江西省南昌市2025屆高三下學(xué)期4月二模試題 數(shù)學(xué) 含解析

2025屆NCS模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)是兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分條件是（）A.平行于同一條直線 B.平行于同一個(gè)平面C.垂直于同一個(gè)平面 D.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行【答案】B【解析】【分析】利用選項(xiàng)中的條件，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】若平行于同一條直線，則與的位置關(guān)系是平行或相交，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若平行于同一個(gè)平面，則與的位置關(guān)系是平行，故B正確；若垂直于同一個(gè)平面，則與的位置關(guān)系是平行或相交，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，則與的位置關(guān)系是平行或相交，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.2 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式求出．【詳解】已知，即．則．可得．故選：C．3.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求解集合與集合，再根據(jù)交集的定義求出．【詳解】已知集合，根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)，絕對(duì)值不等式等價(jià)于．可得，即．所以集合．

已知集合，則．解得或．所以集合或．

可得，即．故選：B．4.在中，角對(duì)邊分別是，若，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到，再由正弦定理，得到，即可求得的值.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理，可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又由正弦定理，可得，即因?yàn)椋?故選：A.5.如圖是江西省博物館中典藏的元青白釉印花雙鳳紋碗，高，口徑，若將該碗的內(nèi)表面近似于一個(gè)球面的一部分，則這個(gè)球的半徑近似于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可以將碗的內(nèi)表面看作是球的一部分，碗口所在平面是球的一個(gè)截面，碗的高和球的半徑以及截面圓的半徑構(gòu)成一個(gè)直角三角形，通過已知的碗的口徑和高，利用勾股定理建立關(guān)于球半徑的方程來求解．【詳解】已知碗的口徑為，那么碗口所在截面圓的半徑．這是因?yàn)榭趶绞墙孛鎴A的直徑，根據(jù)半徑是直徑的一半得到．

設(shè)球的半徑為，碗高．由球的截面性質(zhì)可知，球心到截面圓的距離與球的半徑、截面圓的半徑構(gòu)成直角三角形，其中球的半徑為斜邊．這里球心到碗口所在截面圓的距離．根據(jù)勾股定理，將，代入可得：．

