八年級數(shù)學下冊第一章三角形的證明等腰與直角三角形省公開課一等獎新課獲獎課件

等腰、直角三角形1/34基礎知識自主學習1．等腰三角形：

(1)性質：

相等，

相等，底邊上高線、中線、頂角角平分線“三線合一”；

(2)判定：有兩邊相等、兩角相等或兩線合一三角形是等腰三角形．2．等邊三角形：

(1)性質：

相等，三內(nèi)角都等于

；

(2)判定：三邊相等、三內(nèi)角相等或有一個角是60°等腰三角形是等邊三角形．關鍵點梳理兩腰兩底角三邊60°2/343．直角三角形：在△ABC中，∠C＝90°.(1)性質：邊與邊關系：(勾股定理)a2＋b2＝

；

(2)角與角關系：∠A＋∠B＝

；

(3)邊與角關系：若∠A＝30°，則a＝c，b＝c；若a＝c，則∠A＝30°；若∠A＝45°，則a＝b＝c；若a＝c，則∠A＝45°；斜邊上中線m＝c＝R.其中R為三角形外接圓半徑．

(4)判定：有一個角是直角三角形是直角三角形；假如三角形三邊長a、b、c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形；假如三角形一條邊上中線等于這條邊二分之一，那么這個三角形是直角三角形．c290°3/34[難點正本疑點清源]

1．等腰三角形特殊性

“等邊對等角”是今后我們證實角相等又一個主要依據(jù)．“等角對等邊”能夠判定一個三角形是等腰三角形，同時也是今后證實兩條線段相等主要依據(jù)．等邊三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等邊三角形，等邊三角形擁有等腰三角形全部性質，但不分頂角、底角、腰、底邊．因為等邊三角形任何一個角都為60°，任何一條邊都可看做腰或底邊．解答等腰三角形相關問題時，常作輔助線，結構出“三線合一”基本圖形．在添加輔助線時，要依據(jù)詳細情況而定，表示輔助線語句，不能限制條件過多，如一邊上高而且要平分這條邊；作一邊上中線而且垂直平分這條邊；作一個角平分線并且垂直對邊等等，這些都是不正確．4/34基礎自測1．(·濟寧)假如一個等腰三角形兩邊長分別是5cm和6cm，那么此三角形周長是(

)A．15cmB．16cmC．17cmD．16cm或17cm

答案D

解析這個三角形周長是5＋5＋6＝16或6＋6＋5＝17.5/342．(·銅仁)以下關于等腰三角形性質敘述錯誤是(

)A．等腰三角形兩底角相等

B．等腰三角形底邊上高、底邊上中線、頂角平分線互相重合

C．等腰三角形是中心對稱圖形

D．等腰三角形是軸對稱圖形

答案C

解析等腰三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．6/343．(·蕪湖)如圖，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F(xiàn)是高AD和BE交點，CD＝4，則線段DF長度為(

)A．2

B．4C．3

D．4

答案B

解析在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，可得AD＝BD，易證△BDF≌△ADC，所以DF＝CD＝4.7/348/349/345．(·雞西)如圖，在Rt△ABC中，AB＝CB，BO⊥AC，把△ABC折疊，使AB落在AC上，點B與AC上點E重合，展開后，折痕AD交BO于點F，連結DE、EF.以下結論：①tan∠ADB＝2；②圖中有4對全等三角形；③若將△DEF沿EF折疊，則點D不一定落在AC上；④BD＝BF；⑤S四邊形DFOE＝S△AOF，上述結論中正確個數(shù)是(

)A．1個B．2個C．3個D．4個答案C10/3411/3412/34題型分類深度剖析【例1】

(1)方程x2－9x＋18＝0兩個根是等腰三角形底和腰，則這個三角形周長為(

)A．12B．12或15C．15D．不能確定

答案C

解析解方程x2－9x＋18＝0，得x1＝3，x2＝6，周長為3＋6＋6＝15，應選C.(2)假如等腰三角形一個內(nèi)角是80°，那么頂角是________度．

答案80或20

解析頂角是80°，或當?shù)捉鞘?0°時，頂角是180°－2×80°＝20°.探究提升在等腰三角形中，假如沒有明確底邊和腰，某一邊能夠是底，也能夠是腰．一樣，某一角能夠是底角也能夠是頂角，必須仔細分類討論．題型一等腰三角形相關邊角討論13/34知能遷移1

(1)(·株洲)如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC.①求∠ECD度數(shù)；②若CE＝5，求BC長．14/34解①解法一：∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∠ECD＝∠A＝36°.

