全國高中數(shù)學(xué)說課大賽教學(xué)設(shè)計一等獎作品合輯

全國高中數(shù)學(xué)說課大賽教學(xué)設(shè)計一等獎

作品合輯

目錄

3全國高中數(shù)學(xué)說課大賽教學(xué)設(shè)計T獎作品：《函數(shù)的概念》.doc

“全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品《幾類不同增長函數(shù)模型》.doc

,全國高中數(shù)學(xué)說課大賽教學(xué)設(shè)計T獎作品《空間中直線與直線的位置關(guān)系》.doc

回全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品《球面距離》.doc

口全國高中數(shù)學(xué)說課大賽教學(xué)設(shè)計T獎作品《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系》,doc

區(qū)全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品《正弦定理》,doc

"全國高中數(shù)學(xué)說課大賽教學(xué)設(shè)計T獎作品《直線的傾斜角和斜率》.doc

X全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品1《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》.doc

“全國高中數(shù)學(xué)說課大賽教學(xué)設(shè)計T獎作品3用二分法求方程的近彳嫄.doc

全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品4向量的加法.doc

H全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品5向里加法運(yùn)算及其幾何意義doc

“全國高中數(shù)學(xué)說課大賽教學(xué)設(shè)計T獎作品6tts沃小.doc

“全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品7^TE一次不等式.doc

,全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品8分步原理與分類原理.doc

“全國高中數(shù)學(xué)說課大賽教學(xué)設(shè)計T獎作品9等比數(shù)列.doc

“全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品10獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想.doc

“全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品11導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.doc

但全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品12會的gdoc

全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品13等比數(shù)列的前n項和公式.doc

口全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品14函數(shù)的表示法.doc

“全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品15歸納推理.doc

全國高中數(shù)學(xué)說課大賽教學(xué)設(shè)計T獎作品16函數(shù)y=Asin（3X+cp）.doc

口全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品17函數(shù)的單調(diào)性.doc

?全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品18幾何概型的教學(xué)設(shè)計.doc

“全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品19函數(shù)的奇偶性.doc

“全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品20對數(shù)函數(shù)二.doc

?全國高中數(shù)學(xué)說課大賽教學(xué)設(shè)計T獎作品21《古.doc

"全國高中數(shù)學(xué)說課大賽教學(xué)設(shè)計T獎作品22《平面向墾（第一課）》.doc

全國高中數(shù)學(xué)說課大賽教學(xué)設(shè)計T獎作品23《曲線與方程》.doc

“全國高中數(shù)學(xué)說課大褰教學(xué)設(shè)計T獎作品24《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》.doc

苕Mii

w-scw苕

m-

8(雪sBfi

苕si

iw苕i-iw

蜜?lis

—

wilo薯us

超

患

聯(lián)

sis踵swnni

令

iZ霆ss

sf斐

?)Ess

Rz國OEEEWs?9Ee

壁

翌

虐

理

電

罡

罡

ggggggggg壁

年

￡簞

簞

年

單

里

￥￥l￥l箜

會

象

蔻

蔻

llll凝

ii曩siili

篡

禁

ii疊

xlwsixw8siilslixlix

—

titii—

iiteiitesieii

iiieiiiii靛ii

鼎

鼎

鼎

鼎

ii翳

工

二

二

.m:二-

《函數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計

【三維目標(biāo)】

了解：通過豐富實(shí)例讓學(xué)生了解函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的一個對應(yīng)；了解構(gòu)成函數(shù)的

三要素；

理解：函數(shù)概念的本質(zhì)；抽象的函數(shù)符號/(x)的意義；/(a)(。為常數(shù))與/(x)的區(qū)別

與聯(lián)系；會求一些簡單函數(shù)的定義域；

經(jīng)歷：讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)概念的形成過程，函數(shù)的辨析過程，函數(shù)定義域的求解過程以及求

函數(shù)值的過程；滲透歸納推理、發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力；

體驗(yàn)：通過經(jīng)歷以上過程，讓學(xué)生體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，

在此基礎(chǔ)上學(xué)會用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中

的作用，體驗(yàn)函數(shù)思想；通過師生互動、生生互動，讓學(xué)生在民主、和諧的課堂氛

圍中，感受數(shù)學(xué)的抽象性和簡潔美.

【教學(xué)重點(diǎn)】函數(shù)概念的形成，正確理解函數(shù)的概念.

【教學(xué)難點(diǎn)】發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，對函數(shù)概念本質(zhì)的理解.

【教法選擇】問題式教學(xué)法：本堂課的特點(diǎn)是概念教學(xué)，根據(jù)學(xué)生的心理特征和認(rèn)

知規(guī)律，我采取問題式教學(xué)法；以問題串為主線，通過設(shè)置幾個具體問題情景，發(fā)現(xiàn)問題中

兩個變量的關(guān)系，讓學(xué)生歸納、概括出函數(shù)概念的本質(zhì)，這也符合建構(gòu)主義的教學(xué)理論.

【學(xué)法選擇】探究式學(xué)法：新課程要求課堂教學(xué)的著力點(diǎn)是尊重學(xué)生的主體地位,

發(fā)揮學(xué)生的主動精神，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，結(jié)合本堂課的特

點(diǎn)，我倡導(dǎo)的是探究式學(xué)法；讓學(xué)生在探究問題的過程中，通過老師的引導(dǎo)歸納概括出函數(shù)

的概念，通過問題的解決，達(dá)到熟練理解函數(shù)概念的目的,從而讓學(xué)生由“被動學(xué)會”變成

“主動會學(xué)”.

【教學(xué)媒體選擇】教學(xué)中使用多媒體來輔助教學(xué)，其目的是充分發(fā)揮快捷、生動、

形象的特點(diǎn)，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于適當(dāng)增加課堂容量，提高課堂效率；同時

與黑板板書相結(jié)合.

【教學(xué)過程設(shè)計】

(-).結(jié)構(gòu)分析

為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，我把教學(xué)過程設(shè)計為七個階段:

回憶舊知，引出困惑—?創(chuàng)設(shè)情境，形成概念—?質(zhì)疑解惑，剖析概念

討論研究，深化理解f即時訓(xùn)練，鞏固新知一總結(jié)反思，提高認(rèn)知

分層作業(yè)，自主探究

（-）.教學(xué)過程

課題引入

2010年9月5日。時14分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征三號乙”運(yùn)載火箭，成功將

“鑫諾六號”通信廣播衛(wèi)星送入太空.在“鑫諾六號”飛行期間，我們時刻關(guān)注著“鑫諾六

號”離地面的距離隨時間是如何變化的，數(shù)學(xué)上可以用來描述這種運(yùn)動變化中的數(shù)量

關(guān)系.（函數(shù)）

1.回憶舊知，引出困惑

問題一：請舉出初中學(xué)過的一些函數(shù).

