高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)與練（人教版）第02講 古典概型 （解析版）

第02講10.1.3古典概型

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①通過(guò)古典概型的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步理解隨機(jī)事件和樣本點(diǎn)

①理解古典概型的兩個(gè)特征，掌握古典概型的關(guān)系、事件和樣本空間的關(guān)系、概率的意義，掌握研

的計(jì)算公式。究概率模型的一般性思路。

②能判斷一個(gè)實(shí)驗(yàn)是否為古典概型，分清古②通過(guò)實(shí)例體會(huì)古典概型的抽象過(guò)程，理解古典概型的

典概型中某隨機(jī)事件包含的基本事件的個(gè)兩個(gè)特征，掌握古典概型的計(jì)算公式。

數(shù)和實(shí)驗(yàn)中基本事件的總數(shù)。③掌握通過(guò)放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

模型兩種古典概型問(wèn)題。

知識(shí)點(diǎn)1：古典概型

1.1古典概型的定義

試驗(yàn)具有如下共同特征：

(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．

我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．

1.2古典概型的判斷

一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)：有限性和等可能性．并不是所有

的試驗(yàn)都是古典概型．

下列三類試驗(yàn)都不是古典概型：

①樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，但非等可能．②樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限，但等可能．③樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限，也不等可能．

【即學(xué)即練1】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）以下試驗(yàn)不是古典概型的有（）

A．從6名同學(xué)中，選出4名參加學(xué)校文藝匯演，每個(gè)人被選中的可能性大小

B．同時(shí)擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率

C．近三天中有一天降雪的概率

D．3個(gè)人站成一排，其中甲，乙相鄰的概率

【答案】C

【詳解】A選項(xiàng)，從6名同學(xué)中，選出4名參加學(xué)校文藝匯演，每個(gè)人被選中的可能性相等，滿足有限性和

等可能性，是古典概型；

B選項(xiàng)中，同時(shí)同時(shí)擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的事件是不可能事件，有限性和等可能性，是古典概型；

C選項(xiàng)中，不滿足等可能性，不是古典概型；

D選項(xiàng)中，3個(gè)人站成一排，其中甲，乙相鄰的概率，滿足有限性和等可能性，是古典概型．

故選：C．

知識(shí)點(diǎn)2：古典概型的概率計(jì)算公式

2.1古典概型的概率計(jì)算公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A

kn(A)

的概率P(A).

nn()

其中，n(A)和n()分別表示事件A和樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．

【即學(xué)即練2】（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)舉辦美食短視頻大賽，要求參賽的

博主從九江茶餅、北京烤鴨、上海生煎包、西安肉夾饃、武漢熱干面這5個(gè)美食主題中任選一個(gè)主題進(jìn)行

拍攝，則甲、乙兩位參賽博主抽到不同主題的概率為（）

1234

A．B．C．D．

5555

【答案】D

【詳解】九江茶餅、北京烤鴨、上海生煎包、西安肉夾饃、武漢熱干面分別記為a,b,c,d,e，

兩位參賽博主任選一個(gè)主題的試驗(yàn)的樣本空間{aa,ab,ac,ad,ae,ba,bb,bc,bd,be,

ca,cb,cc,cd,ce,da,db,dc,dd,de,ea,eb,ec,ed,ee}，共25個(gè)樣本點(diǎn)，

兩位參賽博主抽到不同主題的事件A{ab,ac,ad,ae,ba,bc,bd,be,ca,cb,cd,ce,

da,db,dc,de,ea,eb,ec,ed}，共20個(gè)樣本點(diǎn)，

204

所以兩位參賽博主抽到不同主題的概率為P(A).

255

故選：D

2.2古典概型的解題步驟

求古典概型概率的步驟：

（1）判斷試驗(yàn)的事件是否是古典概型，并用字母表示所求事件（如事件A）

（2）確定樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)n

（3）確定所求事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)k

kn(A)

（4）用公式P(A)求出事件A發(fā)生的概率.

nn()

題型01古典概型的判斷

【典例1】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為（）

（1）從區(qū)間[1，10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；

（2）從1～10中任意取一個(gè)整數(shù)，求取到1的概率；

（3）在一個(gè)正方形ABCD內(nèi)畫(huà)一點(diǎn)P，求P剛好與點(diǎn)A重合的概率；

（4）向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率.

