遼寧省沈陽(yáng)市2025屆九年級(jí)下學(xué)期中考一模數(shù)學(xué)試卷(含答案)

一．選擇題（共小題，滿分分，每小題3分）13分）的倒數(shù)是（）A．B．C．D．23分）志愿服務(wù)，傳遞愛(ài)心，傳遞文明，下列志愿服務(wù)標(biāo)志為中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．B．C．D．33分）如圖是一個(gè)由6個(gè)相同的正方體組成的立體圖形，它的主視圖是（）A．B．C．D．43分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)6÷a3＝a2Ba+2）2＝a2+4Ca5）2＝a10D．a(chǎn)2+a3＝a553分）函數(shù)的自變量x的取值范圍是（）A．x≠0B．x≥且x≠0C．x＞D．x≥63分）小明根據(jù)演講比賽中九位評(píng)委所給的分?jǐn)?shù)制作了如下表格：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差8.58.38.10.15如果去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，那么表格中數(shù)據(jù)一定不發(fā)生變化的是（）A．平均數(shù)B．眾數(shù)C．中位數(shù)D．方差73分）為加快紅塔區(qū)城市更新改造，全面推進(jìn)全區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，提升城市檔次和品位，2023年4月起，聶耳路（南北大街一棋陽(yáng)路）開(kāi)始封閉施工工程．其中某條地下管線如果由甲工程隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)需要20天，由乙工程隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)需要30天，現(xiàn)計(jì)劃由乙工程隊(duì)先從一端鋪設(shè)5天，然后增加甲工程隊(duì)從另一端和乙工程隊(duì)同時(shí)鋪設(shè)．設(shè)甲乙工程隊(duì)共同鋪設(shè)x天后，恰好完成這條地下管線的鋪設(shè)，則下列方程正確的是（）A．B．C．D．83分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝45°，⊙O的半徑為2，則BC的長(zhǎng)為（）A．2B．C．2D．493分）在盒子里放有分別寫(xiě)有整式2，π，x，x+1的四張卡片，從中隨機(jī)抽取兩張把卡片上的整式分別作為分子和分母，則能組成分式的概率是（）A．B．C．D．103分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2ax﹣a2+3a﹣2（a為常數(shù)）的圖象上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．二．填空題（共5小題，滿分分，每小題3分）3分）未來(lái)三年，國(guó)家將投入8450億元用于緩解群眾“看病難、看病貴”的問(wèn)題．將8450億元用科學(xué)記數(shù)法表示為元．123分）把多項(xiàng)式3ax2﹣3ay2分解因式的結(jié)果是．133分）如圖，原點(diǎn)O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，點(diǎn)A（1，0）與點(diǎn)A′（﹣2，0）是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，△ABC的面積是3，則△A′B′C′的面積是．143分）如圖，直尺經(jīng)過(guò)一副三角板DCB的直角頂點(diǎn)B，若∠C＝30°，∠ABC＝20°，∠DEF的大小為．153分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，4AOB為等邊三角形，M是x軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與原點(diǎn)OAM繞M點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到MN，連接BN，則下列結(jié)論正確的是．①點(diǎn)B的坐標(biāo)是；②△AMN始終是等邊三角形；③在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠ABN的大小可能是80°④連接ON，當(dāng)ON∥AB時(shí)，OM的長(zhǎng)是三．解答題（共8小題，滿分分）1661）計(jì)算：；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝2．178分）北京冬奧會(huì)的開(kāi)幕式驚艷了世界，在這背后離不開(kāi)志愿者們的默默奉獻(xiàn)，這些志愿者很多來(lái)自高校，在志愿者招募之時(shí)，甲、乙兩所大學(xué)就積極組織了志愿者選拔活動(dòng)，對(duì)報(bào)名的志愿者進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試，現(xiàn)從兩所大學(xué)參加測(cè)試的志愿者中分別隨機(jī)抽取了20名志愿者的測(cè)試成績(jī)進(jìn)行整理和分析（成績(jī)得分用x表示，滿分100分，共分成五組：A.0≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100分信息：a．