函數(shù)及其表示

PAGE1函數(shù)及其表示【目標(biāo)】1、理解映射、函數(shù)的定義、及二者的區(qū)別與聯(lián)系，正確地求出函數(shù)的定義域和值域。2、能用不同的方法表示一個(gè)函數(shù)，及靈活地求函數(shù)的解析式?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：函數(shù)的定義、定義域、值域及求解其解析式的方法。難點(diǎn)：求解函數(shù)的解析式。【內(nèi)容】背景：1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉把函數(shù)定義為：“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)?！痹跉W拉的定義中，就不強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示了。由于函數(shù)不一定要用公式來(lái)表示，歐拉曾把畫在坐標(biāo)系的曲線也叫函數(shù)。他認(rèn)為：“函數(shù)是隨意畫出的一條曲線?！?/p>

當(dāng)時(shí)有些數(shù)學(xué)家對(duì)于不用公式來(lái)表示函數(shù)感到很不習(xí)慣，有的數(shù)學(xué)家甚至抱懷疑態(tài)度。他們把能用公式表示的函數(shù)叫“真函數(shù)”，把不能用公式表示的函數(shù)叫“假函數(shù)”。1821年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西給出了類似現(xiàn)在中學(xué)課本的函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)?！痹诳挛鞯亩x中，首先出現(xiàn)了自變量一詞。映射的定義設(shè)A和B是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素，在集合B中都存在唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，那么，就稱對(duì)應(yīng)為集合A到集合B的一個(gè)映射(mapping).映射是特殊的對(duì)應(yīng)，簡(jiǎn)稱“對(duì)一”的對(duì)應(yīng)。包括：一對(duì)一多對(duì)一注意：為某種對(duì)于關(guān)系集合A中的任意元素（即所有元素）集合B中都存在唯一元素3、函數(shù)的定義設(shè)A和B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，那么，就稱對(duì)應(yīng)為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作。其中叫自變量，的取值范圍A叫函數(shù)的定義域；而與的值相對(duì)應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。函數(shù)是特殊的映射，是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射。那么函數(shù)的值域與集合B的關(guān)系吶？函數(shù)的三要素：（1）定義域（2）值域（3）對(duì)應(yīng)關(guān)系。這是判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)的依據(jù)。注意：函數(shù)是特殊的映射函數(shù)的三要素區(qū)間的概念：設(shè),且.我們規(guī)定：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨函數(shù)的表示方法三種表示方法：（1）解析法（2）圖像法（3）列表法分段函數(shù)：定義域的不同部分，有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)。注意：①分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)。②分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。小結(jié)：（1）若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)），則用待定系數(shù)法；（2）若已知復(fù)合函數(shù)的解析式，則可用換元法或配湊法；（3）若已知抽象函數(shù)的表達(dá)式，則常用解方程組消除參的方法求出。【例題講解】例1設(shè)，,求（1）從M到N的映射種數(shù)；（2）從M到N的映射滿足,試確定這樣的映射的種數(shù).例2已知，,求.例3已知函數(shù)，求（1）函數(shù)的定義域；（2）、的值；（3）當(dāng)時(shí)，求。例4已知：，求的值。例5根據(jù)條件求下列各函數(shù)的解析式：已知是二次函數(shù)，若，求.（2）已知，求（3）若滿足求【過(guò)手練習(xí)】1、下列函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)：（1）（2）（3）2、已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?、求函數(shù)，則的值域?yàn)?、已知函數(shù)滿足，則【拓展訓(xùn)練】1、已知函數(shù)滿足：，，則.2、已知，試求的最大值。3、設(shè)是R上的函數(shù)，且滿足并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，求的表達(dá)式.【課后作業(yè)】（1）已知集合，下面從A到B的對(duì)應(yīng)關(guān)系不是映射的是（）A.B.C.D.（2）已知函數(shù)，那么集合中所含元素的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.0或1D.1或2（3）（2009江西卷文）函數(shù)的定義域?yàn)? （）A．B．C．D．2.函數(shù)，求其定義域和值域. 3.回憶映射、函數(shù)的