人教A版高中數(shù)學選擇性必修三（選修三）分層同步練習

人教A版高中數(shù)學選擇性必修三分層同步練習

第六章計數(shù)原理

6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

（第1課時）

【基礎達標練】

1.若xe{l,2,3},yW{5,7,9},則x-y的不同取值的個數(shù)是（）

A.2B.6C.9D.8

而求x?y需分兩步.第1步,x的取值有3種;第2步,y的取值有3種,故共有3X3=9（個）

不同的值.

2.有5個不同的棱柱、3個不同的棱錐、4個不同的圓臺、2個不同的球，若從中取出2個幾

何體,使多面體和旋轉體各一個,則不同的取法種數(shù)是（）

A.14B.23C.48D.120

麻麗分兩步:第1步，取多面體，有5+3=8（種）不同的取法;第2步,取旋轉體,有4+2=6（種）不

同的取法.

所以不同的取法種數(shù)是8X6=48.

|g^]c

3.若x,y€N,且1WxW3,x+y<7,則滿足條件的不同的有序自然數(shù)對（x,y）的個數(shù)是（）

A.15B.12C.5D.4

題利用分類加法計數(shù)原埋.

當x=l時,y=0,1,2,3,4,5,有6個不同的有序自然數(shù)對;

當x=2時,y=0,1,2,3,4,有5個不同的有序自然數(shù)對；

當x=3時,y=0,1,2,3,有4個不同的有序自然數(shù)對.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得,共有6+5+4=15（個）不同的有序自然數(shù)對.

4A

4.有不同的語文書9本,不同的數(shù)學書7本,不同的英語書5本,從中選出不屬于同一學科的

書2本，則不同的選法有（）

A.21種B.315種C.153種D.143種

廨桶由題意,選一本語文書一本數(shù)學書有9X7=63（種），選一本數(shù)學書一本英語書有

5X7=35（種），

選一木語文書一木英語書有9X5=45（種），

根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有63+45+35=143（種）選法.故選D.

答案D

第一列第二列第三列

5.數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學游戲.如圖是數(shù)獨的一個簡化版,由3行3列9個單元

格構成.玩該游戲時,需要將數(shù)字1,2,3（各3個）全部填入單元格,每個單元格填一個數(shù)字,要

求每一行、每一列均有1,2,3這三個數(shù)字，則不同的填法有（）

A.12種B.24種

C.72種D.216種

麗先填第一行,有3X2X1=6（種）不同填法，再填第二行第一列，有2種不同填法,當該單

元格填好后,其他單元格唯一確定.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有6X2=12（種）不同的填法.

故選A.

答案A

6.如圖，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有

個.

斷|滿足條件的三角形有兩類.第1類,與正八邊形有兩條公共邊的三角形有8個;第2類,

與正八邊形有一條公共邊的三角形有8X4=32（個），所以滿足條件的三角形共有

8+32=40（個）.

蓬40

7.有一項活動,需從3位教師、8名男同學和5名女同學中選人參加.

（1）若只需1人參加,則有多少種不同的選法？

（2）若需教師、男同學、女同學各1人參加，則有多少種不同的選法？

解⑴選1人,可分三類:第1類,從教師中選1人，有3種不同的選法;第2類,從男同學中選

1人，有8種不同的選法;第3類,從女同學中選1人，有5種不同的選法,共有3+8+5=16（種）

不同的選法.

（2）選教師、男同學、女同學各1人，分三步:第1步,選教師，有3種不同的選法;第2步，選

男同學,有8種不同的選法;第3步,選女同學,有5種不同的選法,共有3X8X5=120（種）不

同的選法.

8.某電視臺連續(xù)播放6個廣告,其中有3個不同的商業(yè)廣告、2個不同的宣傳廣告和1個公

益廣告,要求最后播放的不能是商業(yè)廣告,宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放,2個宣傳廣告

也不能連續(xù)播放,則有多少種不同的播放方式？

網用1,2,3,4,5,6表示廣告的播放順序,則完成這件事有3類方法.

第1類，宣傳廣告與公益廣告的播放順序是2,4,6.分6步完成這件事，共有

3X3X2X2X1X1=36（種）不同的播放方式；

第2類，宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1,4,6.分6步完成這件事，共有

3X3X2X2X1X136（種）不同的播放方式；

第3類，宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1,3,6.同樣分6步完成這件事，共有

3乂3X2乂2><1><1:36（種）不同的播放方式.