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【詳解】第1個(gè)概率模型不是古典概型，因?yàn)閺膮^(qū)間[1,10]內(nèi)任意取出一個(gè)數(shù)，有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)象可取，所以不

滿足“有限性”．

第2個(gè)概率模型是古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)結(jié)果只有10個(gè)，而且每個(gè)數(shù)被抽到的可能性相等，即滿足有限性和

等可能性；

第3個(gè)概率模型不是古典概型，在一個(gè)正方形ABCD內(nèi)畫(huà)一點(diǎn)P，有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，不滿足“有限性”；

第4個(gè)概率模型也不是古典概型，因?yàn)橛矌挪痪鶆?，因此兩面出現(xiàn)的可能性不相等．

故選：A.

【典例2】（2023下·新疆·高一校考期末）下列實(shí)驗(yàn)中，是古典概型的有（）

A．某人射擊中靶或不中靶

B．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一個(gè)

C．四名同學(xué)用抽簽法選一人參加會(huì)議

D．從區(qū)間1,10上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，求取到1的概率

【答案】C

【詳解】由古典概型性質(zhì)：基本事件的有限性及它們的發(fā)生是等可能的，

A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不滿足；

B：基本事件坐標(biāo)系中整數(shù)點(diǎn)是無(wú)限的，不滿足；

C：基本事件是四名同學(xué)是有限的，且抽到的概率相等，滿足；

D：基本事件是區(qū)間1,10上所有實(shí)數(shù)是無(wú)限的，不滿足；

故選：C

【典例3】（多選）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列是古典概型的有（）

A．從6名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性的大小

B．同時(shí)擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率

C．近三天中有一天降雨的概率

D．10個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率

【答案】ABD

【詳解】古典概型的特點(diǎn):①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相

等.

顯然A?B?D符合古典概型的特征，所以A?B?D是古典概型；

C選項(xiàng)，每天是否降雨受多方面因素影響，不具有等可能性，不是古典概型.

故選：ABD.

【變式1】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列概率模型中不是古典概型的為（）

A．從6名同學(xué)中選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性大小

B．同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)和為6的概率

C．近三天中有一天降雨的概率

D．10人站成一排，其中甲，乙相鄰的概率

【答案】C

【詳解】解：古典概型的特點(diǎn):①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能

性相等.

顯然A?B?D符合古典概型的特征，所以A?B?D是古典概型；

C選項(xiàng)，每天是否降雨受多方面因素影響，不具有等可能性，不是古典概型.

故選：C.

【變式2】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為（）

①?gòu)膮^(qū)間1,10內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；②從1，2，3，…，10中任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；

③在正方形ABCD內(nèi)畫(huà)一點(diǎn)P，求點(diǎn)P恰好為正方形中心的概率；④向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)

反面朝上的概率.

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【詳解】古典概型的特征是樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限的，并且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等，故②

是古典概型；

①和③中的樣本空間中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不是有限的，故不是古典概型；

④由于硬幣質(zhì)地不均勻，因此樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性不相等，故④不是古典概型.

故選：A.

【變式3】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列試驗(yàn)是古典概型的是（）

A．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一點(diǎn)

B．某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)

C．某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講

D．在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽

【答案】C

【詳解】對(duì)于A，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有無(wú)限多個(gè)，不滿足有限樣本空間特征，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B，命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)…，10環(huán)的概率不相同，不滿足等可能性特征，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C，人數(shù)有限，且任選1人與學(xué)生的性別無(wú)關(guān)，是等可能的，故該選項(xiàng)正確；

對(duì)于D，“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”的概率不一定相等，不滿足等可能性特征，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

題型02用列舉法確定樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)n

【典例1】（2023上·湖北荊州·高一洪湖市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）有2個(gè)信封，第一個(gè)信封內(nèi)的四張卡

片上分別寫有1，2，3，4，第二個(gè)信封內(nèi)的四張卡片上分別寫有5，6，7，8，甲、乙兩人商定了一個(gè)游戲，

規(guī)則是：從這兩個(gè)信封中各隨機(jī)抽取一張卡片，得到兩個(gè)數(shù).為了使大量次游戲后對(duì)雙方都公平，獲勝規(guī)則

不正確的是（）

A．第一個(gè)信封內(nèi)取出的數(shù)作為橫坐標(biāo)，第二個(gè)信封內(nèi)取出的數(shù)作為縱坐標(biāo)，所確定的點(diǎn)在直線yx4

上甲獲勝，所確定的點(diǎn)在直線yx8上乙獲勝

B．取出的兩個(gè)數(shù)乘積不大于15甲獲勝，否則乙獲勝

C．取出的兩個(gè)數(shù)乘積不小于20時(shí)甲得5分，否則乙得3分，游戲結(jié)束后，累計(jì)得分高的人獲勝

D．取出的兩個(gè)數(shù)相加，如果得到的和為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝

