第1章 解直角三角形 重難點檢測卷（解析版）

第1章解直角三角形重難點檢測卷注意事項：本試卷滿分120分，考試時間120分鐘，試題共24題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（22·23·模擬預(yù)測）的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行解答即可．【詳解】解：，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值．2．（22·23下·溫州·三模）如圖樓梯示意圖，，，米．則樓梯的高度是（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義解答即可．【詳解】解：在中，；即（米）．故選：A．【點睛】本題考查了解直角三角形-坡度坡角問題，熟悉三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（22·23下·溫州·二模）如圖是一個長方體柜子的俯視圖，柜子長(不計柜門厚度)，當柜門打開的角度為時，柜門打開的距離的長度為(

)

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：∵∴∴，故選：A．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．（22·23下·杭州·期中）在中，，、、所對的邊分別是a、b、c．則下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在直角三角形中，銳角的正弦等于對邊比斜邊求解即可．【詳解】解：如圖，∴故選C．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，銳角的正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；銳角的正切等于對邊比鄰邊．5．（19·20上·無錫·期中）如圖所示，已知在中，弦的長為，測得圓周角，則直徑為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，可證，，由即可求解．【詳解】解：如圖，連接，

，，∵是直徑，∴，()，故選：B．【點睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，掌握基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（22·23下·寧波·期中）如圖，大壩橫截面的迎水坡的坡比為∶，即∶∶，若坡面長度米，則坡面的水平寬度長為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)坡度的概念得到，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：坡面的坡度為：，，即，由勾股定理得，，則，解得，故斜坡的水平寬度的長為米．故選：D．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，掌握坡度的概念：坡面的鉛直高度和水平寬度的比是解題的關(guān)鍵．7．（22·23下·溫州·三模）圖1是一種落地晾衣架，晾衣時，該晾衣架左右晾衣臂張開后意圖如圖2所示，和分別是兩根不同長度的支撐桿，其中兩支腳，展開角，晾衣臂，則支撐桿的端點A離地面的高度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)求得，在中，利用正弦函數(shù)求解即可．【詳解】解：在中，，，∴，在中，，，，∴，故選：B．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形的性質(zhì)解決問題．8．（22·23下·杭州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，點P是BC延長線上一點，，且，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，，求出，則，求出，分別求出當時，當時的的度數(shù)，即可求出的取值范圍．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，當時，∴，∴，則；當時，∴，∴，則；∵，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握解直角三角形的方法和步驟，以及各個特殊角度的銳角三角函數(shù)值．9．（22·23下·株洲·期中）中國最早的一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載著勾股定理，約1400年后的漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明．這就是如圖所示的“趙爽弦圖”，若，則小正方形與直角三角形的面積比為（

）

A． B．1∶1 C． D．1∶5【答案】B【分析】在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出，代入，兩邊平方得出，由“趙爽弦圖”，結(jié)合圖形可知等于小正方形的邊長，那么．再根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖．

在中，∵，∴．∵，∴，∴，即．設(shè)，則，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正方形的面積，勾股定理的證明等知識，難度中等．知道“趙爽弦圖”中各線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（19·20上·周測）如圖（1），點為矩形邊上一點，點，點同時從點出發(fā)，點沿運動到點停止，點沿運動到點停止，它們的運動速度都是，設(shè)出發(fā)秒時，的面積為，已知與的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖（2）（曲線為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：①；②直線的解析式為；③可能與相似；④當秒時，．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)圖（）可以判斷三角形的面積變化分為三段，可以判斷出當點到達點時點到達點，從而得出、的長度，再根據(jù)的長度，可得的長度，從而可得的長度，求出的長度，然后針對各小題分析解答即可【詳解】①根據(jù)圖（）可得，當點到達點時點到過點，點、點的運動速度都是，，，，故①正確；②根據(jù)秒面積不變，可得，當點運動到點時，面積變?yōu)?，此時點走過點路程為，故點的坐標為（，），設(shè)直線的解析式為，將點（，）、（，）分別代入得：，解得，故直線的解析式為：，故②正確；③當與相似時，點在上，由，，得，如圖所示，，，，，，與不可能相似，故③錯誤；④時，，此時，，故④錯誤，綜上，可知①②正確，故選：B．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)圖（2）判斷出點到過點時，點到達點是解題的關(guān)鍵．二、填空題（6小題，每小題4分，共24分）11．（22·23下·杭州·二模）若，則銳角的度數(shù)是．【答案】/30度【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到銳角的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，那么銳角的度數(shù)為．故答案為：．【點睛】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵．12．（22·23下·杭州·一模）在中，，，，．【答案】/【分析】根據(jù)題意，作出圖形，由勾股定理得到，根據(jù)三角函數(shù)定義直接求解即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，如圖所示：

