人教版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）（全冊知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)梳理、重點(diǎn)題型分類鞏固練習(xí)）（基礎(chǔ)版）（家教、補(bǔ)習(xí)、復(fù)習(xí)用）

新人教版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）

重難點(diǎn)突破

知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)

變化率與導(dǎo)數(shù)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

（1）理解平均變化率的概念：

（2）了解瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念；

（3）理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；

（4）會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或瞬時(shí)變化率；

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、平均變化率問題

1.變化率

事物的變化率是相關(guān)的兩個(gè)量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比

值；

2.平均變化率

一般地，函數(shù)f（x）在區(qū)間卜,%]上的平均變化率為：.3）二〃百）

x2—x1

要點(diǎn)詮釋：

①本質(zhì)：如果函數(shù)的自變量的“增量”為Ar,且以=%2—%，相應(yīng)的函數(shù)值的“增量”為

Ay,=/（王），則函數(shù)/⑴從占到%的平均變化率為包=/-2）二/（X）

Axx2—x]

②函數(shù)的平均變化率可正可負(fù)，平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.

即遞增或遞減幅度的大小。

對于不同的實(shí)際問題，平均變化率富于不同的實(shí)際意義。如位移運(yùn)動(dòng)中，位移S（m）從h秒到t2秒的

平均變化率即為L秒到t2秒這段時(shí)間的平均速度。

高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中平均速度只能粗略地描述物體在某段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，要想更精確地刻畫物體運(yùn)動(dòng),

就要研究某個(gè)時(shí)刻的速度即瞬時(shí)速度。

3.如何求函數(shù)的平均變化率

求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：

①作差：求出△），=/'（工2）二/1（%）和-=

②作商：對所求得的差作商，即包=."/）二,⑷。

Arx2-x,

要點(diǎn)詮釋：

I.Ax是玉的一個(gè)“增量”，可用為+Ax代替/.同樣AyMAw）—/（王）。

2.x是一個(gè)整體符號(hào)，而不是與x相乘。

3.求函數(shù)平均變化率時(shí)注意I*y,兩者都可正、可負(fù)，但x的值不能為零,y的值可以為零。若

函數(shù)y=/（%）為常函數(shù)，則y-0.

要點(diǎn)二、導(dǎo)數(shù)的概念

定義：函數(shù)/（幻在x=x0處瞬時(shí)變化率是lim電lim/（/+'）-」（龍。）

,我們稱它為函數(shù)

心—°Ax-Ar

y=/（x）在x=Xo處的導(dǎo)數(shù)，記作/、'&）或y'L=”即

/,.Alim包=lim+詞T（%）

加1°Ax6.°Ax

要點(diǎn)詮釋：

①增量Ar可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0。Arf0的意義：Ax與。之間距離要多近

有多近，即|Ar-0|可以小于給定的任意小的正數(shù)。

②Acf0時(shí)，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)。

即存在一個(gè)常數(shù)與電無限接近。

AxAx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率。如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)

刻的瞬間變化率。

要點(diǎn)三、求導(dǎo)數(shù)的方法：

求導(dǎo)數(shù)值的一般步驟：

①求函數(shù)的增量：Ay=/（JQ）+Ar）-/（x0）；

②求平均變化率：曳;

AxAr

③求極限，得導(dǎo)數(shù)：/'（/）=lim包=lim叢立仝上也L

-AxATAx

也可稱為三步法求導(dǎo)數(shù)。

【典型例題】

類型一：求平均變化率

例1.（2015春河池期末）函數(shù)/（%）=伍從％到x=2的平均變化率為（）

22-\/2rr

A.2B.-C.—D.<2

33

【答案】B

【思路點(diǎn)撥】求出從；到的增量

x=x=2=/(2)-,然后利用平均變化率的公式求出即可。

[解析】函數(shù)/(%)從無=；到x=2的增量Ay=/(2)-/(1)

=1,

/./(%)從x=,到x=2的平均變化率為包=—^―=-

2Ax2_13

~2

故選：Bo

【總結(jié)升華】由于平均變化率是函數(shù)值增量與自變量增量之比，所以求函數(shù)從x=x°到x=上的平均

變化率問題，就是求包+8)-/(/)的值。

MAx

舉一反三：

【變式1】求y=M在1附近的平均變化率.