由分類加法計數(shù)原理,得6個廣告不同的播放方式共有36+36+36=1081種）.

【能力提升練】

1.如圖，一條電路從A處到B處接逋時,可構成線路的條數(shù)為（用處只接通一條線路）（）

A.8B.6C.5D.3

而從A處到B處的電路接通可分兩步.第1步,前一個并聯(lián)電路接通有2條線路;第2步,

后一個并聯(lián)電路接通有3條線路.由分步乘法計數(shù)原理,知電路從A處到B處接通時,可構成

線路的條數(shù)為2X3=6.

4B

2.某班小張等4名同學報名參加A,B,C三個課外活動小組,每名同學限報其中一個小組，且

小張不能報A小組,則不同的報名方法有（）

A.27種B.36種C.54種D.81種

廨加小張的報名方法有2種,其他3名同學的報名方法各有3種，由分步乘法計數(shù)原理知,共

有2X3X3X3=54(種)不同的報名方法，故選C.

|答案|c

3.5名同學報名參加兩個課外活動小組,每名同學限報其中的一個小組,則不同的報名方法

共有()

A.10種B.20種C.25種D.32種

麗每名同學都有2種選擇,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同的報名方法共有2工32(種).

|H］l)

4.如右圖所示，小圓圈表示網絡的結點,結點之間的線段表示它們有網線相連.連線標注的數(shù)

字表示該段網線單位時間內可以逋過的最大信息量.現(xiàn)從結點A向結點B傳遞信息,信息可

以從分開不同的路線同時傳遞,則單位時間內傳遞的最大信息量為()

A.26B.24C.20D.19

陋|因信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，由分類加法計數(shù)原理,完成從A向B傳遞有四

種方法,12f5f3,12f6f4,12f6f7,12f8f6,故單位時間內傳遞的最大信息量為四條不

同網線上信息量的和，即3+4+6+6=19,故選D.

短D

5.設me{l,2,3,4},n￡{-12,-8,-4,-2},則函數(shù)f(x)=x3+mx+n在區(qū)間［1,2］上有零點的概率

是()

A.-B.—C.—D.—

2161616

麗根據(jù)題意,f(x)=3x2+m,又因為m>0,所以f(x)=3x2+m>0;

故f(x)=x'+inx+n在R上單調遞增，

若函數(shù)f(x)=x3+mx+n在區(qū)間［1,2］上有零點，

則只需滿足條件f(DW0且f(2)20.

所以m+nWT且2m+n^-8,

所以-2n1-8Wn^-m-1,

當npl時，n取-2,-4,-8;

當m=2時，n取-4,-8,-12;

當m=3時，n取-4,-8,-12;

當m=4時,n取-8,-12;

共11種取法,而m有4種選法,n有4種選法，

則函數(shù)f(x)=x3+mx+n有4義4=16(種)情況，

故函數(shù)f(x)=x3+mx+n在區(qū)間［1,2］上有零點的概率是5故選C.

16

6.為了進一步做好社區(qū)疫情防控工作,從6名醫(yī)護人員中任意選出2人分別擔任組長和副組

長,則有種不同的選法.

畫首先從6人中選1人擔任組長,共有6種不同的選法;然后從剩余5人中選1人擔任副

組長,共有5種不同的選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,從6名醫(yī)護人員中任意選出2人分別擔

任組長和副組長共有6X5=30(種)不同的選法.

答案130

7.某體育彩票規(guī)定:從01至36共36個號中抽出7個號為一注,每注2元,某人想從01至10

中選3個連續(xù)的號,從11至20中選2個連續(xù)的號,從21至30中選1個號,從31至36中選

1個號組成一注,此人想把這種特殊要求的號買全,需要花元.

畫分四步:第1步，從01至10中選3個連續(xù)的號碼有01,02,03;02,03,04;…;08,09,10,

共8種不同的選法；

第2步，同理,從11至20中選2個連續(xù)的號碼有9種不同的選法；

第3步，從21至30中選一個號碼有10種不同的選法；

第4步，從31至36中選一個號碼有6種不同的選法.

共可組成8X9X10X6=4320(注)，所以需要花費2X4320=8640(元).

答案|8640

8.現(xiàn)有5幅不同的國畫,2幅不同的油畫,7幅不同的水彩畫.

