高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)2.2用樣本估計(jì)總體

2.2用樣本預(yù)計(jì)總體（2）1/45畫頻率分布直方圖步驟:

第一步:求極差:(數(shù)據(jù)組中最大值與最小值差距)

第二步:決定組距與組數(shù):（強(qiáng)調(diào)取整）

第三步:將數(shù)據(jù)分組

(給出組界限)

第四步:列頻率分布表.

（包含分組、頻數(shù)、頻率、頻率/組距）

第五步:畫頻率分布直方圖（在頻率分布表基礎(chǔ)上繪制，橫坐標(biāo)為樣本數(shù)據(jù)尺寸，縱坐標(biāo)為頻率/組距.）

組距：指每個(gè)小組兩個(gè)端點(diǎn)距離，組距組數(shù)：將數(shù)據(jù)分組，當(dāng)數(shù)據(jù)在100個(gè)以內(nèi)時(shí)，按數(shù)據(jù)多少常分5-12組。復(fù)習(xí)：繪制頻率分布直方圖有哪幾個(gè)步驟呢？

2/45在樣本頻率分布直方圖中，當(dāng)樣本容量增加，作圖時(shí)所分組數(shù)增加，組距降低，對(duì)應(yīng)頻率折線圖會(huì)越來(lái)越靠近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.它能夠準(zhǔn)確地反應(yīng)了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值百分比，它能給我們提供愈加精細(xì)信息.總體密度曲線：月均用水量/t頻率組距0ab3/45莖葉圖作法：（1）將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖（高位）和葉（低位）兩部分，如本例中，用莖表示十位上數(shù)字，用葉表示個(gè)位上數(shù)字；（2）將最小莖和最大莖之間數(shù)按大小次序排成一列，寫在左（右）側(cè)；（3）將各個(gè)數(shù)據(jù)葉按大小次序?qū)懺谄淝o右（左）側(cè).甲 乙012345254511667949086438639831葉 莖葉4/45莖葉圖、頻率分布表與頻率分布直方圖比較（1）莖葉圖、頻率分布表與頻率分布直方圖都是用來(lái)描述樣本數(shù)據(jù)分布情況。（2）莖葉圖由全部樣本數(shù)據(jù)組成，沒(méi)有損失任何樣本信息；同時(shí)，莖葉圖中數(shù)據(jù)能夠隨時(shí)統(tǒng)計(jì)，隨時(shí)添加，方便統(tǒng)計(jì)與表示（這對(duì)于教練員發(fā)覺(jué)運(yùn)動(dòng)員現(xiàn)場(chǎng)狀態(tài)尤其有用）．但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時(shí)，枝葉就會(huì)很長(zhǎng)，莖葉圖就顯得不太方便；（3）頻率分布表與頻率分布直方圖則損失了樣本一些信息，必須在完成抽樣后才能制作。5/45某校高一(1)班同學(xué)在老師布置下，用單擺進(jìn)行測(cè)試，以檢驗(yàn)重力加速度．全班同學(xué)兩人一組，在相同條件下進(jìn)行測(cè)試，得到以下試驗(yàn)數(shù)據(jù)(單位：ｍ／s2)：9.629.59.789.9410.019.669.889.6810.329.769.459.999.819.569.789.729.939.949.659.799.429.689.709.849.90怎樣用這些數(shù)據(jù)對(duì)重力加速度進(jìn)行預(yù)計(jì)？問(wèn)題引入：6/45知識(shí)新授：一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)概念普通地，n個(gè)數(shù)據(jù)按大小次序排列，處于最中間位置一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)平均數(shù)）叫做這組數(shù)中位數(shù)（median）．一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)眾數(shù)（mode）．

算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀察值總和除以觀察值個(gè)數(shù)所得商，簡(jiǎn)稱平均數(shù)或均數(shù)．

