第02講 平行線及其判定（知識解讀+達(dá)標(biāo)檢測）（原卷版）

第02講平行線及其判定【題型1平行線定義】【題型2平行線公理及推論】【題型3平行線判定-同位角相等，兩直線平行】【題型4平行線判定-內(nèi)錯角相等，兩直線平行】【題型5平行線判定-同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】考點(diǎn)1：平行線的定義及畫法1．定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，如果直線a與b平行，記作a∥b．注意：(1)平行線的定義有三個特征：一是在同一個平面內(nèi)；二是兩條直線；三是不相交，三者缺一不可；(2)有時說兩條射線平行或線段平行，實(shí)際是指它們所在的直線平行，兩條線段不相交并不意味著它們就平行．(3)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種．特別地，重合的直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關(guān)系．2.平行線的畫法：用直尺和三角板作平行線的步驟：①落：用三角板的一條斜邊與已知直線重合.②靠：用直尺緊靠三角板一條直角邊.③推：沿著直尺平移三角板,使與已知直線重合的斜邊通過已知點(diǎn).④畫：沿著這條斜邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.【題型1平行線定義】【典例1】（2023春?青龍縣期末）在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不對【變式1-1】（2023春?榕城區(qū)期末）下列說法正確的是（）A．兩點(diǎn)之間，直線最短 B．不相交的兩條直線叫做平行線 C．平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離【變式1-2】（2023春?宣化區(qū)期中）如圖，將一張長方形紙對折兩次，產(chǎn)生的折痕與折痕之間的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．無法確定【變式1-3】（2022秋?姑蘇區(qū)校級期末）如圖，在正方體ABCD﹣EFGH中，下列各棱與棱AB平行的是（）A．BC B．CG C．EH D．HG考點(diǎn)2：平行公理及推論1．平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．2．推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．記作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特別強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過直線外一點(diǎn)”，而非直線上的點(diǎn)，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì)．（2）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性【題型2平行線公理及推論】【典例2】（2023春?利川市期中）若直線a，b，c，d有下列關(guān)系，則推理正確的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【變式2-1】（2023春?新民市期中）已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，則直線a和c應(yīng)滿足的位置關(guān)系是（）A．在同一個平面內(nèi) B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一個平面內(nèi)【變式2-2】（2023春?南寧月考）a、b、c是直線，下列說法正確的是（）A．若a⊥b，b∥c，則a∥c B．若a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．若a∥b，b⊥c，則b∥c D．若a∥b，b∥c，則a∥c【變式2-3】（2022春?海淀區(qū)校級期中）下列說法正確的是（）A．a(chǎn)、b、c是直線，若a⊥b，b∥c，則a∥c B．a(chǎn)、b、c是直線，若a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．a(chǎn)、b、c是直線，若a∥b，b⊥c，則a∥c D．a(chǎn)、b、c是直線，若a∥b，b∥c，則a∥c考點(diǎn)3：平行線判定判定方法（1）：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡單說成：同位角相等，兩直線平行。幾何語言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法（2）：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行?！摺?＝∠3∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）判定方法（3）：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行?！摺?＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）【題型3平行線判定-同位角相等，兩直線平行】【典例3】（2023秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，點(diǎn)A在射線DE上，點(diǎn)C在射線BF上，∠B+∠BAD＝180°，∠1＝∠2．求證：AB∥CD．請將下面的證明過程補(bǔ)充完整．證明：∵∠B+∠BAD＝180°（已知），∠1+∠BAD＝180°，∴∠1＝，∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝（），∴AB∥CD（）．【變式3-1】（2023春?禪城區(qū)校級期中）如圖，已知E，B，C三點(diǎn)共線，BE平分∠DBF，∠1＝∠ACB，試說明：BF∥AC．因?yàn)锽E平分∠DBF（），所以＝（），又因?yàn)椤?＝∠ACB（），所以∠2＝∠ACB（)．所以BF∥AC（）．【變式3-2】（2023春?瀘縣校級期末）如圖，已知∠1＝∠2，CD、EF分別是∠ACB、∠AED的平分線．求證：BC∥DE．【變式3-3】（2022秋?城陽區(qū)校級期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，CD與EF相交于點(diǎn)H，且∠BDC+∠DHF＝180°，∠DEF＝∠B．求證：DE∥BC．【題型4平行線判定-內(nèi)錯角相等，兩直線平行】【典例4】（2023春?阿榮旗期末）已知：如圖，CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求證：AB∥CD證明∵CE平分∠ACD（）∴∠＝∠（）∵∠1＝∠2（已知）；∴∠1＝∠（）∴AB∥CD（）【變式4-1】（2023春?