(1)從中任選1幅畫布置房間，有幾種不同的選法？

(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選1幅畫布置房間，有幾種不同的選法？

(3)從這些畫中任選出2幅不同畫種的畫布置房間,有幾種不同的選法？

網(D利用分類加法計數(shù)原理,知共有5+2+7=14(種)不同的選法.

(2)國畫有5種不同的選法,油畫有2種不同的選法,水彩畫有7種不同的選法.由分步乘法

計數(shù)原理,知共有5X2X7=70(種)不同的選法.

(3)三類分別為選國畫與油畫、油畫與水彩畫、國畫與水彩畫.由分類加法計數(shù)原理和分步乘

法計數(shù)原理,知共有5義2+2X7+5X7=59（種）不同的選法.

【素養(yǎng)培優(yōu)練】

用0,1,2,3,4,5可以組成多少個符合下列要求的無重好數(shù)字的數(shù)？

（1）四位整數(shù)；

⑵比2000大的四位偶數(shù).

解（D分步解決：

第1步,千位數(shù)字有5種選取方法；

第2步,百位數(shù)字有5種選取方法；

第3步,十位數(shù)字有4種選取方法；

第4步,個位數(shù)字有3種選取方法.

由分步乘法計數(shù)原理知,可組成無重復數(shù)字的四位整數(shù)5X5X4X3=300（個）.

（2）（方法一）按個位是0,2,4分為三類：

第1類,個位是0的有4X4X3=43（個）；第2類,個位是2的有3X4X3=36（個）；第3類，個

位是4的有3X4X3=364）.

則由分類加法計數(shù)原理知,有48+36+36=120（個）無重復數(shù)字的比2000大的四位偶數(shù).

（方法二）按千位是2,3,4,5分四類：

第1類,千位是2的有2X4X3=24W；

第2類,千位是3的有3X4X3=36（個）；

第3類,千位是4的有2X4X3=24（個）；

第4類,千位是b的有3X4X3=363）.

由分類加法計數(shù)原理知,有24+36+24+36=120（個）無重復數(shù)字的比2000大的四位偶數(shù).

第六章計數(shù)原理

6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

（第2課時）

【基礎達標練】

1.將3張不同的奧運會門票分給10名同學中的3人，每人1張,則不同分法的種數(shù)是（）

A.2160B.720C.240D.120

麗第1張門票有10種分法,第2張門票有9種分法，第3張門票有8種分法,由分步乘法

計數(shù)原理得共有10X9X8=720(種)分法.

^]B

2.從0,1,2,…,9這10個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字作為平面直角坐標系中點(a,b)的坐標,

能夠確定不在x軸上的點的個數(shù)是()

A.100B.90C.81D.72

解困分兩步,第1步選b,因為bHO,所以有9種不同的選法;第2步選a,因為aWb,所以也

有9種不同的選法.由分步乘法計數(shù)原理知共有9X9=81(個)點滿足要求.

迪C

3.算籌是在珠算發(fā)明以前我國獨創(chuàng)并且有效的計算工具,為我國古代數(shù)學的發(fā)展做出了很大

貢獻.在算籌計數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字，如圖，

數(shù)字123456789

縱式1II11111muTTTHI而

橫式——8=三±111

表示多位數(shù)時,個位用縱式,十位用橫式,百位用縱式,千位用橫式，以此類推,遇零則置空,如

圖：

_L1T=m6728

±TTHI6708

如果把5根算籌以適當?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?，那么可以表示的三位?shù)的個數(shù)為

()

A.46B.44C.42D.40

噩|按每一位算籌的根數(shù)分類一共有15種情況,如下，

(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3)

,(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4).

2根及2根以上的算等可以表示兩個數(shù)字,運用分步乘法計數(shù)原理，

則上述情況能表示的三位數(shù)字個數(shù)分別為

2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2.

根據(jù)分步加法計數(shù)原理,5根算籌能表示的三位數(shù)字個數(shù)為

2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.故選B.

答案|B

4.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩

個節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種數(shù)為（）

A.42B.30C.20D.12

畫原定的5個節(jié)目產生6個空位,將其中1個新節(jié)目插入,有6種不同的插法,然后6個節(jié)

目產生7個空位，將另一個新節(jié)目插入，有7種不同的插法.由分步乘法計數(shù)原理知共有

7X6=42（種）不同的插法.

■A

5.某縣總工會利用業(yè)余時間開設太極、書法、繪畫三個培訓班，甲、乙、丙、丁四人報名參

力口,每人只報名參加一項,且甲、乙不參加同一項,則不同的報名方法種數(shù)為.