【答案】A

【詳解】畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

對(duì)于A：由樹(shù)狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，

其中所確定的點(diǎn)在直線yx4上的點(diǎn)有1,5,2,6,3,7,4,8共4個(gè)，

所確定的點(diǎn)在直線yx8上的點(diǎn)有1,7,2,6,3,5共3個(gè)，

故兩種情況下的基本事件個(gè)數(shù)不一樣，即兩種情況下概率不一樣，選項(xiàng)A符合題意；

對(duì)于B：由樹(shù)狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，

其中兩個(gè)數(shù)乘積大于15的有2,8,3,6,3,7,3,8,4,5,4,6,4,7,4,8共8種，

則兩個(gè)數(shù)乘積不大于15的也有8種，

故兩種情況下的基本事件個(gè)數(shù)一樣，即兩種情況下概率一樣，選項(xiàng)B不符合題意；

對(duì)于C：由樹(shù)狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，

其中取出的兩個(gè)數(shù)乘積不小于20的有3,7,3,8,4,5,4,6,4,7,4,8共6種，

則取出的兩個(gè)數(shù)乘積小于20的有10種，

5631030，選項(xiàng)C不符合題意；

對(duì)于D：由樹(shù)狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，

其中取出的兩個(gè)數(shù)相加和為奇數(shù)的有1,6,1,8,2,5,2,7,3,6,3,8,4,5,4,7共8種，

則取出的兩個(gè)數(shù)相加和為偶數(shù)的有8種，

故兩種情況下的基本事件個(gè)數(shù)一樣，即兩種情況下概率一樣，選項(xiàng)D不符合題意；

故選：A.

【典例2】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：

(1)連續(xù)拋擲一枚硬幣5次，記錄正面出現(xiàn)的次數(shù)；

(2)從一副撲克牌（去掉大、小王，共52張）中隨機(jī)選取1張，記錄它的花色．

【答案】(1){0,1,2,3,4,5}；

(2){黑桃，紅心，方塊，梅花}

【詳解】（1）連續(xù)拋擲一枚硬幣5次，記錄正面出現(xiàn)的次數(shù)為0，1，2，3，4，5，樣本空間是{0,1,2,3,4,5}；

（2）從一副撲克牌（去掉大、小王，共52張）中隨機(jī)選取1張，記錄它的花色只能是黑桃、紅心、方塊、

梅花中的一個(gè)，樣本空間是{黑桃，紅心，方塊，梅花}．

【典例3】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在試驗(yàn)E5“連續(xù)拋擲一枚骰子2次，觀察每次擲出的點(diǎn)數(shù)”中，設(shè)事

件A表示隨機(jī)事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為1”，事件B表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6”，試用樣本點(diǎn)

表示事件A和事件B．

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】解：A{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)}；

B{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．

【變式1】（2023上·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）A,B兩個(gè)元件組成一個(gè)串聯(lián)電路，每

個(gè)元件可能正?；蚴?設(shè)事件A“A元件正?！?，B“B元件正?！?，用x1,x2分別表示A,B兩個(gè)元件的狀態(tài)，

用x1,x2表示這個(gè)串聯(lián)電路的狀態(tài).以1表示元件正常，0表示元件失效.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）

①樣本空間1,1,1,0,0,1,0,0；②事件B0,1,1,1；

③事件“電路是斷路”可以用AB（或AB）表示；

④事件“電路是通路”可以用AB（或AB）表示，共包含3樣本點(diǎn).

A．0B．2C．3D．4

【答案】B

【詳解】因?yàn)閤1,x2分別取值0和1，因此(x1,x2)的取值為(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)，①正確；

事件B中x21，而x1任取，因此②正確；

事件“電路是斷路”中，x1,x2至少有一個(gè)取0，因此事件“電路是斷路”{(0,1),(1,0),(0,0)}，

A{(1,1),(1,0)}，A{(0,1),(0,0)}，B{(1,0),(0,0)}，從而“電路是斷路”可表示為AB，③錯(cuò)；

事件“電路是通路”中，x1,x2兩個(gè)都取1，因此事件“電路是通路”{(1,1)}，

A{(1,1),(1,0)}，從而“電路是通路”可表示為AB，其中只有一個(gè)樣本點(diǎn)，④錯(cuò)．

正確的個(gè)數(shù)是2，

故選：B．

【變式2】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在試驗(yàn)E6“袋中有白球3個(gè)（編號(hào)為1，2，3）、黑球2個(gè)（編號(hào)為