,1

y=2x,y=x,y=一等.

x

問題二：請同學(xué)們回憶初中函數(shù)的定義是什么？

在一個變化過程中，有兩個變量x與y,如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值

和它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x叫自變量.

問題三：y=0（無€/?）是函數(shù)嗎？

學(xué)生活動：先由學(xué)生思考回答，對產(chǎn)生的兩種意見展開小組討論.

由于受認(rèn)知能力的影響，利用初中所學(xué)函數(shù)知識很難回答這些問題，形成認(rèn)知沖突，從

而引出本堂課的課題（用幻燈片打出課題）.讓學(xué)生帶著懸念、帶著認(rèn)知沖突學(xué)習(xí)后面的知

識，這樣有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望.

2.創(chuàng)設(shè)情境，形成施念

實(shí)例一：一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標(biāo).炮彈的射高為845機(jī)，且炮彈距地

面的高度力（單位：m）隨時間f（單位：s）變化的規(guī)律是：h=\30t-5t2.

問題四：1」的范圍是什么？〃的范圍是什么？

2」和人有什么關(guān)系？這個關(guān)系有什么特點(diǎn)？

（實(shí)例一由師生共同完成）

事實(shí)上生活中這樣的實(shí)例有很多，隨著改革開放的深入，我們的生活水平越來越高，需

求越來越大，對環(huán)境的影響也越來越重，下面請同學(xué)們自學(xué)有關(guān)臭氧層空洞的問題和恩格爾

系數(shù)的問題：

實(shí)例二：近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題.圖L2—1中

的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979~2001年的變化情況.

實(shí)例三：國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個國家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活

質(zhì)量越高.表1—1中恩格爾系數(shù)隨時間（年）變化的情況表明，“八五”計劃以來，我國城

鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化.

時間

19911992199319941995199619971998199920002001

（年）

恩格爾

53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9

系數(shù)(％)

通過先對兩個實(shí)例的學(xué)生自學(xué)，然后請學(xué)生談感受，老師提問，學(xué)生回答，師生共同完

成.

問題五：實(shí)例一、實(shí)例二、實(shí)例三的對應(yīng)關(guān)系在呈現(xiàn)方式上有什么不同？

問題六：以上三個實(shí)例有什么相同的特征？

學(xué)生活動：讓學(xué)生分組討論交流，總結(jié)歸納出：

共同特點(diǎn)：①都有兩個非空數(shù)集A、B,②兩個數(shù)集之間都有--種確定的對應(yīng)關(guān)系；③對

于數(shù)集A中的每一個x,按照某種對應(yīng)關(guān)系了,在數(shù)集3中都有唯一確定的y值和它對應(yīng).

問題七：滿足以上共同特點(diǎn)的兩個數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，我們把它叫做什么呢？(先讓學(xué)生說,

老師再做補(bǔ)充)

引導(dǎo)學(xué)生思考：在三個實(shí)例中，大家用集合與對應(yīng)的語言分別描述了兩個變量之間的

依賴關(guān)系，其中一個變量都是另一個變量的函數(shù).

你能否用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，抽象樓括出函數(shù)的概念呢？

函數(shù)概念：

設(shè)4、8是非空的數(shù)集，如果按某種確定的對應(yīng)關(guān)系/,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,

在集合3中都有唯一確定的數(shù)/(幻和它對應(yīng)，那么就稱/:A98為集合A到集合8的

一個函數(shù)，記作y=/(x),》eA.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y的值叫做

函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/(x)|xeA｝叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合8的子集.

問題八:請同學(xué)們根據(jù)現(xiàn)在函數(shù)的定義說說前面三個實(shí)例是否表示兩個集合的函數(shù)關(guān)系？

問題九:y=0(%eR)是函數(shù)嗎？

問題十:用幾何畫板在平面直角坐標(biāo)系中畫出一段弧，并作平移和旋轉(zhuǎn)，同時讓學(xué)生判斷這

些平移和旋轉(zhuǎn)中的弧是否表示函數(shù)圖象.

方法引導(dǎo)：如何判斷給定的兩個變量間是否具有函數(shù)關(guān)系？

可依據(jù)定義，依據(jù)定義中的哪幾個要點(diǎn)？要注意函數(shù)概念中的哪些關(guān)鍵詞？

3.質(zhì)疑解惑，剖析概念

問題十一:請同學(xué)們勾畫出概念中的關(guān)鍵詞，并用簡潔的語言說明.

通過交流得出以下幾點(diǎn)：

①A、B都是非空的數(shù)集；

②任意性與唯一性；

③確定的對應(yīng)關(guān)系，對應(yīng)關(guān)系/可以是解析式、圖象、表格.

問題十二:函數(shù)由幾部分組成？

三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則，缺一不可.

問題十三:怎樣理解符號/(X)?

在法則一下，X所對應(yīng)的函數(shù)值，并結(jié)合生活實(shí)例說明.

4.討論研究，深化理解

【例1】已知函數(shù)/*)=475+」一，

x+2

(1)求函數(shù)的定義域；

2

<2)求/(一3),/(§)的值；

(3)當(dāng)”>0時，求/(a)J(a—1)的值.

想一想：函數(shù)的定義域該怎么求？符號/(a)(。為常數(shù))與/(x)有哪些區(qū)別與聯(lián)系？

(學(xué)生先思考、計算，老師提問，師生共同完成)

5.即時訓(xùn)練，鞏固新知

練習(xí)1.求函數(shù)/(幻=的定義域：

練習(xí)2.已知函數(shù)f(x)=3/+2x,求/(2)+/(-?)的值.

學(xué)生活動:抽兩位學(xué)生到講臺在黑板上分別完成(其他同學(xué)在下面完成)，完成后，師生共同

評價完善.

6.總結(jié)反思，提高認(rèn)識

今天，我們在初中函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，運(yùn)用集合與對應(yīng)的語言重新刻畫了函數(shù)，比較兩個函

教的定義，同學(xué)們有什么新的認(rèn)識.

引導(dǎo)學(xué)生思考回答，老師作適當(dāng)補(bǔ)充.