畫甲有三個培訓可選，甲、乙不參加同一項，所以乙有兩個培訓可選，丙、丁各有三個培訓

可選,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同的報名方法種數(shù)為3X2X3X3=54.

454

6.已知集合M={1,2,3,4），集合A,B為集合M的非空子集,若對VxEA,y￡B,x<y恒成立,則稱

（A,B）為集合M的一個“子集對”，則集合M的“子集對”共有個.

麗當A二{1}時,B有2-1=7畫）情況；

當A={2}時,B有22-1=3（種）情況;當A=⑶時,B有1種情況;當A={1,2}時,B有22-1=3（種）

情況；當A={1,3},（2,3},{1,2,3）W,B均有1種情況，所以集合M的“子集對”共有

7+3+1+3+3=17（個）.

喜17

7.五個_E程隊承建某項_E程的5個不同的子項目，每個工程隊承建1個，具中甲工程隊不能

承建1號子項目，則不同的承建方案有種.

廨劇完成承建任務可分五步.第1步，安排1號，有4種不同的承建方案;第2步,安排2號,

有4種不同的承建方案;第3步,安排3號,有3種不同的承建方案;第4步,安排4號，有2

種不同的承建方案；第5步，安排5號，有1種承建方案.由分步乘法計數(shù)原理得，共有

4X4X3X2X1=96（種）不同的承建方案.

標|96

8.某文藝小組有20人,其中會唱歌的有14人,會跳舞的有10人,從口選出會唱歌與會跳舞

的各1人參加演出,且既會唱歌又會跳舞的至多選1人,有多少種不同的選法？

闞第1類,首先從只會唱歌的10人中選出1人，有10種不同的選法,從會跳舞的10人中選

出1人，有10種不同的選法,共有10X10=100（種）不同的選法;第2類,從既會唱歌又會跳舞

的4人中選1人，再從只會跳舞的6人中選1人,共有4X6=24（種）不同的選法.所以一共有

100+24=124（種）不同的選法.

9.在3000到8000之間有多少個無重復數(shù)字的奇數(shù)？

解分兩類:一類是以3,5,7為首位的四位奇數(shù),可分三步完成:先排首位有3種方法,再排個

位有4種方法,最后排中間兩個數(shù)有8X7種方法,所以滿足要求的數(shù)有3X4X8X7=672（個）.

另一類是首位是4或6的四位奇數(shù),也可分三步完成,滿足要求的數(shù)有2X5X8X7=560（個）.

由分類加法計數(shù)原理得,滿足要求的數(shù)共有672+560=1232（個）.

10.如圖是某校的校園設施平面圖,現(xiàn)有不同的顏色作為各區(qū)域的底包為了便于區(qū)分,要求

相鄰區(qū)域不能使用同一種顏色.若有6種不同的顏色可選,求有多少種不同的著色方案.

操宿舍區(qū)

場餐廳教學區(qū)

雕場可從6種顏色中任選1種著色;餐廳可以從剩下的5種顏色中任選1種著色;宿舍區(qū)

和操場、餐廳顏色都不能相同，故可以從剩下的4種顏色中任選一種著色;教學區(qū)和宿舍區(qū)、

餐廳的顏色都不能相同,故可以從剩下的4種顏色中任選1種著色.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,

知共有6X5X4X4=480（種）不同的著色方案.

【能力提升練】

1.袋中有8個不同的紅球,7個不同的白球,6個不同的黃球,現(xiàn)從中任取兩個不同顏色的球,

不同的取法有（）

A.336種B.21種

C.104種D.146種

畫分三類:當取出一紅一白時，有8X7種不同的取法;當取出一紅一黃時，有8X6種不同

的取法；當取出一白一黃時，有7X6種不同的取法.由分類加法計數(shù)原理知有

N=8X7+8X6+7X6=146（種）不同的取法.

存D

2.從集合｛1,2,3,…，10｝中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列,這樣的等比數(shù)列

個數(shù)為（）

A.3B.4

C.6D.8

畫遞增的等比數(shù)列為1,2,4;1,3,9;2,4,8;4,6,9共4個.同理,遞減的等比數(shù)列也有4個，

故所求的等比數(shù)列有8個.

4D

3.現(xiàn)從甲、乙、丙等6名學生中安排4人參加4X100m接力賽跑，第一棒只能從甲、乙兩個

人中安排一人,第四棒只能從甲、丙兩個人中安排一人,則不同的安排方法共有種.