1，2），這5個(gè)球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個(gè)，每次摸1個(gè)，觀察摸出球的情況”中，

摸到白球的結(jié)果分別記為w1，w2，w3，摸到黑球的結(jié)果分別記為b1，b2．設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“第一次

摸出的是黑球”，事件B表示隨機(jī)事件“至少有一次摸出的是黑球”，試用樣本點(diǎn)表示事件A和事件B．

【答案】答案見(jiàn)解析

【詳解】Ab1,w1,b1,w2,b1,w3,b2,w1,b2,w2,b2,w3,b1,b2,b2,b1,

Bb1,w1,b1,w2,b1,w3,b2,w1,b2,w2,

b2,w3,

w1,b1,w2,b1,w3,b1,w1,b2,w2,b2,w3,b2,b1,b2,b2,b1.

【變式3】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）拋擲一枚骰子，用1，2，3，4，5，6表示擲出的點(diǎn)數(shù)，寫出試驗(yàn)的

樣本點(diǎn)和樣本空間．

【答案】答案見(jiàn)解析

【詳解】解：試驗(yàn)一共有6個(gè)樣本點(diǎn)，它們是1，2，3，4，5，6．

所以該試驗(yàn)的樣本空間Ω{1,2,3,4,5,6}．

題型03用列舉法求古典概型的概率

【典例1】（2024上·江西九江·高一九江一中?？计谀┠尘W(wǎng)絡(luò)平臺(tái)舉辦美食短視頻大賽，要求參賽的博主

從九江茶餅、北京烤鴨、上海生煎包、西安肉夾饃、武漢熱干面這5個(gè)美食主題中任選一個(gè)主題進(jìn)行拍攝，

則甲、乙兩位參賽博主抽到不同主題的概率為（）

1234

A．B．C．D．

5555

【答案】D

【詳解】九江茶餅、北京烤鴨、上海生煎包、西安肉夾饃、武漢熱干面分別記為a,b,c,d,e，

兩位參賽博主任選一個(gè)主題的試驗(yàn)的樣本空間{aa,ab,ac,ad,ae,ba,bb,bc,bd,be,

ca,cb,cc,cd,ce,da,db,dc,dd,de,ea,eb,ec,ed,ee}，共25個(gè)樣本點(diǎn)，

兩位參賽博主抽到不同主題的事件A{ab,ac,ad,ae,ba,bc,bd,be,ca,cb,cd,ce,

da,db,dc,de,ea,eb,ec,ed}，共20個(gè)樣本點(diǎn)，

204

所以兩位參賽博主抽到不同主題的概率為P(A).

255

故選：D

【典例2】（2024上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考期末）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取

1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.

3

【答案】

5

【詳解】由從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，

基本事件的總數(shù)為N5525個(gè)，

則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件為：

(1,1),(2,2),(2,1),(3,3),(3,2),(3,1),(4,4),(4,3),(3,2),(4,1),(5,5),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1)，

共有15個(gè)，

153

所以抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為P.

255

3

故答案為：.

5

【典例3】（2024上·遼寧朝陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州成功

舉辦，中國(guó)跳水運(yùn)動(dòng)小將全紅嬋備受大家關(guān)注.某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解杭州市民對(duì)亞運(yùn)會(huì)跳水項(xiàng)目的認(rèn)知程度，

舉辦了一次“亞運(yùn)會(huì)跳水項(xiàng)目”知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了1000名參賽者，發(fā)現(xiàn)他們的成績(jī)都在40～100分之間，

將他們的成績(jī)分成40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100六組，并制成如圖所示的頻率

分布直方圖.

(1)求a的值以及這1000人競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；

(2)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從80,90，90,100中抽取6人，并從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行采

訪，求接受采訪的2人中有人成績(jī)?cè)?0,100的概率.

【答案】(1)a0.015，平均數(shù)為72分

1

(2)

3

【詳解】（1）依題意，0.0052a0.020.030.025101，解得a0.015，

平均數(shù)為450.05550.15650.2750.3850.25950.0572.

（2）80,90的頻率為0.25，90,100的頻率為0.05，

所以從80,90中抽取5人，記為1,2,3,4,5，

在90,100中抽取1人，記為6，

從中任選2人，基本事件有：1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6，

3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6，共15種，

其中接受采訪的2人中有人成績(jī)?cè)?0,100的有1,6,2,6,3,6,4,6,5,6，

51

共5種，所以接受采訪的2人中有人成績(jī)?cè)?0,100的概率為.