【答案】Ay=(/+Ar)2—玉：

22292

所以竺=(%+?)-一/一=X。+2/曲+/一%=2%+故

AxArAx

所以y=%2在尢=%附近的平均變化率為2%+八￥

1

【變式2】求y=2f9+l在不到毛+Ax之間的平均變化率，并求％=1,Ar=5時(shí)平均變化率的值.

【答案】當(dāng)變量從不變到%+Ax時(shí)，函數(shù)的平均變化率為

2

f(x.+Ar)-f(xQ)_[2(x0+zir)+1]-[2^+1]_

——^TA/XI

AxAx°

當(dāng)x0=l,Ax=，時(shí)，平均變化率的值為：4xl+2x-L=5.

22

【變式3】已知函數(shù)/V)=-/+%的圖象上的一點(diǎn)A(—12)及臨近一點(diǎn)3(-1+Ar,-2+Ay),

則竺=______.

Ax

【答案】-2+4=一(-1+a)2+(-1+8)，

.Ay-(―1+Ax)2+(―1+Ax)+2

??—=-----------------------------------=3—Ax

AxAr

類型二：利用定義求導(dǎo)數(shù)值

【變化率與導(dǎo)數(shù)383113例1]

例2(1)求函數(shù)/(x)=3/在處的導(dǎo)數(shù).

(2)求函數(shù).上)=一一+%在》=_］附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

【解析】(1)△y=/(l+Ax)—/(1)=3(1+A￥)2-3=6AX+3(AX)2

Ay6Ax+3(Ax)2,...,,

——=-----------------=6+3AAx,hm(6+3Ax)=6,H即nf(1)=6,

Ar\xa

所以函數(shù)/(幻=3%2在x=l處的導(dǎo)數(shù)為6.

(2)依照定義，犬x)在x=-l的平均變化率，為兩增量之比，

22

需先求Ay=f(x0+Ax)—/(x0)=—(—1+Ax)+(—1+Ax)—2=3Ax—(Ax),

再求：”=越匚但匚=3一故，即為兀0=一“2+》在犬=-1附近的平均變化率。

AxZkr

再由導(dǎo)數(shù)定義得：r(—l)=lim包=lim(3—Ax)=3

Ar-*。AvAXTO

【總結(jié)升華】利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，需熟練掌握求導(dǎo)數(shù)的步驟和方法，即三步法。

舉一反三：

【變式1】(2015春唐山校級期中)設(shè)函數(shù)/(x)在X。處可導(dǎo)，則1而〃飛?一“;)一/(飛)等于()

&T。Ax

A.7'(不)B.C.一尸(七)D?-/(-Xo)

［解析］lim-/(X。)=_lim=_/，(/),

Arf°Ax—Ax

故選c。

【變式2】求函數(shù)求y=%2在x=x0附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

22

22

【答案】Ay=(x0+Ax)-x0,所以包=(勺-+8)一&-

AxAx

=.+2/以+2一而2=2司+M

Ax

:./'(/)=lim—=lim(2x0+Ax)=2x0

-Ar垓TO

【變式3】若f(x)=(x—l)2,求/(2)和(/(2))'

【答案】因?yàn)椤鱵=/(2+Ax)-f(2)=(l+Ax)2-l=2Ax+(Ax)2,所以包=2+Ax

Ax

所以1(2)=lim(2+Ax)=2

△xf0

因?yàn)?<2)=1,所以實(shí)際是求函數(shù)y=l在x=l處的導(dǎo)數(shù)值，Ay=l—l=O,包=0

Ax

所以lim0=0,即(/(2))=0

—

類型三：實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

例3.質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s=2,+3做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：cm,時(shí)間單位：s),求質(zhì)點(diǎn)“在仁2時(shí)的瞬時(shí)速

度.