7.分層作業(yè)，自主探究

作業(yè)：一、舉出生活中函數(shù)的例子(兩個以上)，并用集合與對應(yīng)的語言來描述函數(shù)；

二、A組學(xué)生做：P241、2、3、4；

B組學(xué)生做：必做A組學(xué)生所做，選做P251題.

附板書設(shè)計(提綱式)

函數(shù)的概念

三個實(shí)例的共同點(diǎn)：

練習(xí)：2①例1練習(xí)：1

②

③

各位專家，以上就是我對這節(jié)課的教學(xué)設(shè)想，不足之處懇請各位專家批評指正.

謝謝！

3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型（第一課時）

一.內(nèi)容和內(nèi)容解析

本節(jié)是高中數(shù)學(xué)必修1（人教A版）第三章《函數(shù)的應(yīng)用》的起始課.該課將經(jīng)歷運(yùn)用

和選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過程，從而認(rèn)識在同為增函數(shù)的函數(shù)模型中，各種函數(shù)存在

增長的差異；理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義；認(rèn)識研究函數(shù)增長（衰減）差異

的方法；感受數(shù)學(xué)建模的思想.

對不同函數(shù)模型在增長差異上的研究，教材圍繞函數(shù)模型的應(yīng)用這一核心，結(jié)合具體實(shí)

例展開討論，讓學(xué)生在應(yīng)用函數(shù)模型的過程中，體驗(yàn)到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、基函數(shù)等函數(shù)

模型在描述客觀世界變化規(guī)律時各自的特點(diǎn).

教材運(yùn)用自選投資方案和制定獎勵方案這兩個問題，引出函數(shù)模型增長情況比較的問

題，接著運(yùn)用信息技術(shù)從數(shù)值和圖象兩個角度比較了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)的增長情

況的差異，說明不同函數(shù)類型增長的含義.

在必修1前兩章，教材安排了函數(shù)的性質(zhì)以及基本初等函數(shù).本節(jié)內(nèi)容是幾類不同增長

的函數(shù)模型，在此之后是研究函數(shù)模型的應(yīng)用，因此，從內(nèi)容上看，本節(jié)課是對前面所學(xué)習(xí)

的幾種基本初等函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，從思想方法上講，是對研究函數(shù)的方法的

進(jìn)一步鞏固和深化，同時，也在為后面繼續(xù)學(xué)習(xí)各種不同的函數(shù)模型的應(yīng)用舉例奠定基

礎(chǔ)，.因此本節(jié)內(nèi)容，既是第二章基本初等函數(shù)知識的延續(xù)，又是函數(shù)模型應(yīng)用學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),

起著承前啟后的作用.

本節(jié)內(nèi)容所涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要包括：由實(shí)際問題抽象為函數(shù)模型這一過程中蘊(yùn)涵

的符號化、模型化的思想；在解決問題過程中函數(shù)與方程的思想.

二.目標(biāo)和目標(biāo)解析

本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)為：

(1)創(chuàng)設(shè)一個投資方案的問題情境，讓學(xué)生通過函數(shù)建模、列數(shù)據(jù)表、研究函數(shù)圖象

和性質(zhì)，體會直線上升和指數(shù)爆炸；

(2)創(chuàng)設(shè)一個選擇獎勵模型的問題情境，讓學(xué)生在觀察和探究的過程中，體會對數(shù)增

長模型的特點(diǎn)；

(3)通過建立和運(yùn)用函數(shù)基本模型，讓學(xué)生初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本思想，發(fā)展學(xué)生

的創(chuàng)新意識和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

根據(jù)內(nèi)容解析和教學(xué)任務(wù)，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：

(1)通過實(shí)例的解決，運(yùn)用函數(shù)表格、圖象，比較一次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)以及對數(shù)函

數(shù)模型等的增長，認(rèn)識它們的增長差異，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的

函數(shù)模型的意義；

(2)通過恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用函數(shù)的三種表示方法(解析法、列表法、圖象法)，表達(dá)實(shí)際問題

中的函數(shù)關(guān)系的操作，認(rèn)識函數(shù)問題的研究方法：觀察一歸納一猜想一證明；

(3)經(jīng)歷建立和運(yùn)用函數(shù)基本模型的過程，初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本思想，體會數(shù)學(xué)

的作用與價值，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.

這部分內(nèi)容教科書在處理上，以函數(shù)模型的應(yīng)用這一內(nèi)容為主線，以幾個重要的函數(shù)

模型為對象，將前面己經(jīng)學(xué)習(xí)過的內(nèi)容以及處理問題的思想方法緊密結(jié)合起來，使之成為一

個整體.因此教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意貫徹教材的設(shè)計意圖，讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)模型應(yīng)用的全過程，能

在這一過程中認(rèn)識不同增長的差異，認(rèn)識知曉函數(shù)增長差異的作用，認(rèn)識研究差異的思想方

法.

結(jié)合以上分析本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，在比較常數(shù)函數(shù)、一

次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型增長差異的過程中，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長

等不同類型函數(shù)增長的含義.

三.教學(xué)問題診斷

學(xué)生在前面已學(xué)過函數(shù)概念、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)，但由于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

數(shù)和事函數(shù)的增長變化復(fù)雜，這就使得學(xué)生在研究過程中可能遇到困難.因此本節(jié)課教學(xué)難

點(diǎn)確定為：如何結(jié)合實(shí)際問題讓學(xué)生體會不同函數(shù)模型的增長差異，以及如何利用這種增長

差異來解決一些實(shí)際問題.

為了解決這一難點(diǎn)，教科書分三個步驟，創(chuàng)設(shè)問題情境，并通過恰點(diǎn)恰時而又層層遞進(jìn)

的問題串，讓學(xué)生在不斷的觀察、思考和探究的過程中，弄清幾個函數(shù)間的增長差異，并培

養(yǎng)分析問題解決問題的能力.第一步，教科書先創(chuàng)設(shè)了一個選擇投資方案的問題情境，在解

決問題的過程中給出了解析式、數(shù)表和圖象三種表示，然后提出了三個思考問題，讓學(xué)生一

方面從中體會直線上升和指數(shù)爆炸，另一方面也學(xué)會如何選擇恰當(dāng)?shù)谋硎拘问綄栴}進(jìn)行分

析.第二步，教科書又創(chuàng)設(shè)了一個選擇公司獎勵模型的問題情境，讓學(xué)生在觀察和探究的過

程中，體會到對數(shù)增長模型的特點(diǎn).第三步，教科書提出了三種函數(shù)存在怎樣的增長差異的

問題.先讓學(xué)生從不同角度觀察指數(shù)函數(shù)和嘉函數(shù)的增長圖象，從中體會二者的差異；再通

過兩個探究問題，讓學(xué)生對基函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長差異，以及三種函數(shù)的衰減情況進(jìn)行自

主探究.這樣的安排內(nèi)容上層次分明，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的方面積極地開展觀察、思考和

探究活動，對典型的問題，多視點(diǎn)寬角度地進(jìn)行了研究.對學(xué)生分析問題、解決問題能力的

培養(yǎng)將有積極的推動.由于本節(jié)內(nèi)容比較豐富，而且研究問題的方法和途徑也比較多，所以

本節(jié)課我們只能重點(diǎn)解決其中的前兩個問題.