麗若甲跑第一棒,則丙跑第四棒,此時不同的安排方法有4X3=12（種）；若乙跑第一棒,則

不同的安排方法有2X4X3=24（種），故不同的安排方法共有24+12=36（種）.

答案|36

4.某超市內一排共有6個收費通道,每個通道處有1號、2號兩個收費點,根據(jù)每天的人流量，

超市準備周一選擇其中的3處通道，要求3處通道互不相鄰，且每個通道至少開通一個收費

點,則周一這天超市選擇收費的安排方式共有種.

畫設6個收費通道依次編號為1,2,3,4,5,6,從中選擇3個互不相鄰的通道，有

135,136,146,246共4種不同的選法.

對于每個通道，至少開通一個收費點，即可以開通1號收費點，開通2號收費點，同時開通兩

個收費點,共3種不同的安排方式.

由分步乘法計數(shù)原理,可得超市選擇收費的安排方式共有4X37108（種）.

薇1108

5.從-3,-2,-1,U,1,2,3中任取三個不同的數(shù)作為拋物線y=ax2+bx+c（aWU）的系數(shù)，如果拋物

線過原點,且頂點在第一象限,那么這樣的拋物線共有多少條？

闞第1步,確定c的取值.由題意如c=0,所以c有1種取值方法；

第2步,確定a的取值.由于a<0,因此a有3種取值方法；

第3步,確定b的取值.由于b>0,因此b有3種取值方法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，知滿足題意的拋物線共有N=3X3X1=9（條）.

6.（1）從5種顏色中選出3種顏色，涂在一個四棱錐的五個頂點上，每一個頂點涂一種顏色，

并使同一條棱上的兩個頂點異色，求不同的涂色方法數(shù)；

（2）從5種顏色中選出4種顏色，涂在一個四棱錐的五個頂點上，每個頂點上涂一種顏色，并

使同??條棱上的兩個頂點異色，求不同的涂色方法數(shù).

闞⑴如圖，由題意知，四棱錐S-ABCD的頂點S,A,B所涂色互不相同，則A,C必須顏色相

同,B,D必須顏色相同，所以共有5X4X3X1X1=60（種）不同的涂色方法.

4

--------------VC

（2）（方法一）由題意知，四棱錐S-ABCD的頂點S,A,B所涂色互不相同，則A,C可以顏色相

同,B,D可以顏色相同，并且兩組中必有一組顏色相同.所以，先從兩組中選出一組涂同一顏

色，有2種選法（如:B,D顏色相同）；再從5種顏色中，選出四種顏色涂在S,A,B,C四個頂點

上，最后D涂B的顏色,有5X4X3X2=120（種）不同的涂色方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共

有2X120=240（種）不同的涂色方法.

（方法二）分兩類.

第1類,C與A顏色相同.由題意知，四棱錐S-ABCD的頂點S,A,B所涂色互不相同,它們有

5X4X3=60（種）不同的涂色方法.共有5X4X3X1X2=120（種）不同的涂色方法.第2類,C

與A顏色不同.由題意知，四棱錐S-ABCD的頂點S,A,B所涂色互不相同，它們有

5義4X3=60（種）不同的涂色方法.共有5X4X3X2X1=120（種）不同的涂色方法.由分類加

法計數(shù)原理,共有120+120=240（種）不同的涂色方法.

【素養(yǎng)培優(yōu)練】

1.稱子集AUM={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}是“好的”，如果它有下述性質一一“若2k￡A,

貝2kT￡A且2k+l￡A（k￡N）”（空集和M都是“好的”），則M中有多少個包含2個偶數(shù)的

“好的”子集？

解含有2個偶數(shù)的“好的”子集A,有兩種不同的情形：

①兩偶數(shù)是相鄰的,有4種可能:2,4;4,6;6,8;8,10.

每種情況必有3個奇數(shù)相隨（如2,4￡A,則1,3,5￡A）.

余下的3個奇數(shù)可能在A中，也可能不在A中，

故這樣的“好的”子集共有4X2J32（個）.

②兩偶數(shù)不相鄰,有6種可能:2,6;2,8;2,10:4,8;4,10;6,10.

每種情況必有4個奇數(shù)相隨（如2,6￡A,則1,3,5,7GA）.

余下的2個奇數(shù)可能在A中，也可能不在A中，

故這樣的“好的”子集共有6X2^24（個）.