153

【典例4】（2024上·吉林長(zhǎng)春·高二校考期末）某高校承辦了杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取

了100名候選者的面試成績(jī),并分成五組：第一組45,55,第二組55,65,第三組65,75,第四組75,85,第五

組85,95,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7,第一組和第五組的頻率

相同.

(1)求a,b的值；

(2)估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的中位數(shù)（精確到0.1）；

(3)在第四,第五兩組志愿者中,采用分層抽樣的方法從中抽取5人,然后再?gòu)倪@5人中選出2人,求選出的兩人

來(lái)自同一組的概率.

【答案】(1)a0.025，b0.005

(2)69.4

3

(3)

5

【詳解】（1）因?yàn)榈谌?、四、五組的頻率之和為0.7，所以0.0450.020b100.7，解得b0.005，

所以前兩組的頻率之和為1-0.7=0.3，即ab100.3，所以a0.025

（2）前兩個(gè)分組頻率之和為0.3，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，所以中位數(shù)在65和75之間,即為

0.50.3

651069.4，

0.45

所以中位數(shù)為69.4；

（3）第四、第五兩組志愿者分別有20人、5人，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為

a,b,c,d,第五組志愿者人數(shù)為1,設(shè)為e，這5人中選出2人，

所有情況有a,b，a,c,a,d,a,e,b,c,b,d,b,e,c,d,c,e,d,e共有10種情況,

記事件A：選出的兩人來(lái)自同一組,則A中有a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d.共6種情況,

63

故PA.

105

【變式1】（2024上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）2023年9月28日，滬寧沿江高速鐵路開(kāi)通運(yùn)營(yíng)，形成上海

至南京間的第二條城際高速鐵路，滬寧沿江高速鐵路共設(shè)8座車站（如圖）.為體驗(yàn)高鐵速度，游覽各地風(fēng)

光，甲乙兩人準(zhǔn)備同時(shí)從南京南站出發(fā)，甲隨機(jī)選擇金壇?武進(jìn)?江陰?張家港中的一站下車，乙隨機(jī)選擇金

壇?武進(jìn)?江陰?張家港?常熟中的一站下車.已知兩人不在同一站下車，則甲比乙晚下車的概率為（）

3113

A．B．C．D．

204208

【答案】D

【詳解】設(shè)金壇站?武進(jìn)站?江陰站?張家港占、常熟站用A,B,C,D,E，

甲、乙兩人用字符對(duì)表示下車的站，

于是有以下情形：

AB,AC,AD,AE,BA,BC,BD,BE,CA,CB,CD,CE,DA,DB,DC,DE共有16種情形，

其中甲比乙晚下車的情況是BA，CA,CB,DA,DB,DC，共有6種情形，

63

所以甲比乙晚下車的概率為，

168

故選：D

【變式2】（2024上·山東淄博·高二統(tǒng)考期末）從2至6的5個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互

質(zhì)的概率為.

3

【答案】/0.6

5

【詳解】從2至6的5個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同數(shù)的試驗(yàn)的樣本空間為：

{(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}（交換數(shù)字位置算一種情況），共10個(gè)樣本點(diǎn)，

所取2個(gè)數(shù)互質(zhì)的事件A{(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(5,6)}，共6個(gè)樣本點(diǎn)，

63

所以這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為P(A).

105

3

故答案為：

5

【變式3】（2024上·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）為促進(jìn)更多人養(yǎng)成良好的閱讀習(xí)慣，某小區(qū)開(kāi)展了“我讀書(shū)，

我快樂(lè)”的活動(dòng).為了解小區(qū)居民最近一個(gè)月的閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），隨機(jī)抽取M個(gè)居民作為樣本，得

到這M個(gè)居民的閱讀時(shí)間，整理得到如下數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)、頻率分布表和頻率分布直方圖：

分組區(qū)間頻數(shù)頻率

10,15150.15

15,2020

20,25350.35

25,30m

30,35120.12

合計(jì)M1

(1)求出表中M，m及圖中a的值；

(2)若本小區(qū)有3200人，試估計(jì)該小區(qū)閱讀時(shí)間在區(qū)間15,20內(nèi)的人數(shù)；

(3)在所取樣本中，從閱讀時(shí)間不少于25小時(shí)的居民中，按分層抽樣的方法選取5人，并從這5人中選2人去

參加社區(qū)知識(shí)競(jìng)賽，求至多有1人閱讀時(shí)間在區(qū)間25,30內(nèi)的概率.