四.教學(xué)支持條件分析

要讓學(xué)生較為全面地體會函數(shù)模型的思想，特別是本節(jié)例題中用函數(shù)模型研究實(shí)際問題

有許多數(shù)據(jù)、圖象等方面處理上的困難，而利用信息技術(shù)工具，就可以在不同的范圍觀察到

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和基函數(shù)的增長差異.這樣，就使學(xué)生有機(jī)會接觸到一些過去難以接觸

到的數(shù)學(xué)知識和思想方法.因此在本節(jié)內(nèi)容教學(xué)的處理上，通過學(xué)生收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模

型，利用計算器和計算機(jī)，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及幕函數(shù)間的增長差異；結(jié)合實(shí)例

體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.

五.教學(xué)過程設(shè)計

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

1.介紹第三章章頭圖，提出問題.

問題1：澳大利亞的兔子為什么能在短短的幾十年中由5只發(fā)展到5億只？

澳大利亞兔子的急劇增長反映了自然界中一種增長現(xiàn)象：指數(shù)增長.

問題2：在生活中，你還能舉出其它增長的例子嗎？

2.在學(xué)生回答問題的基礎(chǔ)上引出各種不同類型的函數(shù)增長模型.

3.揭示課題：幾類不同增長的函數(shù)模型.

【設(shè)計意圖】運(yùn)用章頭圖，形成問題情境，產(chǎn)生應(yīng)用函數(shù)的需要，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愿望.

二、分析問題，建立模型

(-)提出問題

例1.假如你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的

回報如下：

方案一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；

方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番.

請問：你會選擇哪種投資方式？

(-)分析問題

1.引導(dǎo)審題，抓住關(guān)鍵詞“回報”

問題3：你選擇的是什么樣的回報？怎樣比較回報資金的大??？

從解決問題的角度看：

(1)比較三種方案的每日回報；

(2)比較三種方案在若干天內(nèi)的累計回報.

2.引導(dǎo)分析數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型

僅從日回報的角度引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系，歸納概括出相應(yīng)的函數(shù)模型，寫出每個方案

的函數(shù)解析式.

【設(shè)計意圖】引發(fā)學(xué)生思考，經(jīng)歷建立函數(shù)基本模型的過程.

【備注】累計回報的本質(zhì)是數(shù)列求和問題，由于學(xué)生目前的知識儲備還不夠，現(xiàn)在僅限

于通過對函數(shù)模型通過列表計算、圖象觀察來作出判斷和選擇.

三、組織探究，感性體驗(yàn)

1.教師提出問題

問題4：你會選擇哪種投資方案？請用數(shù)學(xué)語言呈現(xiàn)你的理由.

2.學(xué)生分組操作，比較不同增長

從解決問題的方式上：

（1）用列表方法來比較；

（2）畫出函數(shù)圖象來分析.

【設(shè)計意圖】保成學(xué)生合作探究、動手實(shí)踐，能借助計算器，利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖象

對三種模型進(jìn)行比較、分析，初步感受直線上升和指數(shù)爆炸的意義，初步體驗(yàn)研究函數(shù)增

長差異的方法.

四、成果交流，階段小結(jié)

（-）學(xué)生交流

讓學(xué)生交流小組探究的成果（表格、圖象、結(jié)論）

（二）師生互動

L閱讀教材上例題解答中的數(shù)據(jù)表格與圖象（突出散點(diǎn)圖），引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注增長量，感

受增長差異.

2.通過教師多媒體動態(tài)演示，讓學(xué)生進(jìn)一步體會增長差異.

在不同的函數(shù)模型下，雖然都有增長，但增長態(tài)勢各具特點(diǎn).他們的增長不在同一個“檔

次”上，當(dāng)自變量變得很大時，指數(shù)型函數(shù)比一次函數(shù)增長的速度要快得多.

（三）歸納小結(jié)

1.通過教師的小結(jié)，增強(qiáng)學(xué)生對增長差異的認(rèn)識.

常數(shù)函數(shù)（沒有增長），直線上升（勻速增長），指數(shù)爆炸（急劇增長）.

2.上述問題的解決，是通過考慮其中的數(shù)量關(guān)系，把它抽象概括成一個函數(shù)問題，用解

析式、數(shù)據(jù)表格、圖象這三種函數(shù)的表達(dá)形式來研究的.

【設(shè)計意圖】分享學(xué)生成果，達(dá)到生生互動、師生互動；借助多媒體展示，幫助學(xué)生理

解不同增長的函數(shù)模型的增長差異，并且初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本思想，認(rèn)識函數(shù)問題的

研究方法.

五、深入探究，理性分析

（-）提出問題

例2.某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：

在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單

位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三

個獎勵模型：y=0.25xy=log7x+ly=1.002,.其中哪個模型能符合公司的要

求？

（-）引導(dǎo)分析

問題5：你能立刻做出選擇嗎？選擇的依據(jù)是什么？

問題6：公司的要求到底意味著怎樣的數(shù)學(xué)關(guān)系？

問題7：我們提供的三個增長型函數(shù)哪一個符合限制條件？

（三）解決問題

1.通過多媒體演示，發(fā)現(xiàn)增長差異；

2.結(jié)合限制條件，初步作出選擇；

3.通過計算，進(jìn)一步確認(rèn)，驗(yàn)證所得結(jié)論；

4.體會對數(shù)增長模型的增長特征：當(dāng)自變量變得很大時平緩增長；

5.揭示函數(shù)問題的研究方法（觀察一歸納一猜想一證明）.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在觀察和探究的過程中，學(xué)會理性分析，體會對數(shù)增長模型的特點(diǎn).