在中，，，，則，，故答案為：．【點睛】本題考查求三角函數(shù)值，涉及勾股定理，熟記三角函數(shù)值的定義是解決問題的關(guān)鍵．13．（22·23下·杭州·期中）如圖，水庫大壩截面的迎水坡的坡比（與的長度之比）為4：3，背水坡坡比為1：2，大壩高，壩頂寬，則大壩橫截面的周長為m．

【答案】【分析】過C點作與點F，如圖，則，，根據(jù)坡比的定義得到，，則可計算出，，再利用勾股定理計算出和，然后計算大壩橫截面的周長．【詳解】解：過C點作與點F，如圖，則，，∵水坡的坡比（與的長度之比）為4：3，∴，∴，∴，∵背水坡坡比為1：2，∴，∴，∴，∴大壩橫截面的周長．故答案為：．

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角：坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比，又叫做坡比，一般用表示，常寫成的形式．14．（22·23下·麗水·二模）一副三角板按圖放置，是邊的中點，．如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點落在線段上不與點重合，則的長是．

【答案】【分析】連接，證明是等邊三角形，進而證明，解，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

∵是的中點，∴，∴∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，在中，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（22·23·湖州·中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組測量校園內(nèi)一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架放在離樹適當距離的水平地面上的點F處，再把鏡子水平放在支架上的點E處，然后沿著直線后退至點D處，這時恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測量，，觀測者目高的長，利用測得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹的高度．已知于點D，于點F，于點B，米，米，米，米，則這棵樹的高度（的長）是米．

【答案】4.1【分析】過點作水平線交于點，交于點，根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出，再根據(jù)對應(yīng)邊成比例解答即可．【詳解】過點作水平線交于點，交于點，如圖，

∵是水平線，都是鉛垂線．∴米，米，米，∴（米），又根據(jù)題意，得，∴，，即，解得：米，∴(米)．故答案為：．【點睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，通過作輔助線構(gòu)造相似三角形，并利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．16．（22·23下·金華·期中）如圖，在平面直角坐標系中，點，直線交x軸于點，交y軸于點C，點D在直線上，且D的橫坐標為3，E是線段上的點（不和端點重合），連接，一動點M從點A出發(fā)沿線段以每秒1個單位的速度運動到E，再沿線段以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點E的坐標是時，點M在整個運動過程中用時最少．

【答案】【分析】將點代入，可求出直線的解析式，過點作軸，軸點．過點作，交延長線于點．只要能證明當、、三點共線時所用的時間最小即可．【詳解】解：如圖，過點作軸，軸點．過點作，交延長線于點．

動點從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位的速度運動到，再沿線段以每秒2個單位的速度運動到后停止點在整個運動過程的用時，點在直線上，，解得，直線的解析式為：點的坐標為：，即點在整個運動過程所用的時間是線段與的長度之和，當、、三點共線時，取得最小值．點的橫坐標與點的橫坐標相等，點在直線上點的坐標為：點的坐標為故答案為：．【點睛】此題主要考查一次函數(shù)坐標點的特征，求出函數(shù)的解析式，靈活運用函數(shù)上的點的特征是解決此題的關(guān)鍵．三、解答題（8小題，共66分）17．（22·23下·金華·階段練習(xí)）計算：．【答案】4【分析】先進行算式平方根、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪運算，再加減運算即可求解．【詳解】．【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，涉及算式平方根、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪運算，熟練掌握運算法則并正確求解是解答的關(guān)鍵．18．（22·23下·溫州·階段練習(xí)）如圖，長500米的水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬，壩高，斜坡的坡比，斜坡的坡比，

(1)求壩底寬的長(2)修筑這個堤壩需要土方多少立方米？【答案】(1)(2)（立方米）【分析】（1）根據(jù)題意可得：，，，，然后根據(jù)已知易得，從而利用線段的和差關(guān)系，進行計算即可解答；（2）先求出梯形的面積，然后再求出修筑這個堤壩需要的土方，即可解答．【詳解】（1）解：由題意可得：，，，，∵斜坡的坡比，斜坡的坡比．，，，，，∴壩底寬的長為；（2），，，∴梯形的面積，∴修筑這個堤壩需要土方，∴修筑這個堤壩需要土方立方米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用：坡度坡角問題，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．19．（23·24上·寧波·階段練習(xí)）如圖，甲、乙兩只捕撈船同時從港出海捕魚，甲船以千米/小時的速度沿北偏西方向前進，乙船以千米/小時的速度沿東北方向前進，甲船航行小時到達處，此時甲船發(fā)現(xiàn)漁具丟在乙船上，于是甲船加快速度（勻速）沿北偏東的方向追趕乙船，結(jié)果兩船在處相遇．