【答案】(1)M100,m18,a0.7

(2)640

7

(3)

10

15

【詳解】（1）依題意，M100，

0.15

所以m1001520351218，

0.35

a0.7.

5

20

（2）閱讀時(shí)間在區(qū)間15,20內(nèi)的人數(shù)為3200640.

100

18

（3）25,30抽取53人，記為1,2,3，

1812

12

30,35抽取52人，記為4,5.

1812

從這5人中選2人去參加社區(qū)知識(shí)競(jìng)賽，基本事件有：

1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5，共10個(gè)，

至多有1人閱讀時(shí)間在區(qū)間25,30內(nèi)包含的基本事件有：

1,4,1,5,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5，共7個(gè)，

7

所以至多有1人閱讀時(shí)間在區(qū)間25,30內(nèi)的概率為.

10

【變式4】（2024上·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）2023年11月，首屆全國(guó)學(xué)生（青年）運(yùn)動(dòng)會(huì)在廣西舉行.10

月31日，學(xué)青會(huì)火炬?zhèn)鬟f在桂林舉行，廣西師范大學(xué)有5名教師參與了此次傳遞，其中男教師2名，女教

師3名.現(xiàn)需要從這5名教師中任選2名教師去參加活動(dòng).

(1)寫出試驗(yàn)“從這5名教師中任選2名教師”的樣本空間；

(2)求選出的2名教師中至多有1名男教師的概率.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

9

(2)

10

【詳解】（1）將2位男教師記為a1,a2，3位女教師記為b1,b2,b3，

則樣本空間a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1,a2,b2,a2,b3,b1,b2,b1,b3,b2,b3，共10個(gè)樣本

點(diǎn).

（2）設(shè)事件A表示“選出的2名教師中至多有1名男教師”,

則Aa1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1,a2,b2,a2,b3,b1,b2,b1,b3,b2,b3，

9

A中包含9個(gè)樣本點(diǎn),所以P(A).

10

題型04有放回與無(wú)放回的概率

【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再

隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（）

1132

A．B．C．D．

105105

【答案】D

【詳解】記“抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)”為事件A，

則事件A共包含以下10種情況：

(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)，

而有放回的連續(xù)抽取2張卡片共有5525（種）不同情況，

102

則P(A)

255

故選：D

【典例2】（2023上·云南昆明·高二云南師大附中校聯(lián)考期中）從分別寫有1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張，

放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（）

1357

A．B．C．D．

8888

【答案】B

【詳解】從分別寫有1,2,3,4的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，

基本事件總數(shù)4416種情況，

抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有：

2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3共6種情況，

63

故所求概率為：P，

168

故選：B.

【典例3】（2024上·廣西北?！じ咭唤y(tǒng)考期末）從分別寫有1，2，3，4，5，6，7的7張卡片中隨機(jī)抽取1

張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)字大于第二卡片上的數(shù)字的概率為．

3

【答案】

7

【詳解】記“抽得的第一張卡片上的數(shù)字大于第二張卡片上的數(shù)字”為事件A，

事件A包括以下21種情況：(7,1)，(7,2)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(7,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，

(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，

而有放回地連續(xù)抽取2張卡片共有7749（種）不同情況，

213

則PA．

497

3

故答案為：.

7

【典例4】（2023上·河南信陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）從三名男生（記為A1，A2，A3）、兩名女生（記為B1，B2）

中任意選取兩人.

(1)在有放回的選取中，寫出樣本空間，并計(jì)算選到兩人都是男生的概率；

(2)在不放回的選取中，寫出樣本空間，并計(jì)算選到至少有一名女生的概率.

9

【答案】(1)樣本空間見(jiàn)解析，

25

7

(2)樣本空間見(jiàn)解析，.

10

【詳解】（1）樣本空間

ΩA1A1,A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A1,A2A2,A2A3,A2B1,A2B2,

A3A1,A3A2,A3A3，A3B1,A3B2,B1A1,B1A2,B1A3,B1B1,B1B2,B2A1,B2A2,B2A3,

B2B1,B2B2，

記抽到兩人都是男生的事件為A，事件A包含的基本事件有:

A1A1,A1A2,A1A3,A2A1,A2A2,A2A3A3A1,A3A2,A3A3，共9個(gè)，

9

則P(A).

25

（2）樣本空間A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2，

記抽到至少有一名女生的事件為B，事件B包含的基本事件有：

7

AB,AB,AB,AB,AB,AB,BB，共7個(gè)，則P(B).