【解析】根據(jù)平均速度的意義，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解。

瞬時(shí)速度v=lin/Q1加)-5(2)=1加2(2+")2±3《2P±3)

Ar—K)AZAf-4OAZ

=lim(8+24)=8(cm/s)

&->0

【總結(jié)升華】片2時(shí)的瞬時(shí)速度就是仁2附近平均速度的極限，亦即速度在仁2時(shí)導(dǎo)數(shù)。

舉一反三：

【變式1】如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從固定點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)，關(guān)于時(shí)間t的位移函數(shù)是5(')=r+3

求(1)t=4時(shí),物體的位移是s(4);

(2)1=4時(shí)，物體的速度v(4);

(3)t=4時(shí)，物體的加速度a(4).

【答案】(1)S(4)=43+3=67

.A.V(4+△?)'+3—(4*+3)2

(2)t=4時(shí)，一=--------------------=48+12A/+(A0

ZAr

As[.

hm—=lim+12Af+(Af)2]=48

A/->0ArAl->0

??.v(4)=48

生=如包土3=3產(chǎn)+3也+(4>

ArX

出戶駟去皿3產(chǎn)+3W+Q)[=3/

口時(shí)包="+加)-貝4)=3(4+4)2-3x42=24+3加

△t2Ar

lim包=lim[24+3△八=24

AffO&AffOL」

Aa(4)=24

【變式2】一個(gè)小球自由下落，它在下落3秒時(shí)的速度是多少？

【答案】自由落體的運(yùn)動(dòng)公式是s=gg〃(其中g(shù)是重力加速度).

當(dāng)時(shí)間增量。很小時(shí)，從3秒到(3+AZ)秒這段時(shí)間內(nèi)，小球下落的快慢變化不大.

因此，可以用這段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似地反映小球在下落3秒時(shí)的速度.

從3秒到(3+AO秒這段時(shí)間內(nèi)位移的增量：

As=5(3+4)-5(3)=4.9(3+A/)?-4.9x3?=29.4Ar+4.9(Ar)2

-Av

從而，V=—=29.4+4.9Ar.

△t

At

結(jié)論：△，越小，—越接近29.4米/秒

△t

當(dāng)△/無限趨近于0時(shí)，一無限趨近于29.4米/秒.

Ar

【變式3】質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(t)=/+l做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m,時(shí)間單位：s)。若質(zhì)點(diǎn)在t=2s時(shí)的瞬時(shí)

速度為8m/s,求常數(shù)a的值。

【答案】△s=s(2+△t)—s(2)=a(2+△t)2+1—aX22—1=4a△t+a(△t)2,

A.v.

——=4。+akt。

△r

△s

???在t=2s時(shí)，瞬時(shí)速度為lim—=4。，即4a=8。

A—oAr

???a=2?！眷柟叹毩?xí)】

一、選擇題

1、在平均變化率的定義中，自變量的增量Ax是()

A.Ax>0B.Ax<0C.AxwOD.Ax=O

2.(2014春古藺縣校級月考)在曲線y=x2+l的圖象上取一點(diǎn)(1,2)及鄰近一點(diǎn)(1+Ax,2+Ay),則

△y：Ax為()

A.Ax4-------F2B.Ax---------2C.△x+2D.2+Ax-------

AxAxAr

3.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=j+3,則在時(shí)間(3,3+At)中，相應(yīng)的平均速度等于()

9

A.6+AtB.6+AZ+—C.3+AtD.9+At

△t

4.已知函數(shù)y=/(x),下列說法錯(cuò)誤的是()

A.Ay=f(x0+Ax)-/Go)叫函數(shù)增量

B.包=+叫函數(shù)在［xx+Ax］上的平均變化率

AxAx00

C.7(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)記為y'

D.7(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)記為/(%)

5.(2015春寶雞校級月考)如果質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s=3t?運(yùn)動(dòng)，則在t=3時(shí)的瞬時(shí)速度為()

A.6B.18C.54D.81

6.設(shè)/(x)=ac+4,若/⑴=2,則a=()

A.2B.-2C.3D.不確定

7.(2015春南陽校級月考)設(shè)函數(shù)/1)可導(dǎo)，則口受黑一‘⑴等于()

A/l)B.3/(1)C.1/(1)D./(3)

