行列式習題課

計算（證明）行列式方法

1用定義計算（證明）

2用行列式性質(zhì)化為三角形行列式3用降階法計算4用拆成行列式之和（積）計算5用遞推關(guān)系式法6用數(shù)學歸納法7其它（利用已有行列式如范德蒙行列式等）１用定義計算（證明）例1用行列式定義計算解評注本例是從一般項入手，將行標按標準順序排列，討論列標的所有可能取到的值，并注意每一項的符號，這是用定義計算行列式的一般方法．2用行列式性質(zhì)化為三角形行列式來計算例2計算解提取第一列的公因子，得例3

評注本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式．化零時一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有１，則可適當選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點，則應(yīng)充分利用這些特點，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達到化為三角形行列式之目的．3用降階法計算例4計算解評注

本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低1階，如此繼續(xù)進行，直到行列式能直接計算出來為止（一般展開成二階行列式）．這種方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用．4用拆成行列式之和（積）計算證明例5(按列拆開)左邊=右邊4用拆成行列式之和（積）計算例6證明證解例75用遞推法計算(1)(2)(n-1)例８計算解由此遞推，得如此繼續(xù)下去，可得評注6用數(shù)學歸納法例９證明證對階數(shù)n用數(shù)學歸納法評注思考題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成7特殊類型行列式計算----例10箭形行列式例11例128其它方法（如利用范德蒙行列式計算）例13計算利用范德蒙行列式計算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果。解上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知評注

本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式．計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應(yīng)用．在計算時，首先要仔細考察行列式在構(gòu)造上的特點，利用行列式的性質(zhì)對它進行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法．小結(jié)第2章測試題一、填空題(每小題4分，共40分)二、計算下列行列式(每小題9分，共18分)．有非零解？三、解答題(