1112212231321210

【變式1】（2023上·四川成都·高二統(tǒng)考期中）袋中裝有4個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的帶有不同標(biāo)號(hào)的小球，

其中2個(gè)紅球，2個(gè)綠球，甲摸一個(gè)后不放回，乙再摸一個(gè)，試驗(yàn)所有可能的結(jié)果數(shù)為（）

A．8B．9C．12D．16

【答案】C

【詳解】設(shè)4個(gè)小球分別為A1，A2，B1，B2，則試驗(yàn)結(jié)果為4312．

故選：C

【變式2】（2024·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）甲、乙二人用7張不同的撲克牌（其中紅桃4張，方片3張）玩游

戲．他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．則甲、

乙二人抽到花色相同的概率為．

3

【答案】

7

【詳解】因?yàn)橐还灿?張不同的撲克牌（其中紅桃4張，方片3張），甲先抽，乙后抽，

所以甲、乙二人抽到花色相同的情況有：

①甲先抽到紅桃，乙后抽到紅桃，②甲先抽到方片，乙后抽到方片，

43323

所以甲、乙二人抽到花色相同的概率為.

76767

3

故答案為：.

7

【變式3】（2024上·山東濰坊·高三山東省昌樂(lè)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,,9的9張卡

片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到的兩張卡片上數(shù)字的奇偶性不同的概率是.

5

【答案】.

9

545

【詳解】若第一張卡片上的數(shù)字為奇數(shù)，第二張卡片上的數(shù)字為偶數(shù)，則p，

19818

455

若第一張卡片上的數(shù)字為偶數(shù)，第二張卡片上的數(shù)字為奇數(shù)，則p，

29818

5

故抽到的兩張卡片上數(shù)字的奇偶性不同的概率是ppp.

129

5

故答案為：.

9

【變式4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知不透明的袋中裝有三個(gè)黑球（記為B1，B2和B3）、兩個(gè)紅球（記

為R1和R2），從中不放回地依次隨機(jī)抽取兩球．

(1)用集合的形式寫出試驗(yàn)的樣本空間；

(2)求抽到的兩個(gè)球都是黑球的概率．

【答案】(1)答案見(jiàn)詳解

3

(2)

10

【詳解】（1）試驗(yàn)的樣本空間

={(B1,B2),(B1,B3),(B1,R1),(B1,R2),(B2,B1),(B2,B3),(B2,R1),(B2,R2),

(B3,B1),(B3,B2),(B3,R1),(B3,R2),(R1,B1),(R1,B2),(R1,B3),(R1,R2)

(R2,B1),(R2,B2),(R2,B3),(R2,R1)；

（2）設(shè)事件A=“抽到兩個(gè)黑球”，則對(duì)于不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，

A{(B1,B2),(B1,B3),(B2,B1),(B2,B3),(B3,B1),(B3,B2)}．

因?yàn)闃颖究臻g中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一個(gè)古典概型．

nA63

因此PA．

n2010

3

所以抽到的兩個(gè)球都是黑球的概率為

10

題型05根據(jù)古典概型的概率求參數(shù)

【典例1】（2023上·浙江·高二溫州中學(xué)校聯(lián)考期中）有5張未刮碼的卡片，其中n張是“中獎(jiǎng)”卡，其它的

是“未中獎(jiǎng)”卡，現(xiàn)從這5張卡片隨機(jī)抽取2張.你有資金100元，每次在對(duì)一張卡片刮碼前，下注已有資金

的一半.若刮碼結(jié)果為“中獎(jiǎng)”，則贏得與下注金額相同的另一筆錢，若刮碼結(jié)果是“未中獎(jiǎng)”，則輸?shù)粝伦⒌馁Y

金.抽取的2張卡片全部刮完后，要使資金增加的概率大于資金減少的概率，則n至少為（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【詳解】由于總資金100元，每次在對(duì)一張卡片刮碼前下注已有資金的一半.

刮第1張卡前，下注50元：

若未中獎(jiǎng)，還剩50元；刮第2張卡前，下注25元，不管是否中獎(jiǎng)，資金必減少；

若中獎(jiǎng)，還剩150元，刮第2張卡前，下注75元，未中獎(jiǎng)資金減少；中獎(jiǎng)資金增加；

所以，要使資金增加，則必須2次刮出中獎(jiǎng)，否則資金減少；

1

所以，5張卡片中取到2張“中獎(jiǎng)”卡的概率大于即可，

2

n(n1)

由5張卡片中任取2張的方法數(shù)有10種，n張“中獎(jiǎng)”卡中取到2張的方法數(shù)有種，

2

n(n1)1

所以n(n1)10且2n5，故n4或5，即n至少為4.