2

8.物體自由落體運(yùn)動(dòng)的方程為s=$?)=gg/2(g=9.8m/s)o

若y=limS(l+A')_s(D=9.8m/s,那么說法正確的是()

a-?oAZ

A.9.8m/s是在0?1s這段時(shí)間內(nèi)的速率

B.9.8m/s是從1s到(1+At)s這段時(shí)間內(nèi)的速率

C.9.8m/s是物體在t=ls這一時(shí)刻的速率

D.9.8m/s是物體在1s至l」(l+At)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速率

二、填空題

9.已知函數(shù)y=x+3,當(dāng)戶1時(shí)，—=________.

Ax

10.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中/,8,C的坐標(biāo)分別為(0,4),(2,0),(6,4),則/"(0)］=

x

三、解答題

12.己知函數(shù)F(x)=2x+1,分別計(jì)算在區(qū)間［—3,—1］,［0,5］上函數(shù)/Xx)的平均變化率.

13.求函數(shù)y=4在x=1處的導(dǎo)數(shù)

14.已知函數(shù)y=log2x+l。

(1)求函數(shù)在［2,2.1］上的平均變化率；

(2)若自變量從X。增加到Xo+^X,該函數(shù)的平均變化率又是多少？(x0>0)

3r+1(1</<

15.物體運(yùn)動(dòng)方程如下s=《，

2+3("3>(z>3)

求此物體在t=2和t=4時(shí)的瞬時(shí)速度

【答案與解析】

1.【答案】C

【解析】Ax可正可負(fù)但不能為零。

2.【答案】C

Ay(1+Ax)+1—(1+1)

【解析】——=------------------=Ax+2o故選C。

AxAx

3.【答案】A

【解析】由平均速度的定義，有［」二蟲+加故選A。

△t加

4.【答案】C

【解析】正確的寫法應(yīng)該是歹|=&

5.【答案】B

y=Hma=lim出血泊

【解析】=Um(3Ar+18)=18?故選B。

A—0ZA/->0NA/->0

6.【答案】A

【解析】Vf'(1)=lim-/(1+A-V)--/(1-=lim—=?=2,.?.a=2,故選A。

°Ax-Ax

7.【答案】C

［解析】lim/(l+Ax-)-/(l)=lHm/(1+Ax)-/(1)=1/(1)

?t。3Ax3?f°Ax3

8.【答案】C

【解析】v=lim-(1+A/)-'(1)=5'(1),即s(t)在t=ls時(shí)的導(dǎo)數(shù)值。由導(dǎo)數(shù)的物理意義，得9.8

4ToZ

m/s是物體在t=ls這一時(shí)刻的速率。故選C。

9.【答案】1

【解析】包=。+加。+3二(l23)=i

AxAx

10.【答案】2,2

【解析】由圖可知：f(0)=4,f(4)=2;f(x)=-2x+4,帶入可得。

11.【答案】0

.1+AxH--------(1H—).人?

竺=-------------------L=1——1_,所以y'\__lim^=lim(l———)=0o

【解析】x

AxAv1+Ar加T°AX1+Ax

12.【解析】函數(shù)f(x)在［—3,—1］上的平均變化率為〃一1)二八一3)=2

-1-(-3)

函數(shù)f(x)在[o,5]上的平均變化率為/⑸二/(°)=2.

5-0

，cn匚、AyJl+Ax-/11..Aj11

13.【解析】—=------------=]—，yL.=lim—=lim——=-

AxAxJl+Ax+1A—OAXzoJl+Ar+l2

14.【解析】(1)Vxi=2,X2=2.LAX=X2—XI=O.1,

/(%1)=log22+1=2,f(a)=log22.1+1?2.07,

函數(shù)在［2,2.1］上的平均變化率包=△玉.匕=207二2=o7。

△xx2-x}0.1

(2)%=%，入2=%+以

/(^)=log2x0+l,

/(/+Ax)=log2(A^+Ax)+1,

%+Ax,2(,Ax'

△y=f(x0+Ar)-/(x0)=log2(x0+Ax)-log2x0=log2------=log1+—

冗0I//

1

Ay(Ax).f

???函數(shù)的平均變化率—=log1+—H-Ar=log1+—

Ax2I2Ix(J

【解析】

當(dāng)t=2時(shí)，s=3t2+l,

[.Av..s(，+Ar)-s(，)6N+3△產(chǎn)

v=lim—=hm-=--h--m------------------=lim(6/+3zkr)=6f=12.