解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝90°.

又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE，∠ECD＝∠A＝36°.15/34②解法一：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°.∵∠ECD＝∠A＝36°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°，∴∠BEC＝180°－36°－72°＝72°＝∠B，∴BC＝EC＝5.

解法二：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5.16/34(2)(·煙臺)等腰三角形周長為14，其一邊長為4，那么，它底邊為___________________．

答案4或6

解析①等腰三角形底邊為4；②等腰三角形兩腰為4時，則底邊等于14－4－4＝6.17/34題型二等腰三角形性質【例2】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D是BC中點，且AE＝BF，試判斷△DEF形狀．18/34解題示范——規(guī)范步驟，該得分，一分不丟！解：連接AD，在等腰Rt△ABC中，∵AD是中線，∴AD⊥BC，∠DAE＝∠BAC＝45°，AD＝BD.

又∵∠B＝∠C＝45°，∴∠B＝∠DAE.[2分]

在△BDF和△ADE中，∴△BDF≌△ADE(SAS)．[4分]∴DF＝DE，∠1＝∠2.

又∵∠3＋∠1＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，即∠EDF＝90°.∴△DEF也是等腰直角三角形．[6分]19/34探究提升作等腰三角形底邊中線，結構等腰三角形“三線合一”基本圖形，是常見輔助線作法之一．20/34知能遷移2已知：如圖，D是等腰△ABC底邊BC上一點，它到兩腰AB、AC距離分別為DE、DF.當D點在什么位置時，DE＝DF？并加以證實．21/34解當點D在BC中點時，DE＝DF.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵點D是BC中點，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.22/34題型三等邊三角形【例3】

(1)已知：如圖，P、Q是△ABC邊BC上兩點，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC度數(shù)．23/34解∵AP＝PQ＝AQ，∴△APQ是等邊三角形．∴∠PAQ＝60°，∠APQ＝60°.∵AP＝BP，∴∠B＝∠BAP＝×60°＝30°.

同理：∠C＝∠CAQ＝30°，∴∠BAC＝30°＋60°＋30°＝120°.24/34(2)(·大興安嶺)如圖所表示，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點

O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，則以下結論：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC.

其中正確結論個數(shù)(

)A．1個B．2個C．3個D．4個

答案D25/34解析由△BCD≌△ACE，可得①AE＝BD成立；由△ACG≌△BCF，可得②AG＝BF成立；∵△ACG≌△BCF，∴CG＝CF，又∠ACD＝60°，∴△FCG是等邊三角形，∴∠CFG＝60°＝∠ACB，∴③FG∥BE成立；過C畫CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別是M、N，∵△BCD≌△ACE，∴CM＝CN，∴點C在∠BOE角平分線上，OC平分∠BOE，即④∠BOC＝∠EOC成立．26/34探究提升在解題過程中要充分利用等邊三角形特有性質，每個角都相等，每條邊都相等，這能夠讓我們輕松找到證實全等所需條件．27/34知能遷移3如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC、AB上，且BD＝AE，AD與CE交于點F.

(1)求證：AD＝CE；

(2)求∠DFC度數(shù)．28/34解(1)在等邊△ABC中，

AB＝AC，∠BAC＝∠CBA＝60°，又BD＝AE，∴△ABD≌△CAE，∴AD＝CE.

(2)∵△ABD≌△CAE，∴∠BAD＝∠ECA.∵∠DFC是△AFC外角，∴∠DFC＝∠ECA＋∠DAC

＝∠BAD＋∠DAC

＝∠BAC＝60°.29/34答題規(guī)范考題再現(xiàn)在△ABC中，高AD和高BE相交于H，且BH＝AC，求∠ABC度數(shù)．學生作答

解：如圖1，在Rt△BHD和Rt△ACD中，∠C＋∠CAD＝90°，∠C＋∠HBD＝90°，∴∠HBD＝∠CAD.