【備注】對判斷模型二yulog,x+l是否滿足限制條件"log7X+l40.25x”，考慮到

學(xué)生現(xiàn)在知識儲備和接受水平，只能采用了直觀教學(xué)，通過構(gòu)造新函數(shù)，觀察新函數(shù)的圖象

來解決（因?yàn)樵摵瘮?shù)單調(diào)性的判定，必須運(yùn)用高二數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)知識與方法才能解決）.

六、拓展延伸，創(chuàng)新設(shè)計

這個獎勵方案實(shí)施以后，立刻調(diào)動了員工的積極性，企業(yè)發(fā)展蒸蒸日上，但隨著時間

的推移，又出現(xiàn)了新的問題，員工缺乏創(chuàng)造高銷售額的積極性.

問題8：我們的獎勵方案有什么弊端？

問題9：你能否設(shè)計出更合理的獎勵模型？

【創(chuàng)新設(shè)計】為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤

進(jìn)行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨著銷售利洞x（單位：萬元）的增加而增加，要求如下：

10萬?50萬，獎金不超過2萬；50萬?200萬，獎金不超過4萬；200萬?1000

萬，獎金不超過20萬.請選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，用圖象表達(dá)你的設(shè)計方案.（四人一組，合

作完成）

【設(shè)計意圖】設(shè)計開放性問題對例2拓展延伸，既檢測了學(xué)生對幾類不同模型增長差異

的掌握情況，又鼓勵學(xué)生學(xué)以致用，用以致優(yōu)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再

創(chuàng)造”過程.

七、歸納總結(jié)，提煉升華

問題10：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？請你從知識、方法、思想方面作一個小結(jié).

1.知識：對函數(shù)的性質(zhì)有了進(jìn)一步的了解，我們體會到同是增長型函數(shù)，但其增長差

異卻很大：常數(shù)函數(shù)（沒有增長）；一次函數(shù)（直線上升）；指數(shù)函數(shù)（爆炸增長）；對數(shù)函

數(shù)（平緩增長）.

2.方法：函數(shù)有三種表示方法（解析法、列表法、圖象法）；函數(shù)問題的一般研究方法

（觀察一歸納一猜想一證明）

3.思想：兩個例題都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想，即把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化：面對實(shí)際問題，

我們要讀懂問題，運(yùn)用所學(xué)知識，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，最終得到實(shí)際問題的解.

【設(shè)計意圖】理解幾類不同增長的函數(shù)模型的增長差異，提煉數(shù)學(xué)思想方法，認(rèn)識數(shù)學(xué)

的應(yīng)用價值.

八、布置作業(yè)，鞏固提高

1.課本98頁課后練習(xí)1,2；課本107頁習(xí)題3.2（A組）第1題；

2.收集一些社會生活中遞增的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實(shí)例，對它們的增長

速度進(jìn)行比較，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用.

【設(shè)計意圖】進(jìn)一步體驗(yàn)函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)

律需要用不同的函數(shù)模型來描述；培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的深刻認(rèn)識，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

“空間中直線與直線的位置關(guān)系”教學(xué)設(shè)計

教學(xué)目標(biāo)

［知識與技能］

通過學(xué)習(xí)能知道空間直線的三種位置關(guān)系；

初步理解異面直線的概念，會判斷兩直線的異面關(guān)系，初步理解異面直線的

襯托畫法，初步理解異面直線所成角的概念，運(yùn)用平移的方法求異面直線所成的

角；

初步理解與運(yùn)用公理4解決問題，初步了解等角定理.

［過程與方法］

通過學(xué)習(xí)經(jīng)歷異面直線的概念的形成過程，借助平面的襯托，體會異面直線

的直觀畫法，通過對等角定理的溫故知新的探究，解決了異面直線的定義，并能

求簡單的異面直線所成的角；借助長方體的模型，發(fā)現(xiàn)與感知平行線的傳遞性質(zhì).

［情感、態(tài)度與價值觀］

經(jīng)歷師生的教與學(xué)的互動活動，讓學(xué)生初步體會化歸思想與空間想象能力的

養(yǎng)成意義，通過學(xué)習(xí)讓學(xué)生獲得對空間直線的位置關(guān)系有一個清晰的認(rèn)識，把

問題交給學(xué)生解決，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題與解決問題，養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣.

重點(diǎn)、難點(diǎn)與關(guān)鍵點(diǎn)

重點(diǎn)：異面直線的概念、異面直線所成的角與簡單角的求法；公理4的運(yùn)用.

難點(diǎn)：異面直線概念的理解與求法.

關(guān)鍵點(diǎn)：異面直線的襯托畫法，找異面直線的角.

教學(xué)準(zhǔn)備：空間四邊形模型、長方體模型，直線、平面教具，教學(xué)課件.

教學(xué)過程設(shè)計：

思考問題：空間直線與直線的位置關(guān)系有幾種？

設(shè)計意圖：由教科書第44頁“思考”中的問題，引起學(xué)生注意，誘發(fā)學(xué)生探

知的欲望，養(yǎng)成思考問題的習(xí)慣.

師生活動：（虛擬）教師放課件圖片，引導(dǎo)學(xué)生觀察：日光燈所在直線與黑板

左右兩側(cè)所在直線的位置關(guān)系，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，直線與直線有既不平行又不相交的

位置關(guān)系.我們今天上課的內(nèi)容是：

板書：空間中直線與直線的位置關(guān)系

觀察：如圖2.1-13,長方體血力"/BCD中，線段43所在直線與線段比

所在直線的位置關(guān)系如何？

（虛擬）學(xué)生：既不相交，又不平行.教5

師：這種關(guān)系我們定義為異面直線.

板書：1.異面直線的定義：

把不同在任何一個平面內(nèi)的兩直線叫做

異面直線.（關(guān)鍵點(diǎn)：不同在任何一個平面內(nèi)）.

概念辨析：

A

下列說法是否正確？請同學(xué)思考后回答：

如圖，陽U平面AMCQ,比匕平面ABC。，問的，況1是否是異面關(guān)系。

教師：同學(xué)們要理解定義中關(guān)鍵詞“不同在任何一個平面內(nèi)”，雖然直線

況'是不在同一底面上，但它們卻在對角面46切內(nèi)，因此，它們不是異面直線。

（虛擬）由學(xué)生歸納空間直線的位置關(guān)系有且僅有三種：

（幻燈片）:

2.空間直線的位置關(guān)系：

板書：

‘相交直線,

＞共面

■平行直線.

