2024-2025學(xué)年廣東省廣州四中等三校聯(lián)考高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省廣州四中等三校聯(lián)考高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=nA.第9項(xiàng) B.第10項(xiàng) C.第11項(xiàng) D.第12項(xiàng)2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(

)A.(sinx)′=?cosx B.(?ex)′=ex 3.在數(shù)列{an}中，a1=12，A.12 B.?1 C.2 D.4.在送課下鄉(xiāng)支教活動(dòng)中，某學(xué)校安排甲、乙、丙、丁、戊五名教師到三所薄弱學(xué)校支教，每所學(xué)校至少安排一名教師，且甲、乙兩名教師安排在同一學(xué)校支教，丙、丁兩名教師不安排在同一學(xué)校支教，則不同的安排方法總數(shù)為(

)A.20 B.24 C.30 D.365.若(x3+1x2A.120 B.220 C.462 D.2106.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4=20，A.40 B.60 C.76 D.887.在(1?x)5+(1?x)6+(1?xA.690 B.?690 C.710 D.?7108.設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(x)=f(?x)+2x，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<2x+1，若f(2?a)≤f(?a)?4a+6，則實(shí)數(shù)a的最小值是(

)A.1 B.?1 C.12 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S23>0A.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 B.a13>0

C.當(dāng)S10.已知(2+x)(1?2x)5=aA.a0的值為2

B.a5的值為80

C.(a0+11.在1261年，我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．從第1行開(kāi)始，第n行從左至右的數(shù)字之和記為an，如：a1=1+1=2，a2=1+2+1=4，?，{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，依次去掉每一行中所有的1構(gòu)成的新數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，?，記為bn，A.S10=1022

B.{2anSn?Sn+1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.11×2+12×3+13.將1，2，3，…，9這9個(gè)數(shù)填入如圖所示的格子中(要求每個(gè)數(shù)都要填入，每個(gè)格子中只能填一個(gè)數(shù))，記第1行中最大的數(shù)為a，第2行中最大的數(shù)為b，第3行中最大的數(shù)為c，則a<b<c的填法共有______種.(用數(shù)字作答)14.對(duì)任意x∈(1,+∞)，函數(shù)f(x)=axlna?aln(x?1)≥0(a>1)恒成立，求a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=13x3+ax2?5x+b在x=5處取得極小值，且極小值為?33．

(1)求a，b的值；16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=CD=2，BC=3，PC=23，E為PB的中點(diǎn)，CD⊥BC．

(1)求證：四邊形ABCD是直角梯形．

(2)求直線AE與平面PBD所成角的正弦值．17.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+2n=2an+1．

(1)求a1，并證明數(shù)列{an2n}是等差數(shù)列；18.(本小題17分)

已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)A(2,1)，焦距為23.過(guò)B(3,0)作直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，直線AC、AD分別與直線x=3交于E、F．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記直線AC、AD的斜率分別為k1、k2，證明k19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+12x2?ax．

(1)當(dāng)a=12時(shí)，求在曲線y=f(x)上的點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(3)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x參考答案1.C

2.C

3.C

4.C

5.D

6.D

7.D

8.A

9.CD

10.ACD

11.BCD

12.2024202513.60480

14.[e15.解：(1)由題意可得f′(x)=x2+2ax?5，

因?yàn)閒(x)在x=5處取得極小值，且極小值為?33，

所以f′(5)=25+10a?5=0f(5)=1253+25a?25+b=?33，解得a=?2b=13，

此時(shí)f′(x)=x2?4x?5=(x?5)(x+1)，滿足f(x)在x=5處取得極小值，

故a=?2b=13．

(2)由(1)得f(x)=13x3?2x2?5x+13，f′(x)=(x?5)(x+1)，

當(dāng)x∈[?2,0]時(shí)，令f′(x)>0解得?2≤x<?1，令f′(x)<0解得?1<x≤2，

所以f(x)在[?2,?1)上單調(diào)遞增，在(?1,0]上單調(diào)遞減，

16.(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，AD、CD?平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD．

∵PA=AD=CD=2，∴PD=22．

又∵PC=23，∴CD2+PD2=PC2，得

CD⊥PD．

又∵PA∩PD=P，PA、PD?平面

PAD，∴CD⊥平面PAD，

又AD?平面PAD，則CD⊥AD．

又∵CD⊥BC，∴AD//BC.又AD≠BC，∴四邊形ABCD是直角梯形．

(2)解：過(guò)A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M．

∵PA⊥平面ABCD，AM、AD?平面ABCD，∴PA⊥AM，PA⊥AD．

以A為原點(diǎn)，AM，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz．

則

A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,?1,0)．

∵E為PB的中點(diǎn)，∴E(1,?12,1)．

∴AE=(1,?12,1),PB=(2,?1,?2),PD=(0,2,?2)，

設(shè)平面

PBD的法向量為n=(x,y,z)，則n?PB=2x?y?2z=0n?PD=2y?2z=0，

17.解：(1)當(dāng)n=1時(shí)，S1+2=2a1+1，解得a1=1；

證明：∵Sn+2n=2an+1①，

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1+2n?1=2an?1+1②，

∴①?②可得an+2n?1=2an?2an?1，即an?2an?1=2n?1，

∴an2n?an?12n?1=12，又a12=12，

∴數(shù)列{an2n}是首項(xiàng)與公差都為12的等差數(shù)列；

(2)由(1)得an2n=12+12(n?1)=12n，即a18.解：(1)因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)A(2,1)，焦距為23，

所以4a2+1b2=1a2?b2=3?a2=6b2=3，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26+y23=1；

(2)證明：設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),k1=y1?1x1?2,k2=y2?1x2?2，

直線CD的斜率一定存在，設(shè)為y=k(x?3)，

則x26+y23=1y=k(x?3)，消去y，得(2k2+1)x2?12k2x+18k2?6=0，

Δ=(12k2)2?4(2k2+1)(18k219.解：(1)由題可知，當(dāng)a=12時(shí)，f(x)=lnx+12x2?12x，

∴f′(x)=1x+x?12，

∴f(1)=0，f′(1)=32，

∴切點(diǎn)為(1,0)，切線的斜率為32，

∴切線方程為：y?0=32(x?1)，即3x?2y?3=0．

(2)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得，f′(x)=1x+x?a(x>0)，

當(dāng)a≤2時(shí)，f′(x)=1x+x?a≥2?a≥0，則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>2時(shí)，f′(x)=1x+x?a=x2?ax+1x=0，則x1=a?a2?42，x2=