綜上所述,M中有32+24=56（個）包含2個偶數(shù)的“好的”子集.

2.用n種不同的顏色為下列兩塊廣告牌著色（如圖甲、乙），要求在A,B,C,D四個區(qū)域中相鄰

（有公共邊界）的區(qū)域不用同一種顏色.

（1）若n=6,則為甲圖著色時共有多少種不同的方法？

（2）若為乙圖著色時共有120種不同的方法,求n.

解（D對區(qū)域A,B,C,D按順序著色,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有6X5X4X4=480（種）不同

的方法.

（2）對區(qū)域A,B,C,D按順序著色，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的著色方法共有n（n-l）（n-

2）（n-3）=120（種），整理得（胡-311）（n-3n+2）=120,

即（n-3n）2+2（n-3n）-120=0,

故n-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5.

第六章計數(shù)原理

6.2排列與組合

（第一課時排列與排列數(shù)）

【基礎達標練】

1.等等于（）

A.12B.24C.30D.36

西等|="06.

答案|D

2.6本不同的書擺放在書架的同一層上，要求甲、乙兩本書必須擺放在兩端，丙、丁兩本書

必須相鄰,則不同的擺放方法有（）

A.24種B.36種C.48種D.60種

解析|第1步，甲、乙兩本書必須擺放在兩端,有A；種不同的擺放方法;

第2步，丙、丁兩本書視為整體與其他兩本共三本,有種不同的擺放方法?

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有A?AgAA24（種）不同的擺放方法,故選A.

答案|A

3.已知A"1一A2=10,則n的值為（）

A.4B.5C.6D.7

解析|由穌+i-A鋁10,得（n+l）n-n（nT）=10,解得n=5.

H]B

4.將4名司機、4名售票員要分配到4輛汽車上,每輛汽車上有一名司機和一名售票員，則可

能的分配方法有（）

A.A$種B.A2種C.種D.2A*種

麗司機、售票員各有A2種安排方法,由分步乘法計數(shù)原理知共有A制%種不同的安排方法.

|^M]c

5.某單位安排7位員工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7位員工

中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有

（）

A.504種B.960種

C.1008種D.1108種

畫甲、乙相鄰的所有方案有AgA&=l440（種）.其中滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且

丙在10月1日值班的方案有AgA犯：=240（種）；

滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丁在10月7日值班的方案有電Ap\f=240（種）;

滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在W月1日值班，丁在10月7日值班的方案有

A；A%*48（種）.

故符合題設要求的不同安排方案有1440-2X240+48=1008（種），故選C.

ggc

6.由數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成能被5整除,且無重復數(shù)字的不同的五位數(shù)有（）

A.（2At-A%）個B.（2A1-A1）個

C.2Ag個I）.5Ag個

解畫能被5整除,則個位需為5或0,有2Ag個,但其中個位是5的含有0在首位的排法有A%

個,故共有（2AW-A1）個.

SHA

7.某一天上午的課程表要排入語文、數(shù)學、物理、體育共4節(jié)課,如果第一節(jié)不排體育，最后

一節(jié)不排數(shù)學,那么共有不同排法種.

函（方法一）若第一節(jié)排數(shù)學,共有A薩6（種）排法；

若第一節(jié)不排數(shù)學，第一節(jié)有2種排法，最后一節(jié)有2種排法，中間兩節(jié)任意排，有

2X2X2=8（種）排法.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有6+8=14（種）排法,故答案為14.

（方法二間接法）4節(jié)課全部可能的排法有A：=24（種），其中體育排第一節(jié)的有A”6（種），數(shù)

學排最后一節(jié)的有Ag=6（種），體育排第一節(jié)且數(shù)學排最后一節(jié)的有A,=2（種），故符合要求的

排法有A}2XAg+A>14（種）.

8.7名班委有7種不同的職務，甲、乙、丙三人在7名班委中，現(xiàn)對7名班委進行職務具體分

工.

（1）若正、副班長兩職只能從甲、乙、丙三人中選兩人擔任，有多少種不同的分工方案？

（2）若正、副班長兩職至少要選甲、乙、丙三人中的一人擔任，有多少種不同的分工方案？

陶⑴先排正、副班長,有A：種方案,再安排其余職務有Ag種方案，由分步乘法計數(shù)原理,知共

有AS凱720（種）不同的分工方案.