異面直線:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線

板書：

3.異面直線畫法：（幻燈片給出圖形及小標(biāo)題）：

（1）.一個平面襯托畫法：（2）.兩個平面襯托畫法:

動畫設(shè)置：（教師與學(xué)生互動）（虛擬）把襯托平面移走，再看直線a與直線

b的位置的異面關(guān)系是否直觀？很顯然，當(dāng)把襯托平面移走后，異面直線很不明

顯，所以異面直線的平面襯托是很重要的，注意下列關(guān)鍵點(diǎn)：

強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵點(diǎn)：1）.（一個平面襯托法）直線b與平面a交點(diǎn)在直線a外；

2）.（兩個平面襯托法）直線a,8與棱都相交，且交點(diǎn)不重合.

師生活動：如圖，長方體用笫TBCD中，AAJ/BB,,CC、〃BB”那么小與

CG平行嗎？咒

（虛擬互動）：由幻燈片閃爍AAVBB”CC,/71%

〃BB“再閃爍AA/CG,由學(xué)生觀察得到結(jié)論............Z

板書（幻燈片）：

4.公理4平行于同一直線的兩直線互相------------71c

平沅

即若CC\〃BB\,則超〃S.

教師與學(xué)生共同探出：公理是判斷空間直線平行的依據(jù)；平行線的性質(zhì)是具

有傳遞性.

學(xué)以致用（1）：

例2如圖2.1-17,空間四邊形儂刀中，E,F,G,〃分別是陰BC,CD,

力的中點(diǎn).求證：四邊形皮詡是平行四邊形.

師生互動：（虛擬）教師先給學(xué)生觀察空間四邊

形的教具，分析與回顧平行四邊形定義，三角形中

位線的性質(zhì)，平行線與等式的傳遞性，要證明四邊

形是平行四邊形，需要什么條件？請學(xué)生口述，教

師寫板書.

（板書）：證明：連結(jié)初，

,/陽是△板的中位線，

/.EH//BD,且阱為D,

2

同理，F(xiàn)G//BD,且除,BO,

2

...EH//FG,且E用FG,

...四邊形斯陽是平行四邊形.

更上一層樓，變式探究：在例2中，若加條件/用物，那么四邊形顏陽又是

什么圖形？

溫故而知新：”如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角

相等或互補(bǔ)”.空間中，結(jié)論是否成立？教師提供圖形，由學(xué)生在課后完成.

5.等角定理

相等

互補(bǔ)

完善體系：探究刻畫異面直線的位置關(guān)系，引入異面直線所成的角的概念.

6.異面直線所成角的定義

引入：由幻燈片閃爍異面直線AAi和BC,B.D,

和BC它們都是異面關(guān)系，但又有明顯的區(qū)別，可

以引入異面直線所成的角來刻畫這種區(qū)別。

（幻燈片）：如圖，已知兩異面直線a,b,空

間任取一點(diǎn)0,經(jīng)過點(diǎn)0作直線優(yōu)//a,b'//b,

把a(bǔ)'與b'所成的銳角或直角叫做異面直線a與6所

成的角（或稱夾角）.

特殊情形，若兩異面直線成直角，則稱兩異面

直線互相垂直，記作a_L"

bb'

0

教師與學(xué)生共同探討，得到結(jié)論：異面直線所成的角可以通過平移變換，把

異面直線成角化歸成相交直線成角.

學(xué)以致用（2）：（由幻燈給出）

例3如圖，已知正方體ABC。-A/CA中.

(1)哪些棱所在的直線與直線84是異面直線？

(2)求棱A4,和所成角;

(3)求AR和CG所成的角。

（虛擬互動）先由學(xué)生獨(dú)立思考，再讓學(xué)生舉手發(fā)言，教師作補(bǔ)充、訂正和結(jié)

論（按三維方向或三對面分類進(jìn)行分析）.

課堂練習(xí)：

在例3中,

課后思考：

1.若a.a,b<^a,則直線a

2.如圖，則直線a和匕是異面］

3.若a-Lb,a±c,則匕〃c.

教科書第48頁練習(xí)

課堂小結(jié)

1.異面直線的定義:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線

’相交直線

2.空間兩直線的位置關(guān)系平行直線

異面直線

3.異面直線的畫法：平面襯托

4.公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行

5.等角定理：如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么它們相等或

互補(bǔ)

6.異面角的求法：一作（找）二說三求。

課后練習(xí)：

1.舉出你生活環(huán)境中異面直線的實(shí)例兩例；

2.完成教科書第48頁上練習(xí)；

3.第47頁探究問題：如圖2.1T8,觀察長方體

四處4BCD中，

（1）有沒有兩條棱所在的直線是互相垂直的異面

直線？

（2）如果兩條平行直線中的一條與另一條直線垂直，那么，另一條直線是否

也與這條直線垂直？

（3）垂直于同一直線的兩條直線是否垂直？

設(shè)計意圖：1.讓學(xué)生養(yǎng)成借助長方體模型的判斷問題的習(xí)慣；2.克服平面

內(nèi)兩直線定勢思維的影響.

課后研究：

（用泡沫紙做成教具）圖2.1-15是一個正方體的展開圖，如果將它還原成

正方體，那么48,CD,EF,即這四條線段所在直線是異面直線的有一對.

（互動）：由一名學(xué)生上臺把（教具）展開圖還原成正方體，二名學(xué)生上臺畫

還原圖；教師與學(xué)生共同歸納規(guī)律：1.選取一個正對面，然后確定左右兩側(cè)面,

上下底面，最后定對面；2.這些線段都是面對角線.

板書設(shè)計.

空間中直線與直線的位置關(guān)系

‘相交直線'

共面直線

1.?平行直線,

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線

2.公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行

3.異面直線的畫法

4.

例2證明：連結(jié)加，

防是△板的中位線，

/.EH//BD,且阱LBD,

2

同理，F(xiàn)G〃BD,月.F/BD,

2

，EH//FG,旦E卞FG,

四邊形明第是平行四邊形.

