高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5從力做的功到向量的數(shù)量積

2.5從力做功到向量數(shù)量積第1頁(yè)物理中我們學(xué)過(guò)功概念，一個(gè)物體在力作用下產(chǎn)生位移（如圖）θ力

所做功W可用下式計(jì)算:

其中θ是

與

夾角.第2頁(yè)當(dāng)0°≤θ＜90°時(shí)，W＞0,即力F做正功；當(dāng)θ＝90°時(shí)，W＝0，即力F不做功；當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)，W＜0，即力F做負(fù)功.從力所做功出發(fā)，我們引入向量數(shù)量積概念.第3頁(yè)1.經(jīng)過(guò)物理中“功”等實(shí)例，了解平面向量數(shù)量積含義及其物理意義、幾何意義.（重點(diǎn)）2.體會(huì)平面向量數(shù)量積與向量射影關(guān)系.3.掌握平面向量數(shù)量積主要性質(zhì)及運(yùn)算律和它一些簡(jiǎn)單應(yīng)用.（重點(diǎn)）4.能利用數(shù)量積表示兩個(gè)向量夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量垂直關(guān)系.（難點(diǎn)）第4頁(yè)兩個(gè)非零向量和，作，，則（）叫作向量

與

夾角．OAB問(wèn)題1

怎樣定義向量夾角？計(jì)算向量夾角時(shí)要將兩個(gè)向量起點(diǎn)放在一起.探究點(diǎn)1向量數(shù)量積第5頁(yè)OAB若，

與

同向OAB若，與

反向OAB若，

與

垂直，記作因?yàn)榱阆蛄糠较蚴侨我?，為方便起?jiàn)，要求:零向量可與任一向量垂直.第6頁(yè)，過(guò)點(diǎn)B

作BB1垂直于直線OA，垂足為B1，則||cosθ叫作向量

在

方向上射影(也叫投影)．當(dāng)θ為銳角時(shí)，|

|cosθ_____0＞問(wèn)題2

什么是向量射影？OABB1第7頁(yè)OBA當(dāng)θ=0°時(shí)，||cosθ=_____||當(dāng)θ為鈍角時(shí)，||

cosθ___0.當(dāng)θ為直角時(shí)，||cosθ____0＜=BOAθOABθ第8頁(yè)OBA當(dāng)θ=180°時(shí)，||cosθ=_____B1物理實(shí)例中，與位移

方向一致分力

長(zhǎng)度為︱

︱cosθ，即是力

在

方向上射影.θ-||第9頁(yè)問(wèn)題3

平面向量數(shù)量積定義怎樣？已知兩個(gè)向量與，它們夾角為θ，我們把||||cosθ叫作與數(shù)量積（或內(nèi)積）.記作·

·=||||cosθ注意：向量數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量.尤其地:零向量與任一向量數(shù)量積為0.第10頁(yè)例1⑴

已知||=3，||=4，且

與

夾角θ=150°，求·.解：·=||||cosθ=3×4×cos150°=3×4×（-）=－6第11頁(yè)變式練習(xí)：已知=(1,1),=(2,0),與夾角θ=45°.

求

·.解：

||=,||=2,θ=45°,所以·=||||cosθ=×2×cos45°=2.第12頁(yè)問(wèn)題4

數(shù)量積幾何意義是什么？第13頁(yè)尤其提醒：1.2.若是單位向量,則單位向量是一個(gè)特殊向量喲！第14頁(yè)主要性質(zhì)：1.若是單位向量，則：2.3.4.5.當(dāng)且僅當(dāng)∥時(shí)等號(hào)成立.

第15頁(yè)問(wèn)題5

數(shù)量積物理意義是什么？第16頁(yè)反之成立嗎？解答：不成立.解答：成立.思索：探究點(diǎn)2向量數(shù)量積運(yùn)算律第17頁(yè)練習(xí)：判斷以下說(shuō)法正誤√×××××√3．若

≠，

·

=0，則

=

2．若

≠

，則對(duì)任一非零向量

,有

·

≠0．1．若

=

，則對(duì)任一向量

，有

·

=0．4．若

·

=0，則

,

中最少有一個(gè)為

．5．若

≠

，

·

=·

，則

=

6．若

·

=

·

,且

≠

,當(dāng)且僅當(dāng)

=

時(shí)成立．7．對(duì)任意向量

有第18頁(yè)例2在ΔABC中，設(shè)邊BC，CA，AB長(zhǎng)度分別為a，b，c，證實(shí)：a2=b2+c2–2bccosA，b2=c2+a2–2cacosB，c2=a2+b2–2abcosC.AacbCB證實(shí)：設(shè)則同理可證其它兩式，我們把這個(gè)結(jié)果稱為余弦定理.=b2+c2–2bccosA.第19頁(yè)向量法證實(shí)幾何問(wèn)題步驟：1.將三角形邊用有向線段表示.2.依據(jù)向量運(yùn)算及向量幾何意義，寫出向量之間關(guān)系.3.經(jīng)過(guò)平方和向量數(shù)量積整理出所要結(jié)果.第20頁(yè)例3證實(shí)菱形兩條對(duì)角線相互垂直.證實(shí)：菱形ABCD中，AB=AD，因?yàn)榭傻?0，所以，即菱形兩條對(duì)角線相互垂直.ABCDO第21頁(yè)證實(shí)線段垂直方法：1.取兩個(gè)不共線向量作基底.2.將要證實(shí)向量用這兩個(gè)向量表示.3.利用進(jìn)行證實(shí).【提升總結(jié)】第22頁(yè)例4已知單位向量,夾角為60°，求向量

,夾角.解：由單位向量,夾角為60°，得所以②①所以又第23頁(yè)設(shè)與夾角為，由①②可得又所以.即向量與夾角為.第24頁(yè)技巧點(diǎn)撥：

1.以，為基底,計(jì)算值.2.利用向量夾角公式計(jì)算.

第25頁(yè)1.判斷以下說(shuō)法正誤:（1）平面向量數(shù)量積能夠比較大小.(

)（2）(

)（3）已知為非零向量,因?yàn)?×=，·=0,所以=(

)(4)(

)√×××第26頁(yè)2.△ABC中，則該三角形為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定【解析】由知∠ABC為銳角；由知,∠ACB為鈍角.C第27頁(yè)C第28頁(yè)第29頁(yè)第30頁(yè)5.在△ABC中，M是線段BC中點(diǎn)，AM=3，BC=10，則_______.-16-26.若|a|=1,|b|=2，