（2）7人中任意分工，有A刁種不同的分工方案，甲、乙、丙三人中無一人擔任正、副班長的分

工方案有種，因此甲、乙、丙三人中至少有一人擔任正、副班長的分工方案有AJ一

AjA|=3600（種）.

9.把1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù),并把它們按由不到大的順序排列成一

個數(shù)列.

（1）43251是這個數(shù)列的第幾項？

（2）這個數(shù)列的第96項是多少？

（3）求這個數(shù)列的各項和.

解（1）先考慮大于43251的數(shù)，分為以下三類：

第1類，以5開頭的有A：=24（個）；

第2類，以45開頭的有A薩6（個）；

第3類，以435開頭的有A^2（個）.

故不大于43251的五位數(shù)有Ag-（A*+Ag+A分=88（個），即43251是第88項.

（2）數(shù)列共有A9120（項），96項以后還有120-96=24（項），即比96項所表示的五位數(shù)大的五

位數(shù)有24個,所以小于以5開頭的五位數(shù)中最大的一個就是該數(shù)列的第96項，即為45321.

⑶因為1,2,3,4,5各在萬位上時都有A*個五位數(shù)，所以萬位上數(shù)字的和為

（1+2+3+4+5）?A*?10000,同理它們在千位、百位、十位、個位上也都有A*個五位數(shù)，所以

這個數(shù)列的各項和為（1+2+3+4+5）?A%?（1+10+100+1000+10000）=15X24X11111=3999

960.

【能力提升練】

1.若一個三位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個數(shù)為“傘數(shù)”.現(xiàn)從

1,2,3,4,5,6這六個數(shù)字中任取3個數(shù)，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”有（）

A.120個B.80個C.40個D.20個

顫當十位是3時,個位與百位從1,2中選,有Ag種選法；

當十位是4時,個位與百位從1,2,3中選,有怎種選法；

當十位是5時,個位與百位從1,2,3,4中選,有的種選法；

當十位是6時,個位與百位從1,2,3,4,5中選，有Ag種選法.

故傘數(shù)有A,+A專+A：+Aj=2+6+12+20=40（個）.

|￥￥|c

2.（多選）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）

A.如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊,那么不同的排法有24種

B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲，則不同的排法共有54種

C.甲、乙不相鄰的排法種數(shù)為72種

D.甲、乙、丙按從左到右的順序排列的排法有2U種

函甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，可將甲、乙捆綁看成一個元素，則不同的排法有

A壯24（種），故A正確；

最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲，則不同的排法共有AMW+A：=42（種），故B不正確；

甲、乙不相鄰的排法種數(shù)為AqA%=72（種），故C正確；

甲、乙、丙按從左到右的順序排列的排法有獸=20（種），故D正確.

A3

故選ACD.

除1，ACD

3.用0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的6位數(shù),其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的六位數(shù)共有

A.300個B.464個C.600個D.720個

函（方法一）確定最高位有Ag種不同方法.確定萬位、千位、百位,從剩下的5個數(shù)字中取3

個排列,共有Ag種不同的方法,剩卜兩個數(shù)字,把大的排在十位上即可,由分步乘法計數(shù)原理

知,共有AgA薩300（個）.

（方法二）由于個位數(shù)字大于十位數(shù)字與個位數(shù)字小于十位數(shù)字的應各占一半，故有

A薩300（個）.

4.某大樓安裝了5個彩燈，它們閃亮的順序不固定.每個彩燈只能閃亮紅、橙、黃、綠、藍中

的一種顏色,且這5個彩燈所閃亮的顏色各不相同，記這5個彩燈有序地各閃亮一次為一個

閃爍.在每個閃爍中，每秒鐘有且僅有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒.

如果要實現(xiàn)所有不同的閃爍,那么需要的時間至少是（）

A.1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒

函由題意每次閃爍共5秒,所有不同的閃爍為Ag個,相鄰兩個閃爍的時間間隔為5秒,因此

需要的時間至少是5XAg+（A2l）X5=l195（秒）.

ggc

5.3個人坐在有8個座位的一排上,若每個人的兩邊都要有空位,則不同的坐法種數(shù)為.

畫先排好5個空座位，再讓3個人帶著座位插到中間4個空中去，所以共有A%24（種）坐

法.

客家3

6.某老師一天上3個班級的課，每班一節(jié),如果一天共9節(jié)課,且老師不能連上3節(jié)課（第5

節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位老師一天的課表的所有排法有種.