用這些特征數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行預(yù)計(jì)優(yōu)缺點(diǎn)是什么？7/45平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是描述數(shù)據(jù)“集中趨勢(shì)”“特征數(shù)”，它們各自特點(diǎn)以下：用平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)代表，比較可靠和穩(wěn)定，它與這組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)都相關(guān)系．對(duì)這些數(shù)據(jù)所包含信息反應(yīng)最為充分，因而應(yīng)用最為廣泛，尤其是在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)有主要作用，但計(jì)算較繁瑣，而且易受極端數(shù)據(jù)影響．用眾數(shù)作為一組數(shù)據(jù)代表，可靠性較差，但眾數(shù)不受極端數(shù)據(jù)影響，而且求法簡(jiǎn)便，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，適宜選擇眾數(shù)來(lái)表示這組數(shù)據(jù)“集中趨勢(shì)”．用中位數(shù)作為一組數(shù)據(jù)代表，可靠性也較差，但中位數(shù)也不受極端數(shù)據(jù)影響，也可選擇中位數(shù)來(lái)表示這組數(shù)據(jù)“集中趨勢(shì)”．8/45我們慣用算術(shù)平均數(shù)(其中ai(i＝1，2，…，n)為n個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù))作為重力加速度近似值，它依據(jù)是什么呢？任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)改變都會(huì)引發(fā)平均數(shù)改變.這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具備性質(zhì)，也正是這個(gè)原因，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)能夠反應(yīng)出更多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體信息.9/45

練習(xí):在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高17名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)以下表所表示：成績(jī)(單位：米)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù)10/45解：在17個(gè)數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)眾數(shù)是1.75．上面表里17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大次序排列，其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)中位數(shù)是1.70；

這組數(shù)據(jù)平均數(shù)是

答：17名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.用這些特征數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行預(yù)計(jì)優(yōu)缺點(diǎn)是什么？11/45二、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖關(guān)系

1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖中，就是最高矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)。比如，在上一節(jié)調(diào)查100位居民月均用水量問(wèn)題中，從這些樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖能夠看出，月均用水量眾數(shù)是2.25t.如圖所表示：12/453.12.52.02.01.51.01.61.81.91.63.42.62.22.21.51.20.20.40.30.43.22.72.32.11.61.23.71.50.53.83.32.82.32.21.71.33.61.70.64.13.22.92.42.31.81.43.51.90.84.33.02.92.42.41.91.31.41.80.72.02.52.82.32.31.81.31.31.60.92.32.62.72.42.11.71.41.21.50.52.42.52.62.32.11.61.01.01.70.82.42.82.52.22.01.51.01.21.80.62.2100位居民月均用水量（單位：t）13/45頻率分布直方圖以下：月均用水量/t頻率組距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.52.2514/45

2、在樣本中,有50％個(gè)體小于或等于中位數(shù),也有50％個(gè)體大于或等于中位數(shù).所以，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊直方圖面積應(yīng)該相等，由此能夠預(yù)計(jì)中位數(shù)值。下列圖中虛線代表居民月均用水量中位數(shù)預(yù)計(jì)值，此數(shù)據(jù)值為2.03t.15/45頻率分布直方圖以下：月均用水量/t頻率組距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.52.0316/45說(shuō)明:2.03這個(gè)中位數(shù)預(yù)計(jì)值,與樣本中位數(shù)值2.0不一樣,這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)頻率分布直方圖,只是直觀地表明分布形狀,不過(guò)從直方圖本身得不出原始數(shù)據(jù)內(nèi)容,所以由頻率分布直方圖得到中位數(shù)預(yù)計(jì)值往往與樣本實(shí)際中位數(shù)值不一致.17/45

3、平均數(shù)是頻率分布直方圖“重心”.是直方圖平衡點(diǎn).n個(gè)樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)公式:X=下列圖顯示了居民月均用水量平均數(shù):x=1.97318/45頻率分布直方圖以下：月均用水量/t頻率組距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.51.97319/45三.

三種數(shù)字特征優(yōu)缺點(diǎn)

1、眾數(shù)表達(dá)了樣本數(shù)據(jù)最大集中點(diǎn)，但它對(duì)其它數(shù)據(jù)信息忽略使得無(wú)法客觀地反應(yīng)總體特征.如上例中眾數(shù)是2.25t,它告訴我們,月均用水量為2.25t居民數(shù)比月均用水量為其它數(shù)值居民數(shù)多,但它并沒(méi)有告訴我們多多少.20/45

2、中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率等分線，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值影響，這在一些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)。如上例中假設(shè)有某一用戶月均用水量為10t，那么它所占頻率為0.01,幾乎不影響中位數(shù),但顯然這一極端值是不能忽略。21/45