(1)甲船從處追趕上乙船用了多少時間？(2)求甲船追趕乙船時的速度．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)小時(2)【分析】（1）過作于點，作交于點，結(jié)合題意和三角形的內(nèi)角和定理求得，，，根據(jù)直角三角形中兩銳角互余和等角對等邊可得，根據(jù)甲船的速度和勾股定理求得千米，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可求得的長，根據(jù)乙船的速度即可求解；（2）根據(jù)勾股定理求得和的長，根據(jù)（1）中的結(jié)果即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過作于點，作交于點，

∵甲船沿北偏西方向前進，乙船沿東北方向前進，∴，，，∴；∵，∴，∵甲船沿北偏東的方向追趕乙船，∴，∴，∴，∴；在中，，，∴，∴，∵甲船以千米/小時的速度航行小時到達處，∴（千米）；在中，，∴（千米），∴（千米），∵，，∴（千米），且乙船以千米/小時的速度沿東北方向前進，故甲船從處追趕上乙船的時間是：（小時）．（2）解：在中，，∴（千米），故甲船追趕乙船的速度是（千米/小時）．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形中兩銳角互余，等角對等邊，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．20．（22·23下·溫州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，連結(jié)，于點F，G，且F是的中點．

(1)求證：四邊形是菱形．(2)當，時，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）連接，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定解答即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理以及解直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵，∴，∵F是的中點，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴，∴平行四邊形是菱形；（2）解：由（1）可知，四邊形是菱形，∴，，在中，，∵，∴，即，設(shè)，，在中，由勾股定理可得，，即，解得：，或（舍去），∴．【點睛】此題是四邊形綜合題．關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的性質(zhì)解答．21．（22·23下·紹興·一模）如圖1為放置在水平桌面l上的臺燈，底座的高為，長度均為的連桿，與始終在同一平面上．

(1)轉(zhuǎn)動連桿，，使成平角，，如圖2，求連桿端點D離桌面l的高度．(2)將（1）中的連桿再繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，使，如圖3，問此時連桿端點D離桌面l的高度是增加還是減少？增加或減少了多少？（精確到，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)；(2)減少了，【分析】（1）作于O．解直角三角形求出即可解決問題．（2）作于F，于P，于G，于H．則四邊形是矩形，求出，再求出即可解決問題．【詳解】（1）如圖2中，作于點O．

根據(jù)題意有：，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴（），∴（）；（2）作于F，于P，于G，于H．則四邊形是矩形，

∵根據(jù)（1）求出，，∴，∵，∴，∴（），（），∴（），∴下降高度：（）．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．22．（19·20上·周測）已知：如圖，內(nèi)接于為直徑，弦于是的中點，連接并延長交的延長線于點，連接，分別交于點．(1)求證：；(2)若，求的長；(3)求證：．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）由互余證得，進而得到答案．（2）分別求得、、的長，再證得，進而由相似比即可求得的長．（3）根據(jù)圓周角定理得到，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，推出，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵是弧的中點，為的直徑∴，∵∴∴（2）解：∵，設(shè)，則，則∴由垂徑定理得∴∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）解：由垂徑定理得∴∵∴∽即．【點睛】本題考查相似三角形、解直角三角形、圓的性質(zhì)定理，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．23．（22·23下·溫州·期中）如圖，四邊形的頂點是坐標原點，點、分別落在軸正半軸和軸正半軸上，，，過點作交邊于點，點的坐標為．

(1)的長為______，的長為______；(2)在線段上取一點，使得．①如圖，連接，當時，求證：四邊形是平行四邊形；②如圖，在線段上取一點，滿足，連接．當與四邊形中一邊平行時，在線段上取一點，使得，求此時的長．【答案】(1)；(2)①見解析

②或或【分析】（1）過點作軸于，根據(jù)點的坐標和的度數(shù)，在內(nèi)解直角三角形即可求出的長，過點作于，易得．（2）①求出當時的長，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)求出的度數(shù)，判定與平行，即可得證；②分別根據(jù)和兩種情況進行討論，計算即可求出的長．【詳解】（1）解：如圖，過點作軸于，

點的坐標為，，，，，即，，，，過點作于，，，，，又，，，四邊形是矩形，，又，，故答案為：；．（2）①證明：，，，在中，，，，，，又，四邊形是平行四