麗從9節(jié)課中任意安排3節(jié)共有A；=504（種）,

其中前5節(jié)課連排3節(jié)共有3A:18（種）；后4節(jié)課連排3節(jié)共有2A盹12（種）.

故老師一天課表的所有排法共有504-18-12=474（^）.

蕊1174

7.某次文藝晚會上共演出8個節(jié)目，其中有2個唱歌、3個舞蹈、3個曲藝節(jié)目，求分別滿足

下列條件的節(jié)目編排方法有多少種？

（1）一個唱歌節(jié)目開頭，另一個放在最后壓臺；

（2）2個唱歌節(jié)目互不相鄰；

（3）2個唱歌節(jié)目相鄰且3個舞蹈節(jié)目不相鄰.

畫⑴先排唱歌節(jié)目有A洌排法,再排其他節(jié)目有A*排法,所以共有AQA爛1440（種）排

法.

（2）先排3個舞蹈節(jié)目和3個曲藝節(jié)目，有種排法,再從其中7個空（包括兩端）中選2個排

唱歌節(jié)目，有的種插入方法,所以共有怨?A1=30240（種）排法.

（3）把2個相鄰的唱歌節(jié)目看作一個元素,與3個曲藝節(jié)目排列共有A：種排法，再將3個舞蹈

節(jié)目插入，共有Ag種插入方法,最后將2個唱歌節(jié)目互換位置，有A,種排法，故所求排法共有

AJ-A|-Aj=2880（種）排法.

【素養(yǎng)培優(yōu)練】

從數(shù)字0,1,3,5,7中取出三個不同的數(shù)作系數(shù)，可以組成多少個不同的一元二次方程

ax2+bx+c=0?其中有實根的方程有多少個？

網先考慮組成一元二次方程的問題：

首先確定a,只能從1,3,5,7中選一個,有A：種,然后從余下的4個數(shù)中任選兩個作b,c,有A：

種，

所以由分步乘法計數(shù)原理知,可以組成一元二次方程A；-Al=48（個）.

方程要有實根，必須滿足A=b2-4ac^0.

分類討論如下：

當c=0時,a,b可在1,3,5,7中任取兩個進行排列,有A：個.

當c/0時,分析根的判別式知,b只能取b,7.當b取b時,a,c只能取1,3這兩個數(shù),有A,種；

當b取7時,a,c可取1,3或1,5這兩組數(shù),有2A孑種,此時共有（A>2A分個.

由分類加法計數(shù)原理知,有實根的一元二次方程共有A%+A>2A>18（個）.

第六章計數(shù)原理

6.2排列與組合

（第二課時組合與組合數(shù)）

【基礎達標練】

1.某新農村社區(qū)共包括8個自然村,且這些村莊分布零散，沒有任何三個村莊在一條直線上,

現(xiàn)要在該社區(qū)內建“村村通”工程，共需建公路的條數(shù)為（）

A.4B.8C.28D.64

麗由于“村村通”公路的修建是組合問題,故共需要建第=28（條）公路.

Ifgc

2.某中學從4名男生和3名女生中推薦4人參加社會公益活動,若選出的4人中既有男生又

有女生，則不同的選法共有（）

A.140種B.120種C.35種I）.34種

畫若選1男3女有瑪髭二4（種）；若選2男2女有第髭二18（種）；若選3男1女有第禺二12（種）.

所以共有4+18+12=34（種）不同的選法.故選D.

3.已知髭+i—以=量，則n等于（）

A.14B.12C.13D.15

其畫由題意,得以+i=或+i，故7+8=n+l,解得n=14.

ggA

4.某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世園會的中國館服務,任務是組織游客參加

“祝福祖國征集留言”“歡樂世園共繪展板”“傳遞祝福發(fā)放彩繩”三項活動，其中1人負

責“征集留言”，2人負責“共繪展板”，3人負責“發(fā)放彩繩”，則不同的分配方案共有

（）

A.30種B.60種C.120種1）.180種

畫從6人中選1人負責“征集留言'’，從剩下的人中選2人負責“共繪展板”，最后剩下

的3人負責“發(fā)放彩繩”，則不同的分配方案共有瑪髭髭=60（種）.故選B.

^]B

5.安排A,B,C,D,E,F共6名義工照顧甲、乙、丙三位老人,每兩位義工照顧一位老人,考慮到

義工與老人住址距離問題,義工A不安排照顧老人甲