展開得，解得所以這個(gè)球的半徑近似于．故選：D．6.已知、終邊不重合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，代入已知等式，利用兩角和、差的正弦、余弦公式化簡(jiǎn)得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，即，，所以，，因?yàn)?、的終邊不重合，則，則，所以，則，所以，因此，.故選：D.7.將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)一個(gè)合適的角度，可以得到一些熟悉的函數(shù)圖象，比如反比例函數(shù)，“對(duì)勾”函數(shù)，“飄帶”函數(shù)等等，它們的圖象都能由某條雙曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而得.現(xiàn)將雙曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)合適的角度，得到“飄帶”函數(shù)的圖象，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易知“飄帶”函數(shù)的漸近線，設(shè)兩漸近線夾角為（），則，求得，進(jìn)而旋轉(zhuǎn)之前雙曲線的一條漸近線斜率，結(jié)合計(jì)算即可求解.【詳解】“飄帶”函數(shù)的漸近線為與軸，設(shè)兩漸近線夾角為（），則，整理得，又，所以，整理得，由，解得.所以旋轉(zhuǎn)之前雙曲線的一條漸近線斜率為，所以雙曲線的離心率為.故選：B8.已知函數(shù)滿足，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用賦值法得出，，令可得出，進(jìn)而可得出，推導(dǎo)出，再利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】令可得，因?yàn)?，則，令，可得，解得，令可得，即，令可得，所以，，所以，，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.人工智能是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的重要驅(qū)動(dòng)力量，是研究?開發(fā)用于模擬?延伸和擴(kuò)展人的智能的理論?方法?技術(shù)及應(yīng)用系統(tǒng)的一門新的技術(shù)科學(xué).很多學(xué)校已經(jīng)推出基于的人工智能通識(shí)課程，幫助學(xué)生深入了解人工智能的歷史?關(guān)鍵技術(shù)及其在科學(xué)研究?社會(huì)發(fā)展中的高效應(yīng)用，培養(yǎng)跨學(xué)科思維，推動(dòng)人工智能技術(shù)在多領(lǐng)域的深度融合與創(chuàng)新.某探究小組利用解答了50份高考模擬試卷，收集其準(zhǔn)確率，整理得到如下頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A.B.估計(jì)準(zhǔn)確率的分位數(shù)為C.估計(jì)準(zhǔn)確率的平均數(shù)為D.估計(jì)準(zhǔn)確率的中位數(shù)為【答案】ABD【解析】【分析】利用頻率分布直方圖中所有矩形的面積和為，可判斷A選項(xiàng)；利用百分位數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)；利用平均數(shù)公式可判斷C選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得，解得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，前兩個(gè)矩形的面積之和為，所以估計(jì)準(zhǔn)確率的分位數(shù)為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，估計(jì)準(zhǔn)確率的平均數(shù)為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)中位數(shù)為，前三個(gè)矩形的面積之和為，所以，則，解得，所以估計(jì)準(zhǔn)確率的中位數(shù)為，D對(duì).故選：ABD.10.已知.不等式的解集為且，則下列說法中正確的是（）A.函數(shù)的極大值點(diǎn)為1B.函數(shù)的對(duì)稱中心為C.過點(diǎn)可作一條直線與曲線相切D.當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)不等式的解集與方程的解之間的聯(lián)系求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和極值點(diǎn)的概念即可判斷A；根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性驗(yàn)證即可判斷B；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷C；利用作差法計(jì)算即可判斷D.【詳解】A：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榍遥床坏仁降慕饧癁榍?，所以方程的根為和（二重根），得，即，所以，則，得，令，或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A知，則，所以，即的一個(gè)對(duì)稱中心為，故B正確；C：由選項(xiàng)A知，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，設(shè)切點(diǎn)為，則，，得，整理得，即，解得，此時(shí)切點(diǎn)為，不符題意，所以過點(diǎn)只能作一條直線與曲線相切，故C正確；D：令，當(dāng)時(shí)，則，只需.而，由，得，即，所以，故D正確.故選：BCD11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線就是其中之一，下列選項(xiàng)中關(guān)于曲線的說法正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，曲線與軸有個(gè)交點(diǎn)B.曲線的圖象關(guān)于對(duì)稱C.當(dāng)時(shí)，曲線上的一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值小于D.當(dāng)時(shí)，曲線上的一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值大于【答案】BCD【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，解方程，可判斷A選項(xiàng)；利用曲線的對(duì)稱性可判斷B選項(xiàng)；在曲線上的一點(diǎn)，可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上最小值的取值范圍，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，在曲線的方程中，令，可得，解得，所以當(dāng)時(shí)，曲線與軸有個(gè)交點(diǎn)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，在曲線上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)?，即點(diǎn)也在曲線上，所以曲線的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B對(duì)；對(duì)于CD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，在曲線上的一點(diǎn)，則，則，其中，令，其中，則，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，所以，存在使得，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，，且，故，CD都對(duì).故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，若，則__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式分類討論求解即可.【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾，此時(shí)無解.所以.故答案為：213.已知向量，，則的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可出，再利用平面向量的模長(zhǎng)公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】設(shè)，則，可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值.故答案為：.14.某次慶典后，墻壁上的裝飾品需要取下來，如圖，由于材料特性，每次能取一個(gè)，且所取的裝飾品只能有個(gè)或個(gè)相鄰的裝飾品，則不同的取法數(shù)有__________種.【答案】【解析】【分析】對(duì)小球進(jìn)行編號(hào)，然后對(duì)前三個(gè)球的取法進(jìn)行分類討論，進(jìn)而對(duì)后續(xù)小球的摸球順序進(jìn)行討論，結(jié)合分步乘法與分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】將這個(gè)小球編號(hào)如下圖所示：分以下兩種情況討論：第一種，第一步，先取、、號(hào)球，第二步，再取、、號(hào)球依次取個(gè)球，最后一步，從剩余兩球依次摸取，此時(shí)不同的抽法種數(shù)為種；第二種，將、、視為三個(gè)整體，前三個(gè)球從其中一個(gè)整體和每支不與號(hào)球相鄰的小球中依次摸取，有種，以、、為例，可依次為、、，共種，剩余、、、號(hào)球，先從、號(hào)球中摸一個(gè)，有種情況，比如先取號(hào)球，剩余三個(gè)相鄰的小球，接下來從、號(hào)球中取一個(gè)，有種情況，最后剩余兩球摸取的先后順序任意，此時(shí)，不同的取法種數(shù)為.綜上所述，不同的取法種數(shù)為種.