3、因?yàn)槠骄鶖?shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)，所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)改變都會(huì)引發(fā)平均數(shù)改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)都不含有性質(zhì)。也正因如此，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)能夠反應(yīng)出更多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值影響較大，使平均數(shù)在預(yù)計(jì)時(shí)可靠性降低。22/45四、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)簡(jiǎn)單應(yīng)用例1某工廠人員及工資組成以下：人員經(jīng)理管理人員高級(jí)技工工人學(xué)徒累計(jì)周工資2200250220200100人數(shù)16510123累計(jì)2200150011001006900（1）指出這個(gè)問(wèn)題中周工資眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（2）這個(gè)問(wèn)題中，工資平均數(shù)能客觀地反應(yīng)該廠工資水平嗎？為何？23/45（加權(quán)平均數(shù)）分析：眾數(shù)為200，中位數(shù)為220，平均數(shù)為300。因平均數(shù)為300，由表格中所列出數(shù)據(jù)可見(jiàn)，只有經(jīng)理周工資在平均數(shù)以上，其余人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反應(yīng)該工廠工資水平。24/45問(wèn)題：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶十次，每次命中環(huán)數(shù)以下：甲78795491074乙9578768677假如你是教練，你應(yīng)該怎樣對(duì)這次射擊情況作出評(píng)價(jià)？假如這是一次選拔性考評(píng)，你應(yīng)該怎樣作出選擇？

兩人射擊平均成績(jī)是一樣.那么兩個(gè)人水平就沒(méi)有什么差異嗎?25/4545678910環(huán)數(shù)頻率0.10.20.3(甲)456789100.10.20.30.4環(huán)數(shù)頻率(乙)發(fā)覺(jué)什么？為此，我們還需要從另外一個(gè)角度去考查這2組數(shù)據(jù)！26/45直觀上看，還是有差異．如：甲成績(jī)比較分散，乙成績(jī)相對(duì)集中(如圖示)．所以，我們還需要從另外角度來(lái)考查這兩組數(shù)據(jù)．比如：在作統(tǒng)計(jì)圖表時(shí)提到過(guò)極差．甲環(huán)數(shù)極差=10-4=6乙環(huán)數(shù)極差=9-5=4.它們?cè)谝欢ǔ潭壬媳砻髁藰颖緮?shù)據(jù)分散程度，與平均數(shù)一起，能夠給我們?cè)S多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)信息．顯然，極差對(duì)極端值非常敏感，注意到這一點(diǎn)，我們能夠得到一個(gè)“去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分”統(tǒng)計(jì)策略.27/45四、標(biāo)準(zhǔn)差考查樣本數(shù)據(jù)分散程度大小，最慣用統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差．標(biāo)準(zhǔn)差是樣本平均數(shù)一個(gè)平均距離，普通用s表示．所謂“平均距離”，其含義可作以下了解：28/45方差、標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)一個(gè)平均距離。它用來(lái)描述樣本數(shù)據(jù)分散程度。在實(shí)際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)差常被了解為穩(wěn)定性。1、方差（標(biāo)準(zhǔn)差平方）公式為：假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是平均數(shù)是2、標(biāo)準(zhǔn)差公式為：在刻畫樣本數(shù)據(jù)分散程度上，二者是一致！29/45標(biāo)準(zhǔn)差方差、標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)一個(gè)平均距離。它用來(lái)描述樣本數(shù)據(jù)離散程度。在實(shí)際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)差常被了解為穩(wěn)定性。規(guī)律：標(biāo)準(zhǔn)差越大，則a越大，數(shù)據(jù)離散程度越大；反之，數(shù)據(jù)離散程度越小。30/45例2.已知有一個(gè)樣本數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，求平均數(shù)，方差，標(biāo)準(zhǔn)差.31/45例3甲乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm一個(gè)零件.為了對(duì)兩人生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)選,從他們生產(chǎn)零件中各抽出20件,量得其內(nèi)徑尺寸以下(單位:mm)甲25.46,25.32,25.45,25.39,25.3625.34,25.42,25.45,25.38,25.4225.39,25.43,25.39,25.40,25.4425.40,25.42,25.35,25.41,25.39乙25.40,25.43,25.44,25.48,25.4825.47,25.49,25.49,25.36,25.3425.33,25.