高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.3.1數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法1/11（結(jié)論一定可靠，但需逐一查對，實(shí)施較難）（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)覺問題，形成猜測）（1）完全歸納法：考查全體對象，得到普通結(jié)論推理方法。（2）不完全歸納法,考查部分對象,得到普通結(jié)論推理方法。歸納法分為完全歸納法

和不完全歸納法。怎樣處理不完全歸納法存在問題呢？必須尋找一個用有限個步驟，就能處理完無限多個對象方法。

歸納法2/11

在數(shù)學(xué)研究中，人們會碰到這么情況，對于任意正整數(shù)n或大于某個數(shù)n0任意正整數(shù)n，都有某種關(guān)系成立。所以多米諾原理使我們分析出一個主要數(shù)學(xué)推理方法------數(shù)學(xué)歸納法與正整數(shù)相關(guān)命題比如：1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(n∈N+)

n2<2n(n∈N+,N≥5),3/11我們常采取數(shù)學(xué)歸納法來證實(shí)：由不完全歸納法猜測得到一些與正整數(shù)相關(guān)數(shù)學(xué)命題正確性.

（1）證實(shí)當(dāng)n取第一個值n0(比如n0=1)時命題成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N＋

,k≥n0)時命題成立證實(shí)當(dāng)n=k+1時命題也成立。這種證實(shí)方法叫做數(shù)學(xué)歸納法k=2,k+1=2+1=3k=3,k+1=3+1=4…k=10,k+1=10+1=11…數(shù)學(xué)歸納法4/11例:用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí):對一切正整數(shù)n,有1+3+5+??????+(2n-1)=n25/11數(shù)學(xué)歸納法是一個證實(shí)與正整數(shù)相關(guān)數(shù)學(xué)命題主要方法。主要有兩個步驟、一個結(jié)論:

第一步：驗(yàn)證當(dāng)n取第一個值n0（如n0=1或2等）時結(jié)論正確第二步：假設(shè)n=k(k∈N＋，

且k≥n0)時結(jié)論正確，證實(shí)n=k+1時結(jié)論也正確結(jié)論：由（1）、（2）得出結(jié)論正確找準(zhǔn)初值用上假設(shè)寫明結(jié)論數(shù)學(xué)歸納法主要步驟6/11練習(xí):用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)對一切正整數(shù)n

7/11明確初始值n0，驗(yàn)證真假。（必不可少）“假設(shè)n=k時命題正確”，寫出命題形式。證實(shí)“n=k+1時”命題成立。分析“n=k+1時”命題是什么，并找出與“n=k”時命題形式差異，搞清左端應(yīng)增加項(xiàng)。注意用上假設(shè)要作結(jié)論用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)恒等式注意事項(xiàng)：8/11（1）數(shù)學(xué)歸納法是一個完全歸納法證實(shí)方法它適合用于與正整數(shù)相關(guān)問題。（2）兩個步驟，一個結(jié)論缺一不可，不然結(jié)論不能成立。（3）在證實(shí)遞推步驟時，必須使用歸納假設(shè)。遞推基礎(chǔ)不可少歸納假設(shè)要用到結(jié)論寫明莫忘記歸納法完全歸納法不完全歸納法窮舉法數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)收獲9/11思索:數(shù)學(xué)歸納法能證實(shí)全部與正整數(shù)相關(guān)數(shù)學(xué)問題么?四色猜測