“空間中直線與直線的位置關(guān)系”教學(xué)設(shè)計說明

（1）本課數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)'地位'作用分析

本課數(shù)學(xué)內(nèi)容是空間直線與直線的位置關(guān)系的分類，異面直線的定義、畫

法、成角定義，平行公理和等角定理。本課地位是體現(xiàn)公理化思想的基礎(chǔ),

作用在空間線面平行（垂直）、面面平行（垂直）的轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)。設(shè)計以

長方體為載體，讓學(xué)生直觀認(rèn)識空間直線的位置關(guān)系和異面直線成角的定

義，用空間四邊形的模型來應(yīng)用平行公理。

（2）教學(xué)目標(biāo)分析

了解空間兩直線的三種位置關(guān)系，理解異面直線的定義，掌握平行公理和

等角定理，掌握兩條異面直線成角的定義與垂直。

（3）教學(xué)問題診斷，應(yīng)在具體說明本課內(nèi)容的認(rèn)知準(zhǔn)備基礎(chǔ)上，分析學(xué)習(xí)新知

識中可能存在的困難

異面直線畫法與成角問題上學(xué)生的認(rèn)知上存在誤區(qū)，可以借長方體模型突

破難點(diǎn)。

（4）本節(jié)課的教法特點(diǎn)以及預(yù)期效果分析

借助長方體模型，發(fā)現(xiàn)和感知新知，也利用模型鞏固新知，預(yù)期效果較好。

《球面距離》的教學(xué)設(shè)計說明

課題：球面距離

教材：上海市高級中學(xué)課本數(shù)學(xué)高三年級（上海教育出版社出版）

教師：上海市市西中學(xué)劉嵐

一.教學(xué)內(nèi)容的地位、作用分析

球是我們在日常生活中經(jīng)常見到的熟悉而特殊的一種旋轉(zhuǎn)體。在學(xué)生已經(jīng)掌

握圓柱、圓錐的概念和性質(zhì)后進(jìn)一步探究球的相關(guān)性質(zhì)，使學(xué)生擺脫旋轉(zhuǎn)體的母

線只能是線段的狹隘理解，也是對旋轉(zhuǎn)體知識體系的完善。

球面距離是在學(xué)生了解了球的有關(guān)概念及性質(zhì)基礎(chǔ)上的一節(jié)內(nèi)容，它既是

教材中關(guān)于球的最后一個知識點(diǎn)，也是立體幾何中繼“異面直線間的距離”、“點(diǎn)

到平面的距離”、“直線到平面的距離”、“平面到平面的距離”之后又一距離概

念,是高中階段研究的最后一種距離。區(qū)別于其他距離的是“球面距離”是一段

圓弧的長度。學(xué)習(xí)球面距離，有助于學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)，有助于學(xué)生思

維能力的訓(xùn)練與提高。它不但能加深學(xué)生對球面及球的截面的理解，而且在求

其解過程中，可以幫助學(xué)生運(yùn)用扇形、弧長、解三角形等眾多數(shù)學(xué)知識，并且

溝通了立體幾何中兩個重要的角（直線和平面所成的角、二面角）的概念，具有

實(shí)質(zhì)的教學(xué)意義。另外，“球面距離”具有一定的實(shí)際應(yīng)用意義。通過學(xué)習(xí)，使

學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)源于實(shí)踐又作用于實(shí)踐，同時數(shù)學(xué)中的球面距離與地理中的經(jīng)

緯度等知識的綜合運(yùn)用，體現(xiàn)二期課改中學(xué)科整合的思想。

二.教學(xué)目標(biāo)和重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

“球面距離”是上海市高中數(shù)學(xué)教材中高三年級的教學(xué)內(nèi)容，《上海市中小

學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對“球面距離”的教學(xué)要求是：知道球面距離和經(jīng)度、緯度等

概念，進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)學(xué)和實(shí)際的聯(lián)系。結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)，我將這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和

重點(diǎn)難點(diǎn)定為：

教學(xué)目標(biāo)：1.知道球面距離的概念，會在簡單情形下計算兩點(diǎn)間的球面距離。

2.體驗(yàn)將空間中的計算轉(zhuǎn)換為平面上的問題的求解方法。

3.會求地球上同經(jīng)度和同緯度兩點(diǎn)間的球面距離，感受數(shù)學(xué)知識在

實(shí)際問題中的應(yīng)用價值。

教學(xué)重點(diǎn)：會計算簡單情形下球面上兩點(diǎn)間的球面距離。

教學(xué)難點(diǎn)：地球上同緯度的兩點(diǎn)間的球面距離的求法。

三.教學(xué)問題診斷

這節(jié)課的授課對象是上海市示范性高中的學(xué)生，他們有較好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，

有一定的口頭和書面表達(dá)能力。學(xué)生已經(jīng)知道球的相關(guān)概念、球的截面的性質(zhì)、

球大圓的定義，具備了理解球面距離概念的基礎(chǔ)，并能運(yùn)用相關(guān)三角知識解三

角形。

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是地球上同緯度的兩點(diǎn)間的球面距離的求法。對教學(xué)難

點(diǎn)的突破我采取了三個策略：

1.教材在引出球面距離的概念后，直接進(jìn)入了地球上同經(jīng)度、同緯度兩點(diǎn)間的

球面距離的求法（例1、例2）,從概念到應(yīng)用之間的跨度較大。為此，我設(shè)計

了一組過渡性的練習(xí)，為難點(diǎn)的突破作鋪墊。

2.學(xué)生在高一地理課上已初步了解經(jīng)度和緯度的定義，但由于時間相隔較長，

可能已生疏。所以在講解例題前我運(yùn)用教具和多媒體演示對地球經(jīng)緯度知識作

了簡單回顧，以喚起學(xué)生的記憶。

3.在例題2的講解中通過師生、生生互動利用分析法引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問題的

途徑。

另外，由于球面不能展開成平面圖形，教學(xué)中學(xué)生在認(rèn)知上可能產(chǎn)生的困

難及其應(yīng)對策略是：

1.對球面距離概念的理解一一按照課程標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定，本節(jié)內(nèi)容對球面距離概念

的引入采用直接告知的做法，不要求對“通過球面上兩點(diǎn)的大圓劣弧是這兩點(diǎn)

在球面上的最短路徑”作出證明或說明。并且在給出概念后我設(shè)置了一組相關(guān)

的辨析題來強(qiáng)化概念中的“大圓”和“劣弧”等關(guān)鍵詞，同時在作業(yè)中加強(qiáng)訓(xùn)