門頭溝區(qū)期末）按要求完成下列證明：已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，E是AC上一點(diǎn)，且∠1+∠2＝90°．求證：DE∥BC．證明：∵CD⊥AB（已知），∴∠1+＝90°（）．∵∠1+∠2＝90°（已知），∴＝∠2（）．∴DE∥BC（）．【變式4-2】（2022秋?秦州區(qū)校級期末）如圖，點(diǎn)G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC，請說明AE∥GF的理由．解：因?yàn)椤螧AG+∠AGD＝180°（），∠AGC+∠AGD＝180°（），所以∠BAG＝∠AGC（）．因?yàn)镋A平分∠BAG，所以∠1＝（）．因?yàn)镕G平分∠AGC，所以∠2＝，得∠1＝∠2（），所以AE∥GF（）．【變式4-3】（2023春?中山區(qū)期末）如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，BE，CF分別平分∠ABC和∠BCD，求證BE∥CF．【題型5平行線判定-同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】【典例5】（2022秋?市北區(qū)期末）如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求證：DE∥BC．【變式5-1】（2023春?船營區(qū)期末）如圖，一個彎形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，這時說管道AB∥CD對嗎？為什么？【變式5-2】（2022秋?城陽區(qū)校級期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，CD與EF相交于點(diǎn)H，且∠BDC+∠DHF＝180°，∠DEF＝∠B．求證：DE∥BC．【變式5-3】（2022?青山區(qū)模擬）如圖，E在四邊形ABCD的邊CD的延長線上，連接BE交AD于F，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，求證：AB∥CD．一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?新野縣期末）如圖，給出了過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是（）A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行 C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．對頂角相等，兩直線平行2．（2023?沙坪壩區(qū)校級三模）如圖，可以得到DE∥BC的條件是（）A．∠ACB＝∠BAC B．∠ABC+∠BAE＝180° C．∠ACB+∠BAD＝180° D．∠ACB＝∠BAD3．（2022秋?洛江區(qū)校級期末）如圖，下列條件中，一定能判斷AB∥CD的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠B＝∠C D．∠1＝∠D4．（2023?岳麓區(qū)一模）如圖，為判斷一段紙帶的兩邊a，b是否平行，小明在紙帶兩邊a，b上分別取點(diǎn)A，B，并連接AB．下列條件中，能得到a∥b的是（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1+∠4＝180° D．∠1+∠3＝180°5．（2023春?黃島區(qū)校級期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A6．（2022秋?丹東期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，則有AC∥DE C．如果∠2＝45°，則有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，則有BC∥AE7．（2023春?通榆縣期末）下列圖形中，已知∠1＝∠2，則可得到AB∥CD的是（）A． B． C． D．8．（2022秋?綠園區(qū)期末）如圖，將木條a，b與c釘在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是（）A．15° B．25° C．35° D．50°9．（2023春?新羅區(qū)期末）如圖，在下列給出的條件中，可以判定AB∥CD的有（）①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠2＝∠4；④∠DAB+∠ABC＝180°；⑤∠BAD+∠ADC＝180°．A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．②③⑤10．（2023春?鳳臺縣期中）下列說法錯誤的個數(shù)是（）①經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這個點(diǎn)到直線的距離；④同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題（共6小題）11．（2023秋?香坊區(qū)校級期中）同一平面內(nèi)三條直線a、b、c，若a⊥b，c⊥b，則a與c的關(guān)系是：．12．（2023春?同江市期末）如圖，點(diǎn)A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，在不添加輔助線的情況下，如果添加一個條件，使AB∥CD，則可以添加的條件為．（任意添加一個符合題意的條件即可）13．（2023春?衢江區(qū)期末）如圖是某小區(qū)大門的道閘欄桿示意圖，立柱BA垂直地面AE于點(diǎn)A，當(dāng)欄桿達(dá)到最高高度時，橫欄CD∥AE，此時∠ABC+∠BCD＝°．14．（2023春?漳平市期末）如圖，已知直線EF⊥MN垂足為F，且∠1＝140°，則當(dāng)∠2等于時，AB∥CD．15．（2023春?蓮池區(qū)期末）一副三角板按如圖所示（共頂點(diǎn)A）疊放在一起，若固定三角板ABC，改變?nèi)前錋DE的位置（其中A點(diǎn)位置始終不變），當(dāng)∠BAD＝°時，DE∥AB．16．（2023春?甘州區(qū)校級期中）如圖，現(xiàn)給出下列條件：①∠1＝∠2；②∠B＝∠5；③∠3＝∠4；④∠5＝∠D；⑤∠D+∠BCD＝180°．其中能夠得到AD∥BC的條件是．（填序號）三．解答題（共3小題）17．（2022秋?碑林區(qū)校級期末）已知：如圖，AE與BD相交于點(diǎn)F，∠B＝∠C，∠1＝∠2．求證：AB∥CE．18．（2023春?長清區(qū)期中）已知，如圖，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1＝∠3．求證：AB∥DC，請根據(jù)條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號內(nèi)注明理由．證明：∵BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC（已知），∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（）．∵∠ABC＝∠ADC（），∴∠＝∠（等量代換）．∵∠1＝∠3（），∴∠2＝∠3（