì)等式兩端取行列式并結(jié)合已知條件，可得｜A*｜=一8=｜A｜3，因此｜A｜=一2，又所以A=｜A｜(A*)—1=知識(shí)模塊：矩陣14．已知，矩陣X滿足A*X=A—1+2X，其中A*是A的伴隨矩陣，則X=______。正確答案：解析：左乘矩陣A，并把等式AA*=｜A｜E代入已知矩陣方程，得｜A｜X=E+2AX，移項(xiàng)可得(｜A｜E一2A)X=E，因此X=(｜A｜E一2A)—1。已知｜A｜=4，所以X=(4E一2A)—1=知識(shí)模塊：矩陣15．設(shè)三階方陣A，B滿足A—1BA=6A+BA，且，則B=______。正確答案：解析：將A—1BA=6A+BA變形可得(A—1一E)BA=6A，即B=6(A—1一E)—1。又因?yàn)锳—1=，A—1一E=，所以知識(shí)模塊：矩陣16．設(shè)矩陣，則A3的秩為______。正確答案：1解析：依矩陣乘法直接計(jì)算得A3=故r(A3)=1。知識(shí)模塊：矩陣17．設(shè)A是4×3矩陣，且A的秩r(A)=2，而，則r(AB)=______。正確答案：2解析：因?yàn)樗跃仃嘊可逆，因此r(AB)=r(A)=2。知識(shí)模塊：矩陣18．設(shè)，B是三階非零矩陣，且AB=O，則a=______。正確答案：解析：因?yàn)锳B=O，則有r(A)+r(B)≤3，又已知矩陣B≠O，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，則行列式｜A｜=0。而所以。知識(shí)模塊：矩陣解答題解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。19．已知，求An。正確答案：首先觀察由此推測(cè)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明此結(jié)論成立。當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)n=k時(shí)成立，則n=k+1時(shí)，Ak+1=Ak·A=由數(shù)學(xué)歸納法知涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣20．已知PA=BP，其中，求A2008。正確答案：｜P｜=6，則矩陣P可逆。由PA=BP，可得A=P—1BP，于是A2008=P—1B2008P。又因?yàn)锽2008==E，所以A2008=P—1P=E。涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*，證明：21．若｜A｜=0，則｜A*｜=0；正確答案：假設(shè)｜A*｜≠0，則有A*(A*)—1=E。又因?yàn)锳A*=｜A｜E，且｜A｜=0，故A=AE=AA*(A*)—1=｜A｜E(A*)—1=0，所以A*=O。這與｜A*｜≠0矛盾，故當(dāng)｜A｜=0時(shí)，有｜A*｜=0。涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣22．｜A*｜=｜A｜n—1。正確答案：由于AA*=｜A｜E，兩端同時(shí)取行列式得｜A｜｜A*｜=｜A｜n。當(dāng)｜A｜≠0時(shí)，｜A*｜=｜A｜n—1；當(dāng)｜A｜=0時(shí)，｜A*｜=0。綜上，有｜A*｜=｜A｜n—1成立。涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣23．設(shè)A為n階可逆矩陣，A*為A的伴隨矩陣。證明(A*)T=(AT)*。正確答案：因?yàn)锳可逆，所以｜A｜=｜AT｜，且AA—1=E。在AA—1=E兩邊同時(shí)取轉(zhuǎn)置可得(A—1)TAT=E，即(AT)—1=(A—1)T，所以(A*)T=(｜A｜A—1)T=｜A｜(A—1)T=｜AT｜(AT)—1=(AT)*。涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣24．設(shè)A為n階方陣，且n≥2。證明｜A*｜=｜(一A)*｜。正確答案：方法一：設(shè)A=(aij)，｜A｜中元素aij的代數(shù)余子式為Aij，則｜一A｜中一aij的代數(shù)余子式Bij=(一1)n—1Aij。于是，(一A)*=(一1)n—1A*。所以｜(一A)*｜=｜(一1)n—1A*｜=[(一1)n—1]n｜A*｜=｜A*｜。方法二：若A不可逆，則(一A)和A*也不可逆，從而(一A)*也不可逆，故｜A*｜=｜(一A)*｜=0。若A可逆，則由AA*=｜A｜E可得(一A)(一A)*=｜—A｜E，于是(一A)*=｜—A｜(一A)—1=(一1)n｜A｜·(一1)A—1=(一1)n—1A*，故有｜(一A)*｜=｜(一1)n—1A*｜=(一1)(n—1)n｜A*｜=｜A*｜。涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣已知A為n(n≥3)階非零實(shí)矩陣，Aij為A中元素aij的代數(shù)余子式。證明：25．a(chǎn)ij=Aij＜=＞ATA=E，且｜A｜=1；正確答案：當(dāng)aij=Aij，有AT=A*，則ATA=A*A=｜A｜E。由于A*為n階非零實(shí)矩陣(aij不全為零)，所以tr(ATA)=aij2＞0，tr(ATA)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，故｜A｜＞0。在ATA=｜A｜E兩邊取行列式，得｜A｜n—2=1，從而｜A｜=1。反之，若ATA=E且｜A｜=1，則A*A=｜A｜E=ATA，于是AT=A*，即aij=Aij。涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣26．a(chǎn)ij=一Aij＜=＞ATA=E，且｜A｜=一1。正確答案：當(dāng)aij=一Aij時(shí)，有AT=一A*，則ATA=一A*A=一｜A｜E，此時(shí)n｜A｜tr(一ATA)=一aij2＜0，即｜A｜＜0。在ATA=一｜A｜E兩邊取行列式，得｜A｜=一1。反之，若ATA=E且｜A｜=一1，則A*A=｜A｜E=一E=一ATA=(一AT)A，于是AT=一A*，即aij=一Aij。涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣27．設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*=，且ABA—1=BA—1+3E，其中E為四階單位矩陣，求矩陣B。正確答案：AA*=A*A=｜A｜E，知｜A*｜=｜A｜n—1，因此有8=｜A*｜=｜A｜3，于是｜A｜=2。在等式ABA—1=BA—1+3E兩邊先右乘A，再左乘A*，得2B=A*B+3A*A，即(2E—A*)B=6E。于是B=6(2E—A*)—1=涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣28．已知矩陣A的伴隨矩陣A*=diag(1，1，1，8)，且ABA—1=BA1+3E，求矩陣B。正確答案：在A*=｜A｜A—1兩端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A—1｜=｜A｜3，因?yàn)锳*=diag(1，1，1，8)，所以｜A*｜=8，即｜A｜=2。由ABA—1=BA—1+3E移項(xiàng)并提取公因式得(A—E)BA—1=3E，右乘A得