練。

2.球面距離計算公式的推導(dǎo)一一通過教師設(shè)問，以問題推進(jìn)的方式引導(dǎo)學(xué)生得

到公式。

3.球小圓上兩點(diǎn)間線段長度的計算一一課本在例2中求AB的長度是把它投影到

赤道平面上，但實(shí)施過程中AB的長也可以利用緯度圈這個小圓來解決，所以我

預(yù)設(shè)了兩種途徑。同時在求AB長的方法上，我也預(yù)設(shè)了區(qū)別于教材的另一種解

法，即通過解直角三角形求得。

四.教學(xué)過程

教學(xué)過程設(shè)計說明

一.引入：

教師演示圓柱、棱柱表面上兩點(diǎn)間的最短路徑；

通過實(shí)驗(yàn)和類比使學(xué)生感

9□-e受和了解球面距離的概念。

由學(xué)生動手探索球面上兩點(diǎn)間的最短路徑。

二.新知構(gòu)建由于對此定義合理性的證

1.球面距離定義的給出：明教材中沒有提及，課程標(biāo)準(zhǔn)

可以證明，通過球面上兩點(diǎn)的大圓劣弧是這兩點(diǎn)在球面中沒有要求，也不是學(xué)生在高

上的最短路徑，我們把它的長度定義為兩點(diǎn)間的球面距離。中時必須掌握的能力，故沒有

由于證明“通過球面上兩點(diǎn)的大圓劣弧是這兩點(diǎn)在球面納入這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。這里

上的最短路徑”需要更多數(shù)學(xué)知識，學(xué)生的基礎(chǔ)不夠，所以采取和教材中相同的描述即

課本表述為“可以證明”但沒有給出證明?！翱梢宰C明”的處理方式，對

于感興趣或者學(xué)有余力的學(xué)

2.強(qiáng)化定義，落實(shí)關(guān)鍵詞：生，可在課后進(jìn)一步探討。

練習(xí)：判斷圖中聯(lián)結(jié)A、B兩點(diǎn)的紅色曲線的長度是否A、

B間的球面距離？加深對定義中的關(guān)鍵詞：

“大圓”、“劣弧”的理解。

$B三

AA

3.球面上兩點(diǎn)的球面距離具有唯一性

在定義中指出球面距離是大圓上一段劣弧的長度，所以

該定義有沒有涉及A、B、。三點(diǎn)共線的情況？

在不涉及A、B、0三點(diǎn)共線的情況下，通過A、B分析教材邊欄中提出的問題。

兩點(diǎn)的球的大圓是否唯一？

大圓上A、B間的劣弧是否唯一？

所以兩點(diǎn)的球面距離具有唯一性。

4.球面距離的計算：

復(fù)習(xí)扇形的弧長公式，得到兩點(diǎn)間球面距離的計算方法：

s=aR（其中a為NAOB的弧度，R為球半徑）

練習(xí)：

1.已知球。的半徑為R,A、B是球面上兩點(diǎn)。

NAOB=f,求A、B兩點(diǎn)的球面距離。

通過一組練習(xí)使學(xué)生初步

2.已知球0的半徑為R,A、B是球面上

掌握球面距離的計算方法，并

兩點(diǎn)。AB=R,求A、B兩點(diǎn)的球面距離。

為之后的例題解答進(jìn)行鋪墊。

3.已知球。的半徑為R=4V2,A、B是球

面上兩點(diǎn)。A、B所在的小圓0,的半徑r=4,

ZA0'B=-,求A、B兩點(diǎn)的球面距離。

2

三.應(yīng)用：（由玉樹地震發(fā)生后的兩條新聞報道引出例題）

1.例1：己知地球的半徑約為6371千米，玉門的位置約為東選擇與課本例題要求一致

經(jīng)97°北緯40°；玉樹的位置約為東經(jīng)97°北緯33。，求又較貼近現(xiàn)實(shí)生活的例題，將

兩地之間的球面距離。教材中的例題作為課后作業(yè)安

（結(jié)果精確到1千米）排。

a）從數(shù)學(xué)角度對經(jīng)度和緯度知識作簡單回顧。由于學(xué)生高一時已經(jīng)學(xué)過

相關(guān)地理知識，故這里只做簡

3.例2：已知地球的半徑約為6371千米，西寧的位置約為東單回顧，喚起學(xué)生記憶。

經(jīng)101°北緯36°2"；濟(jì)南的位置約為東經(jīng)117°,北緯

36024,。求兩地之間的球面距離。（結(jié)果精確到1千米）

（思考〉若在北緯36°24,緯線上另有一點(diǎn)C的位置為西經(jīng)

99°北緯36°24,,則在求西寧和C點(diǎn)之間的球面距離時如何

計算ZAOC?

四.小結(jié)

這節(jié)課學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)間的球面距離，即通過球面上A、B兩點(diǎn)

的大圓劣弧的長度。

我們把空間中的邊、角計算轉(zhuǎn)換為平面上的問題，在扇形

AOB中求出NAOB的大小，并利用弧長公式求得兩點(diǎn)的球面距離。

并且我們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來解決地理中的實(shí)際應(yīng)用問題，計算了

地球表面同經(jīng)度或同緯度的兩點(diǎn)間的球面距離。

五.作業(yè)布置

1.在北緯60°緯線上有甲、乙兩地，他們在緯線上的弧長為

—,R是地球半徑，求這兩點(diǎn)的球面距離。

2

2.已知上海的位置約為東經(jīng)121。，北緯31°；大連的位置約

為東經(jīng)121°,北緯39°,試求上海和大連之間的球面距離。

（結(jié)果精確到1千米）

b）已知北京的位置約為東經(jīng)116°,北緯40°；紐約的位置約

為西經(jīng)74°,北緯40°,

試求北京和紐約之間的球面距離。（結(jié)果精確到1千米）

4*.球。半徑為1,點(diǎn)A、B、C在球面上，OA、OB、OC兩兩垂直，

E、F分別為大圓圓弧AB與AC的中點(diǎn)，求點(diǎn)E、F在該球上的

球面距離。

5★.思考題：已知上海的位置約為東經(jīng)121°,北緯31°；巴西

里約熱內(nèi)盧的位置約為西經(jīng)43°,南緯23°；試求上海和

里約熱內(nèi)盧之間的球面距離。（結(jié)果精確到1千米）

五.教學(xué)設(shè)計說明

學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)中經(jīng)歷過將“平面上兩點(diǎn)間的最短路徑是連接這兩點(diǎn)的線

段”這一概念直接引入的過程，所以我設(shè)計了通過實(shí)驗(yàn)和類比來了解球面距離概

念的環(huán)節(jié)，并借用多媒體技術(shù)，使球面距離更直觀化，讓學(xué)生更好地