AXTO△tAATOArArf0A.r->0

當(dāng)t=4時(shí)，s=2+3Q—3)2,

[.$(/+△，)—s(f)..2+3(4+Az—3)~~2—3(4—3)~

v=lim-------------=lim------------------------------

加TO△t—△t

..3(Az)2+6Ar0，,,

=lim-----------=lim3A/+6=6.

-z-

物體在t=2和t=4時(shí)瞬時(shí)速度分別為12和6。

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

2.理解導(dǎo)數(shù)的全面涵義。

3.掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)圖象的切線的斜率。

4.會(huì)求過點(diǎn)（或在點(diǎn)處）的切線方程。

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、導(dǎo)數(shù)幾何意義

1.平均變化率的幾何意義一一曲線的割線

函數(shù)y=/（x）的平均變化率包=二"'）的幾何意義是表示連接函數(shù)y=/（%）圖像上兩點(diǎn)割

Axx2-x]

線的斜率。

如圖所示，函數(shù)/（X）的平均變化率包==的幾何意義是:直線AB的斜率。

tsxx2—x]

事實(shí)上，%=區(qū)』=."/-J=包。

xA—xBx2-x}Ax

換一種表述：

曲線上一點(diǎn)尸（玉）,治）及其附近一點(diǎn)Q（x（）+Ax,No+△>'）,

經(jīng)過點(diǎn)P、。作曲線的割線尸。，

則有觴=（%+與）7。=包。

（x0+Ar）-x0Ax

要點(diǎn)詮釋：根據(jù)平均變化率的幾何意義，可求解有關(guān)曲線割線的斜率。

2,導(dǎo)數(shù)的幾何意義——曲線的切線T

如圖1,當(dāng),73說〃睜沿著曲線/（X）趨近于點(diǎn)P（x0,/（%））時(shí)，割線P匕的變化趨勢是

什么？

我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)匕沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Ax-o時(shí)，割線PE,趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線

PT稱為曲線在點(diǎn)尸處的切線.

y

定義：如圖，當(dāng)點(diǎn)。（Xo+Ar，x）+Ay）沿曲線無限接近于點(diǎn)2（小,%）,

即?-0時(shí)，割線PQ的極限位置直線PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線。

也就是：當(dāng)Ax-?O時(shí)，割線P。斜率的極限，就是切線的斜率。

即：％=lim"=lim/°"十_"）-[3=/'（/）。

°Ax't。Ar

要點(diǎn)詮釋：（1）曲線上一點(diǎn)切線的斜率值只與該點(diǎn)的位置有關(guān)。

（2）切線斜率的本質(zhì)-----函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)。

（3）曲線的切線的斜率的符號(hào)可以刻畫函數(shù)的增減性。

①若曲線y=/（x）在點(diǎn)p（xo，/（x。））處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與x軸垂直。

②—（與）＞0,切線與X軸正向夾角為銳角，/（X）瞬時(shí)遞增；/‘（工。）＜°,切線與X軸正向夾角為鈍角,

/（X）瞬時(shí)遞減；/（毛）二°,切線與X軸零度角，瞬時(shí)無增減。

（4）曲線的切線可能和曲線有多個(gè)公共點(diǎn)；

為什么要用割線的極限位置來定義切線，而不說“與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線叫做切線？”

過去我們定義圓的切線就是“與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線”，這個(gè)定義符合圓、橢圓等一類曲線，

那么，能否對任何曲線C都用“與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”來定義C的切線呢？如圖1-1-2-1的曲線C是