202

故選：C

【典例2】（2023上·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）一個(gè)袋子中裝有形狀大小完全相同的6個(gè)紅球，n個(gè)綠球，

1

現(xiàn)采用不放回的方式從中依次隨機(jī)取出2個(gè)球.若取出的2個(gè)球都是紅球的概率為，則n的值為（）

3

A．4B．5C．12D．15

【答案】A

【詳解】一個(gè)袋子中有若干個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中有6個(gè)紅球，n個(gè)綠球，

1

從袋中不放回地依次隨機(jī)取出2個(gè)球，取出的2個(gè)球都是紅球的概率是，

3

651

則，

6n5n3

解得n4（負(fù)值舍去）.

故選：A．

【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)工廠共生產(chǎn)一精密儀器1200件，其中甲工廠生

產(chǎn)了690件，乙工廠生產(chǎn)了510件，為了解這兩個(gè)工廠各自的生產(chǎn)水平，質(zhì)檢人員決定采用分層抽樣的方法

從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取80件樣品，已知該精密儀器按照質(zhì)量可分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí)．若從所抽取的

3

樣品中隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，恰好抽到甲工廠生產(chǎn)的A等級(jí)產(chǎn)品的概率為，則抽取的B,C,D三個(gè)等級(jí)

20

中甲工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有件．

【答案】34

690

【詳解】由分層抽樣原則知：從甲工廠抽取了8046件樣品，

1200

x3

設(shè)抽取甲工廠生產(chǎn)的A等級(jí)產(chǎn)品有x件，則，解得：x12，

8020

抽取的B,C,D三個(gè)等級(jí)中，甲工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有461234件.

故答案為：34.

【典例4】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）一個(gè)袋子中有3個(gè)紅球，4個(gè)白球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)

地取出2個(gè)球．

(1)求兩次取到的球顏色相同的概率．

3

(2)如果是3個(gè)紅球，n個(gè)白球，已知第二次取到紅球的概率為，求n的值．

8

3

【答案】(1)

7

(2)5

321

【詳解】（1）若取出的兩個(gè)球均為紅球，則概率為：P，

1767

432

若取出的兩個(gè)球均為白球，則概率為：P，

2767

3

所以兩次取到的球顏色相同的概率為：PPP．

3127

32n3363n3

（2）第二次取出紅球的概率為：P，即，

4n3n2n3n28(n3)(n2)8

解得：n5或n2（舍去），故n的值為5．

【變式1】（2023下·重慶·高一統(tǒng)考期末）在一個(gè)不透明的袋中有4個(gè)紅球和n個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中有放回地

8

隨機(jī)摸出2個(gè)球，已知取出的球中至少有一個(gè)紅球的概率為，則n（）

9

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

1

【詳解】由題可得取出的球中沒(méi)有紅球的概率，即兩次都摸出黑球的概率為，則

9

2

n12

2

29nn42n44n40n2.

n49

故選：B

【變式2】（2023上·浙江·高一階段練習(xí)）在一個(gè)不透明的袋中裝有一些除顏色外完全相同的紅和黑兩種顏

1

色的小球，己知袋中有紅球5個(gè)，黑球m個(gè)，從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)紅球的概率是，則m的值為．

3

【答案】10

【詳解】根據(jù)題意，

51

從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)紅球的概率是P，

5m3

所以m10.

故答案為：10

【變式3】（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)紅球和n個(gè)綠球，采用有放

4

回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球，若取出的2個(gè)球顏色不同的概率為，則n的所有可能取值

9

為．

【答案】2或8

4nn44

【詳解】由題意知，取出的2個(gè)球顏色不同的概率為，

n4n4n4n49

化簡(jiǎn)得n210n160，解得n2或8.

故答案為：2或8.

【變式4】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個(gè)，其中紅色小球1個(gè)，黃色小

球1個(gè)，藍(lán)色小球n個(gè)，從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，設(shè)取到藍(lán)色小球?yàn)槭录﨧，且事件M發(fā)生的概率是

1

.

2

(1)求n的值；

(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，若每次取到紅色小球得0分，取到黃色小球得1分，取到藍(lán)色小

球得2分，設(shè)第一次取出小球后得分為a，第二次取出小球后得分為b，記事件N為“ab2”，求事件N

發(fā)生的概率.

【答案】(1)n2

1

(2)

3

【詳解】（1）由題意，從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共有n2個(gè)結(jié)果，每個(gè)結(jié)果可能性相同，

n1

其中事件M發(fā)生有n種結(jié)果，所以PM