甲校20名志愿者的成績(jī)?cè)贒組的數(shù)據(jù)是：90，91，91，92；b．乙校20名志愿者的成績(jī)是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100；c．甲校抽取志愿者成績(jī)的扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：d．甲、乙兩校抽取的志愿者成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表所示：學(xué)校平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲92a9536.6乙9292.5b29.8根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）由上表填空：a＝，b＝，α＝°．（2）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者參加了此次側(cè)試，估計(jì)甲乙兩校此次參加測(cè)試的志愿者中，成績(jī)?cè)?0分以上的志愿者共有多少人？188分）如圖，反比例函數(shù)y＝的圖象與一次函數(shù)y＝kx+b的圖象交于A（2，5B（n，1）兩點(diǎn)，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與y軸交于點(diǎn)C．（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式與n的值；（2）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出不等式kx+b﹣＞0時(shí)x的取值范圍；（3）若動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，求PA+PB的最小值．199分）如圖1所示的健身器械為倒蹬機(jī)，使用方法為上身不動(dòng)，腿部向前發(fā)力，雙腿伸直之后，然后再慢慢回收．圖2為示意圖，已知DE，DC在初始位置，DE＝DC＝60cm，點(diǎn)B、C、G在同一直線上，AB⊥BG，∠A＝46°，∠DCG＝95°．（1）當(dāng)DE，DC在初始位置時(shí)，求點(diǎn)D到AC的距離；（2）當(dāng)雙腿伸直后，如圖3，點(diǎn)E，D分別從初始位置運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E'，D'，假設(shè)E'、D'、C三點(diǎn)共線，求此時(shí)點(diǎn)Esin41°≈0.66，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87，cos44°≈0.72，sin44°≈0.69，tan44°≈0.97）2010分）剪紙是一種非常普及的中國(guó)民間藝術(shù)，春節(jié)期間，人們都喜歡在窗戶上貼上窗花作為裝飾，不僅烘托了喜慶的節(jié)日氣氛，還為人們帶來(lái)了美的享受，集裝飾性、欣賞性和實(shí)用性于一體．某商家在春節(jié)前夕購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種剪紙進(jìn)行銷(xiāo)售，已知每套甲種剪紙的進(jìn)價(jià)是每套乙種剪紙進(jìn)價(jià)的1.25倍，用400元購(gòu)進(jìn)甲種剪紙的套數(shù)比用400元購(gòu)進(jìn)乙種剪紙的套數(shù)少2套．（1）求這兩種剪紙每套進(jìn)價(jià)分別為多少元？（2）根據(jù)商家的銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，甲種剪紙的銷(xiāo)售量y（套）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系為y＝﹣200x+17000，乙種剪紙的銷(xiāo)售量y（套）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系為y2＝﹣300x+20400．若每套甲種剪紙的售價(jià)同樣是每套乙種剪紙售價(jià)的1.25倍，則甲、乙兩款剪紙的銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少元？2110分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上，EF⊥AD，垂足為G．（1）求證：GF是⊙O的切線；（2）若BF＝1，EF＝，求⊙O的半徑．2212（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下問(wèn)題：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ADC＝90°，∠BAD+∠BCD＝180°，BE⊥AD，垂足是點(diǎn)E．求證：BE＝DE．①如圖2，小明同學(xué)給出如下解法：作CF⊥BE，垂足是點(diǎn)F．