我們熟知的正弦曲線y=sinx的一部分，直線乙顯然與曲線C有唯一公共點(diǎn)M,但我們不能說直線人與曲線

C相切；而直線乙盡管與曲線C有不止一個(gè)公共點(diǎn)，但我們可以說直線是曲線C在點(diǎn)N處的切線。

要點(diǎn)二、曲線的切線

(1)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的方法步驟：

①求出切點(diǎn)(沏,/(%)))的坐標(biāo)；

②求出函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)％處的導(dǎo)數(shù)/'(%)

③得切線方程y—/(%)=f'(x)(x-沏)

(2)在點(diǎn)(%,/(/))處的切線與過點(diǎn)(X。，y0)的切線的區(qū)別。

在點(diǎn)(/,/(%))處的切線是說明點(diǎn)(%,/(%))為此切線的切點(diǎn)；而過點(diǎn)(xo,yo)的切線，則強(qiáng)調(diào)切線

是過點(diǎn)(Xo，yo),此點(diǎn)可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)。因此在求過點(diǎn)(xn.yo)的切線方程時(shí)，先應(yīng)判斷點(diǎn)

(xo,y。)是否為曲線/(x)上的點(diǎn)，若是則為第一類解法，若不同則必須先在曲線上取一切點(diǎn)(%,/(藥))，

求過此切點(diǎn)的切線方程y—X=/'(%)(x—%),再將點(diǎn)(xo,yo)代入，求得切點(diǎn)(X1,/(%))的坐標(biāo)，進(jìn)而

求過點(diǎn)(xo,y°)的切線方程。

要點(diǎn)三、導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)函數(shù)定義：

由函數(shù)兀0在戶均處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當(dāng)時(shí),/'(不)是一個(gè)確定的數(shù)，那么，當(dāng)x變化時(shí)，便是x的

一個(gè)函數(shù)，我們叫它為40的導(dǎo)函數(shù).記作：/'(%)或y,

r，(、,/(x+Ar)-/(x)

即Bll：/(x)-y=lim---------------

-M

要點(diǎn)詮釋：

函數(shù)/(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)/'(%)、導(dǎo)函數(shù)/'(X)之間的區(qū)別與聯(lián)系。

(1)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)/'(%),就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常

數(shù)，不是變數(shù)。

(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)x而言的，也就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)。

(3)函數(shù)/(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)/'(%)就是導(dǎo)函數(shù)((x)在x=Xo處的函數(shù)值。

導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)，所以

盧

■"X）在一加處的導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)T般

?導(dǎo)函數(shù)

所以求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般是先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)值。

導(dǎo)函數(shù)求法：

由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)數(shù)的一般方法是：

（1）.求函數(shù)的改變量△y=/（x+Ax）-/（幻。

（2）.求平均變化率包=/（*+&）-。

AxAx

（3）.取極限，得導(dǎo)數(shù)y'=lim”。

Ax

要點(diǎn)四、導(dǎo)數(shù)的定義的幾種形式；

割線的極限即為切線，即為導(dǎo)數(shù)，從這個(gè)幾何意義上看導(dǎo)數(shù)式可以有多種表達(dá)形式，如：

—Ax―-AJCArfO-Ax

y'=9（x0）=lim/（X）—A%）。

廂x-x（,

要點(diǎn)詮釋：只要是Arf0時(shí)，極限式所表示的是割線的斜率（或其若干倍），就能表示為導(dǎo)數(shù)式。

【典型例題】

類型一、求曲線的切線方程

【導(dǎo)數(shù)的幾何意義385147例1】

例1.曲線的方程為y=f+l,那么求此曲線在點(diǎn)尸（1,2）處的切線的斜率，以及切線的方程.

【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點(diǎn)尸（1,2）處的切線的斜率等于函數(shù)y=d+l在》=1處的導(dǎo)

數(shù)值，再利用直線的點(diǎn)斜式方程寫出切線方程.

由y=f+1得了=（f+1），=2x,所以曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為左=y'|曰=2,

過點(diǎn)P的切線方程為y-2=2（》-1）,即y=2x.