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)勾股定理及其逆定理可證得，結(jié)合線面垂直與面面垂直的判定定理即可證明；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.【小問1詳解】因?yàn)閭?cè)面是邊長(zhǎng)為4的正方形，所以，因?yàn)?，則，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?詳解】以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，所以，則，設(shè)平面的法向量為，由，可得，令，則，平面的法向量為，所以，又二面角為銳角，所以其余弦值為.16.己知拋物線，過點(diǎn)作斜率大于直線與曲線交于、兩點(diǎn).原點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為記為點(diǎn).（1）求證：：（2）當(dāng)在拋物線上時(shí)，求三角形的面積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程，列出韋達(dá)定理，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及韋達(dá)定理計(jì)算出，即可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱解出點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)在拋物線上求出的值，列出韋達(dá)定理，根據(jù)三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】設(shè)、，由題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程得，則，由韋達(dá)定理可得，，，，所以.【小問2詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，解得所以，，，所以，所以.17.為宣揚(yáng)中國(guó)文化，某校組織古詩詞知識(shí)比賽.比賽分為兩階段，第一階段為基礎(chǔ)知識(shí)問答，每位選手都需要回答3個(gè)問題，答對(duì)其中至少2個(gè)問題，進(jìn)入第二階段，否則被淘汰；第二階段分高分組、和低分組，第一階段3個(gè)問題都答對(duì)的選手進(jìn)入高分組，共回答4個(gè)問題，每答對(duì)一個(gè)得20分，答錯(cuò)不得分；第一階段答對(duì)2個(gè)問題的選手進(jìn)入低分組，共回答4個(gè)問題，每答對(duì)一個(gè)得10分，答錯(cuò)不得分.第一階段，每個(gè)問題選手甲答對(duì)的概率都是；第二階段，若選手甲進(jìn)入高分組，每個(gè)問題答對(duì)的概率都是，若選手甲進(jìn)入低分組，每個(gè)問題答對(duì)的概率都是.（1）求選手甲第一階段不被淘汰的概率；（2）求選手甲在該次比賽得分?jǐn)?shù)為40分概率；（3）已知該次比賽選手甲進(jìn)入了高分組，記選手甲在該次比賽中得分?jǐn)?shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望值.【答案】（1）（2）（3）分布列見解析，20【解析】【分析】（1）選手甲第一階段不被淘汰，即甲回答三個(gè)問題答對(duì)其中2個(gè)或3個(gè)，根據(jù)條件即可求解；（2）選手甲在該次比賽得分?jǐn)?shù)為40分有兩種情況：進(jìn)入高分組，答對(duì)2個(gè)問題；進(jìn)入低分組，答對(duì)4個(gè)問題，根據(jù)條件求解即可；（3）由題的可能取值有，分別求出相應(yīng)取值的概率，即可得出答案.【小問1詳解】選手甲第一階段不被淘汰，即甲回答三個(gè)問題答對(duì)其中2個(gè)或3個(gè)，其概率為：【小問2詳解】選手甲在該次比賽得分?jǐn)?shù)為40分有兩種情況：進(jìn)入高分組，答對(duì)2個(gè)問題；進(jìn)入低分組，答對(duì)4個(gè)問題.故概率為：【小問3詳解】的可能取值有，，，，所以分布列為：020406080所以.18.已知.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（2）當(dāng)時(shí)，求證：；（3）當(dāng)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間內(nèi)為（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，分析得出，令，可得，結(jié)合（1）中的結(jié)論可證得；（3）解法一：對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出函數(shù)在不同情況下的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；解法二：求得，令，令，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出函數(shù)在不同情況下的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；解法三：將函數(shù)解析式變形為，設(shè)，則，則有，設(shè)，則，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析的符號(hào)變化，可得出的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，則在為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則在為減函數(shù)；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間內(nèi)為.【小問2詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，設(shè)，由（1）可知，所以不等式成立.【小問3詳解】解法一：，設(shè)，此時(shí)，則，因?yàn)?，所以，則在為減函數(shù)，，①當(dāng)時(shí)，，結(jié)合在為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)；所以，所以，即在上為減函數(shù)，又因?yàn)椋灾挥幸粋€(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，所以在上增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以在上減函數(shù).因?yàn)椋瑒t，當(dāng)，使得，所以時(shí)，，即，即在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即，即在為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即，即在為減函數(shù)；當(dāng)，又因?yàn)椋?所以使得，在為減函數(shù)，所以，所以存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).解法二：，設(shè)，此時(shí)，則，設(shè)，所以，①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)；所以，所以，即在上為減函數(shù).又因?yàn)?，所以只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)，所以，設(shè).因?yàn)?，因?yàn)闀r(shí)，所以存在，使得當(dāng)時(shí)，，即，所以在上增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即，所以在上減函數(shù).因?yàn)?，則，當(dāng)，使得，所以時(shí)，，即，即在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即，即在為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即，即在為減函數(shù)；當(dāng)，又因?yàn)?，所?所以使得，在為減函數(shù)，所以，所以存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).解法三：，設(shè)，則，則有，，設(shè).因?yàn)椋?，則在為減函數(shù)，，①當(dāng)，即，結(jié)合在為減函數(shù)當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)；所以，所以，即在上為減函數(shù).又因?yàn)?，所以只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，所以在上增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以在上減函數(shù).因?yàn)?，則，當(dāng)，使得，所以時(shí)，，即，即在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即，即在為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即，即在為減函數(shù)；當(dāng)，又因?yàn)椋?所以使得，在為減函數(shù)，所以，所以存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).19.對(duì)于共項(xiàng)的等差數(shù)列（公差不為0）各項(xiàng)重新排列得到新數(shù)列，若中的任意兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)都不在這兩項(xiàng)所在位置之間，則稱數(shù)列是等差數(shù)列的“無均數(shù)列”.（1）若，寫出等差數(shù)列（公差不為0）的4個(gè)不同的“無均數(shù)列”；（2）若，寫出等差數(shù)列（公差不為0）的一個(gè)“無均數(shù)列”；（3）若，判斷等差數(shù)列（公差不為0）的“無均數(shù)列”是否存在，并證明你的結(jié)論.【答