②如圖3，小亮同學(xué)給出另一種解題方法：作BF⊥DC，交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題方法，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．【類(lèi)比分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將證明BE與DE的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為BE與另一條線段的數(shù)量關(guān)系；為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，李老師將圖1進(jìn)行變換，并提出了下面問(wèn)題，請(qǐng)你解答．如圖4，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ADC＝90°，∠BAD＝∠BCD，BE⊥AD，交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：CD+AE＝BE．【學(xué)以致用】（3）如圖5，四邊形ABCD中，AB＝BC＝10，∠ADC＝90°，∠BAD和∠BCD都是鈍角，且∠BAD＝∠BCD，CD＝2，點(diǎn)M在AD上，請(qǐng)直接寫(xiě)出BM+CM的最小值．2312分）[綜合探究]運(yùn)用二次函數(shù)來(lái)研究植物幼苗葉片的生長(zhǎng)狀況．在大自然里，有很多數(shù)學(xué)的奧秘．圖1是一片美麗的心形葉片，圖2是一棵生長(zhǎng)的幼苗都可以看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．【探究一】確定心形葉片的形狀（1）如圖3建立平面直角坐標(biāo)系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax﹣4a+1圖象的一部分，已知圖象過(guò)原點(diǎn)，求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；【探究二】研究心形葉片的寬度：（2）如圖3，在（1）的條件下，心形葉片的對(duì)稱(chēng)軸，即直線y＝x+1與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線與x軸交于另一點(diǎn)C，點(diǎn)C，C1是葉片上的一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，CC1交直線AB于點(diǎn)G．求葉片此處的寬度CC；【探究三】探究幼苗葉片的長(zhǎng)度（3）小李同學(xué)在觀察幼苗生長(zhǎng)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax﹣4a+1圖象的一部分；如圖4，幼苗葉片下方輪廓線正好對(duì)應(yīng)探究一中的二次函數(shù)．已知直線PD（點(diǎn)P為葉尖）與水平線的夾角為45°，求幼苗葉片的長(zhǎng)度PD．一．選擇題（共小題，滿分分，每小題3分）題號(hào)12345678910答案CBDCBCDCAB二．填空題（共5小題，滿分分，每小題3分）．8.45×10．12．3a（x+yx﹣y13．12．14．50°．15．①②④．三．解答題（共8小題，滿分分）161）原式＝＝．（2）原式＝＝＝＝，當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝．171）甲校D組所占的百分比：，甲校C組所占的百分比為：1﹣5%﹣5%﹣45%﹣20%＝25%，C組的人數(shù)為20×25%＝5另外A組B組的人數(shù)均為20×5%＝1甲校中位數(shù)是第10和第名志愿者成績(jī)的平均數(shù)，即D組后兩位志愿者成績(jī)的平均數(shù)，∴甲校的中位數(shù)，乙校的志愿者成績(jī)中出現(xiàn)最多的成績(jī)是96，因此眾數(shù)是96，即b＝96．α＝360°×（5%+5%+25%）＝126°，故答案為：91.5，96，126；（2）根據(jù)題意得：甲校20名志愿者成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為：20×（45%+20%）﹣1＝12，乙校20名志愿者成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為13，∴答：估計(jì)此次參加測(cè)試的志愿者中，成績(jī)?cè)?0分以上的志愿者有315人．181）∵點(diǎn)A（2，5）反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴m＝2×5＝10，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝，點(diǎn)B（n，1）代入y＝，得n＝10，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，1∵直線y＝kx+b過(guò)點(diǎn)A（2，5B（10，1∴，解得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x+6；（2）不等式kx+b﹣＞0時(shí)x的取值范圍為：x＜0或2＜x＜10；（3）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接BC交y軸于點(diǎn)P，則PA+PB的最小值等于BC的長(zhǎng)，∵點(diǎn)A（2，5B（10，1∴C（2，﹣5∴BC＝＝10．