【總結(jié)升華】求曲線上一點(diǎn)處切線的步驟：

①求函數(shù)尸/■（*）在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線片『5）在「（/，/（X。））處切線的斜率。

②由點(diǎn)斜式寫出直線方程：y=%+/'（工0）。一方）；如果片『（X）在PQo,了（與））的切線平行于產(chǎn)軸（此

時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知：切線方程為：x=

舉一反三：

X

【變式11(2015春僧州校級期末)過曲線y=/(x)=——圖象上一點(diǎn)(2,—2)及鄰近一點(diǎn)(2+Ax,一

1-x

2+Ay)作割線，則當(dāng)Ax=0.5時(shí)割線的斜率為()

125

A.-B.一C.1D.

333

【答案】B

【解析】當(dāng)Ax=0.5時(shí),2+△x=2.5,

2.55

故-2+Ay=

1-2.53

--+2?

故kpo=------=—

2.5-23

故選B。

【變式2】已知函數(shù)f(x)=V+3,則f(x)在(2,f(2))處的切線方程為.

【答案】

?.?f(x)=f+3,旅=2

；.f(2)=7,△尸F(xiàn)(2+A力—f(2)=4?Ax+(Ax)2

=4+Ax.lim生=4.即F(2)=4.

AJV加TOAr

又切線過⑵7)點(diǎn)，所以F(x)在(2,丹2))處的切線方程為7-7=4(入-2)

即Ax—y—1=0.

【變式3](2015春濰坊期末)函數(shù)/(%)=丁+4X+5的圖象在x=l處的切線在x軸上的截距為

()

?3

A.10B.5C.-lD.一一

7

3

【答案】—

7

【解析】/(x)=犬+4x+5,「./'(%)=3f+4,

/./(1)=7,即切線的斜率為7,乂/⑴=10,故切點(diǎn)坐標(biāo)(1,10),

3

???切線的方程為：y-10=7(x-l),當(dāng)y=0時(shí)，x=一一,

3

切線在X軸上.的截距為-二O

7

【導(dǎo)數(shù)的幾何意義385147例2】

例2求曲線y=Y經(jīng)過點(diǎn)p(l,l)的切線方程.

【解析】本題要分點(diǎn)P(l,l)是切點(diǎn)和P(l,l)不是切點(diǎn)兩類進(jìn)行求解.

若點(diǎn)尸(1,1)是切點(diǎn)，由y=d得y=3d,則上=3,于是切線方程為y—1=3(無—1),即y=3x—2；

若點(diǎn)P(l,l)不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為(公,/3)：則切線率A=歹=3/2,所以3/2=上立

I-/

13331

解之得不=—二，所以女=:，所以切線方程是y—l=：(x—1),即y=：x+二.

【總結(jié)升華】

求切線方程，首先要判斷所給的點(diǎn)是否是切點(diǎn)。若是，可用求切線方程的步驟求解；若不是，可設(shè)出切

點(diǎn)，寫出切線方程，結(jié)合已知條件求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到切線方程。

舉一反三：

【變式1】已知：函數(shù)/(x)=d—3x,經(jīng)過點(diǎn)(2,2)作函數(shù)圖象的切線，求：切線的方程。

【答案】對于函數(shù)/'(x)=x3—3x,_f(x)=lim"=3x2_3

心―Ax

由于點(diǎn)(2,2)在函數(shù)/(x)圖象上，

(1)當(dāng)點(diǎn)(2,2)是切點(diǎn)時(shí)，函數(shù)/(無)圖象在點(diǎn)(2,2)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，

即：左=/'(2)=3x22—3=9,

切線方程為：9%-丁-16=0；

(2)當(dāng)點(diǎn)(2,2)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)(/，^―3/)為切點(diǎn)，

函數(shù)/(x)在此處的導(dǎo)數(shù)(即切線的斜率)k=/(玉,)=34一3=.-3電-2(//2)

%-2

2

即：君一3%：+4=O=>(xo+l)(xo-2)=0=>x0=—1,

即此時(shí)點(diǎn)(-L2)為切點(diǎn)，此時(shí)切線方程為y=2。

【變式2】已知曲線》=’。

X

(1)求曲線過點(diǎn)A(1,0)的切線方程;

(2)求滿足斜率為的曲線的切線方程。

【答案】(1)設(shè)過點(diǎn)A(1,0)的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(a,因?yàn)閘im八"+.)_〃")=_二,所以該