∴PA+PB的最小值為10．191）如圖2中，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H．∵∠B＝90°，∠A＝46°，∴∠ACB＝44°，∴∠DCH＝180°﹣∠ACB﹣∠DCG＝41°，在Rt△DCH中，DH＝CD?sin41°＝60×0.66≈40（cm∴點(diǎn)D到AC的距離為40cm．（2）如圖3中，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H．∵DE＝DC，DH⊥EC，∴EH＝CH＝CD?cos41°＝60×0.75≈45（cm∵CE′＝120cm，EC＝90cm，∴時(shí)點(diǎn)E上升的豎直高度＝（120﹣90）?sin44°≈21（cm201）設(shè)乙種剪紙每套進(jìn)價(jià)是a元，則甲種剪紙每套進(jìn)價(jià)1.25a元，根據(jù)題意得：+2＝，解得a＝40，經(jīng)檢驗(yàn)，a＝40是原方程的根，此時(shí)1.25a＝50，∴乙種剪紙每套進(jìn)價(jià)是40元，甲種剪紙每套進(jìn)價(jià)50元；（2）設(shè)乙種剪紙每套售價(jià)為x元，則甲種剪紙每套售價(jià)為1.25x元，商家獲得利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意得：w＝（1.25x﹣50200×1.25x+17000）+（x﹣40300x+20400）＝﹣612.5x2+66150x﹣1666000＝﹣612.5（x﹣54）2+120050，∵﹣612.5＜0，∴當(dāng)x＝54時(shí)，w有最大值，最大值為120050，此時(shí)1.25x＝67.5，答：甲種剪紙每套售價(jià)為67.5元，乙種剪紙每套售價(jià)為54元時(shí)，商家可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是120050元．211）證明：連接OE，如圖所示，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴∠CAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠EAB＝∠OEA，∴∠CAE＝∠OEA，∴OE∥AD，∴∠OEF＝∠AGE，∵EF⊥AD，∴∠AGE＝90°，∴∠OEF＝∠AGE＝90°，∴GF是⊙O的切線；（2）解：方法一：∵∠AEO+∠OEB＝90°，∠OEB+∠BEF＝90°，∴∠AEO＝∠BEF，∵∠AEO＝∠OAE，∴∠OAE＝∠BEF，∵∠BFE＝∠EFA∴△EFB∽△AFE，∴＝，∴＝，∴AF＝2，∴AB＝AF﹣BF＝2﹣1＝1，∴⊙O的半徑為．方法二：設(shè)半徑為x，則OF＝x+1，在Rt△OEF中，x2+（）2＝（x+1）2，解得x＝，∴⊙O的半徑為．221）證明：①小明同學(xué)的解法：∵CF⊥BE，BE⊥AD，∴∠BED＝∠CFE﹣90°，∵∠ADC＝90°，∴四邊形CDEF是矩形，∴DE＝CF，BE∥CD，∴∠CBE+∠BCD＝180°，∵∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠CBE，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS∴BE＝CF＝DE；②小亮同學(xué)的解法：∵CF⊥BE，BE⊥AD，∴∠BED＝∠CFE﹣90°，∵∠ADC＝90°，∴四邊形BEDF是矩形，∴DE＝BF，∵∠BCF+∠BCD＝180°，∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠BCF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（AAS∴BE＝BF＝DE；（2）證明：如圖4，作BG⊥DC交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠BGD＝90°，∵BE⊥AD，∴∠BED＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠BED＝∠GDE＝∠BGD＝90°，∴四邊形BEDG是矩形，∴BE＝DG，∵∠BCD+∠BCG＝180°，∠BAD+∠BAE＝180°，又∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAE＝∠BCG，∵AB＝BC，∠BEA＝∠BGC＝90°，∴△ABE≌△CBG（AAS∴AE＝CG，∵DG＝CG+CD，∴CD+AE＝BE；（3）解：BM+CM的最小值為；理由如下：如圖5，過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作BG⊥DC交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠BGD＝90°，由（2）可得四邊形BEDG是矩形，△ABE≌△CBG，∴BE＝BG，AE＝CG，∴四邊形BEDG是正方形，∴DE＝DG，又∵AE＝CG，∴AD＝CD＝2∴△ADC