(a)AS。AxcT

切線的斜率為一與，切線方程為y-'=一二位一㈤。①

aaa

將A(1,0)代入①式，得。=工。所以所求的切線方程為y=-4x+4。

2

(1>]]1

(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為尸X。,一，由(1)知，切線的斜率為&=一一7,則一一7=——，/=±6。那

kX07尤0%03

么切點(diǎn)為尸P'o

所以所求的切線方程為丁=一!》+遞或y=—』x—述。

3333

【導(dǎo)數(shù)的幾何意義385147例3】

【變式3】設(shè)函數(shù)/(x)=工3+2依？+bx+a,g(x)=x2-3x4-2,

其中xwR,〃為常數(shù)，已知曲線y=/(x)與y=g(x)在

點(diǎn)(2,0)處有相同的切線/.求。力的值，并寫出切線/的方程.

■依a.,/c、i?(2++2。(2+Ax)~+b(2+Ax)+a—(2?+8。+2/？+。)

[答案]J(2)=lim---------------------------------------------

AXTOAr

=lim「12+8a+b+6Ax+(Ax)2]=12+8a+〃

-L」

“、(2+AY)2-3(2+AX)+2-(22-3x2+2)“人、1

g(2)=lRim---------------------------------=hrm(l+Ar)=1

Av->0\xAx70

由已知:/(2)=0且尸(2)=g(2)na=_2]=5,因?yàn)?=g'(2)=l

所以/的方程：y=x—2

類型二、利用定義求導(dǎo)函數(shù)

,4

例3.求函數(shù)y==在x=2處的導(dǎo)數(shù)。

x

【解析】解法一：(導(dǎo)數(shù)定義法)

,444,,(Ax)2+4Ax

?(X+2)222(Ax+2)(Ar+2)2

.Ay_Av+4

Ax-(AJC+2)2°

...Ax+4_

??lim—=-lim--------=-1o

―。AxA*-。(Ax+2)

解法二：(導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法)

??_44_4Ax(2x+Ar)

'(x+Z\x)2x2x2(x+Z\x)2'

.Ay_4(2x+Ar)

Axx2(x+Ax)2

.,_4(2x+Ar)_8

??y—rlim—=-rlim-----------=——

&fOAxAr->ox+(X+Ax)X

???r(2)=2皿=-1。

【總結(jié)升華】求導(dǎo)數(shù)的步驟和求導(dǎo)數(shù)值的步驟一樣，叫三步法求導(dǎo)。

舉一反三：

【變式1】已知/(x)=J3云，求尸(x),/'(2)

【答案】因?yàn)锳y=，r+Ai+2—所以

AyJx+Ax+2-Jx+2(x+Ax+2)-(x+2)1

AxZLv(\/x4-Ax4-2+Jx+2)Jx+Ax+2+>/x+2

當(dāng)Ax->。時(shí)，，f\x)=—J,當(dāng)x=2時(shí)，/*(2)=—J=—。

2vx+22V2+24

1

【變式2】求函數(shù)y在(0,+8)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)。

4x

11_yfx-yfx+Ex

解：Ay=

>/x+Ary[xJx+Ax?石

Ay_yjx-vx+Ax_(y[x—Jx+Ax)(?+Jx+Ax)

ArJx+Ar??A/九+Av?&?(?+，￥+Ar)

-Ax_-1

Ar--s/x+A%?Q-(A/X+Jx+Ax)x/x+Ax?\[x-(>/x+，x+Ax)

)&7Jx+Ax?\[x-(A/X+Vx+Ax)

類型三、導(dǎo)數(shù)的幾種形式

f(x-k)-f(x)

例4.若/'(/)=2,則lim00

2k

【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義:

/，（/）=.也上止3（這時(shí)A=-k）,

20-k

所以lim礙止出2

202k

[1f[x0+（-k）]-f（x.）\

—iirn<—--------------------------------------------7

1012-k]

22。-k2

【總結(jié)升華】

（1）有一種錯(cuò)誤的解法：

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：/（尤0），lim/，；"）一"%）（這時(shí)Ax=k）,

20k