高一數(shù)學(xué)必修第二冊同步學(xué)與練（人教版）第03講 概率的基本性質(zhì)（解析版）

第03講10.1.4概率的基本性質(zhì)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①理解概率的基本性質(zhì)，會利用概率的基本

性質(zhì)解決簡單問題。

1.通過類比提出概率基本性質(zhì)的研究內(nèi)容和方法；

②類比函數(shù)性質(zhì)的研究內(nèi)容和方法，提出概

2歸納出概率的基本性質(zhì)，提升邏輯推理素養(yǎng)；

率基本性質(zhì)的研究內(nèi)容和方法。

③經(jīng)歷具體實例的探究過程，歸納出概率的

基本性質(zhì)，提升邏輯推理素養(yǎng)。

知識點01：概率的基本性質(zhì)（性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)5）

性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)0；

性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P()1，P()0；

性質(zhì)5：如果AB，那么P(A)P(B)，由該性質(zhì)可得，對于任意事件A，因為A，所以

0P(A)1.

知識點02：互斥事件的概率加法公式（性質(zhì)3）

性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)；

注意：只有事件A與事件B互斥，才可以使用性質(zhì)3，否則不能使用該加法公式.

12

【即學(xué)即練1】（2024上·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）已知事件A，B是互斥事件，PA，PB，則

63

PAB（）

1412

A．B．C．D．

18923

【答案】C

2

【詳解】∵PB1PB，PB，

3

1

∴PB，

3

∵事件A，B是互斥事件，

111

∴PABPAPB．

632

故選：C

知識點03：對立事件的概率（性質(zhì)4）

性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)1P(A)，P(A)1P(B)；

【即學(xué)即練2】（2024上·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）將一顆骰子連續(xù)拋擲兩次，至少出現(xiàn)一次6點向上的概率是

（）

111251

A．B．C．D．

18363636

【答案】B

1

【詳解】將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲一次，出現(xiàn)一次6點向上的概率為，

6

125

所以先后拋擲2次，沒有一次6點向上的概率為(1)2，

636

2511

所以至少出現(xiàn)一次6點向上的概率為1.

3636

故選：B.

知識點04：概率的一般加法公式（性質(zhì)6）

性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(AB)P(A)P(B)P(AB)

331

【即學(xué)即練3】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)A,B是隨機事件，且PA,PB,PAB，則

842

PAB．

1

【答案】/0.125

8

31

【詳解】因為PB，所以PB1PB，

44

3111

故PABPAPBPAB．

8428

1

故答案為：

8

題型01互斥事件與對立事件

【典例1】（2023下·廣東珠?！じ咭恍？计谀┠橙嗽谏鋼舯荣愔羞B續(xù)射擊2次，事件“2次都不命中”的對

立事件是（）

A．至多有1次命中B．2次都命中C．只有1次命中D．至少有1次命中

【答案】D

【詳解】記事件A為“2次都不命中”，事件B為“只有1次命中”，事件C“2次都命中”，

則樣本空間為ABC，

對于選項A：至多有1次命中為AB，與事件A不對立，故A錯誤；

對于選項B：2次都命中為C，與事件A不對立，故B錯誤；

對于選項C：只有1次命中B，與事件A不對立，故C錯誤；

對于選項D：至少有1次命中為BC，與事件A對立，故D正確；

故選：D.

【典例2】（2023·高一單元測試）某人射擊一次，成績記錄環(huán)數(shù)均為整數(shù)．設(shè)事件A：“中靶”；事件B：“擊

中環(huán)數(shù)大于5”；事件C：“擊中環(huán)數(shù)大于1且小于6”；事件D：“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于6”．則正確的關(guān)系

是（）

A．A與D為對立事件B．A與D為互斥事件C．B與C為對立事件D．B

與C為互斥事件

【答案】D

【詳解】當(dāng)擊中環(huán)數(shù)大于0且小于6時，A與D同時發(fā)生了，不是互斥事件，更不是對立事件，故選項AB

錯誤；

B與C顯然為互斥事件，當(dāng)擊中環(huán)數(shù)為1時，B與C都不發(fā)生，故B與C不是對立事件，故選項C錯誤；選

項D正確.

故選：D

【典例3】（多選）（2023下·河北承德·高一校聯(lián)考期末）將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝

上的點數(shù)，設(shè)事件A“點數(shù)為4”，事件B“點數(shù)為奇數(shù)”，事件C“點數(shù)小于4”，事件D=“點數(shù)大于3”，

則（）

A．A與B互斥B．A與C互斥

C．B與D對立D．C與D對立

【答案】ABD

【詳解】事件“點數(shù)為4”與“點數(shù)為奇數(shù)”不能同時發(fā)生，所以A與B互斥，A正確.

事件“點數(shù)為4”與“點數(shù)小于4”不能同時發(fā)生，所以A與C互斥，B正確.

事件“點數(shù)為奇數(shù)”的對立事件是“點數(shù)為偶數(shù)”，不是“點數(shù)大于3”，C錯誤.

事件“點數(shù)小于4”的對立事件是“點數(shù)不小于4”，即“點數(shù)大于3”，C與D對立，D正確.

故選：ABD.

【典例4】（多選）（2023下·全國·高一專題練習(xí)）一個人連續(xù)射擊2次，則下列各事件關(guān)系中，說法正確

的是（）

A．事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對立事件

B．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”互為互斥事件

C．事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”互為互斥事件

D．事件“兩次均未擊中”與事件“至少一次擊中”互為對立事件

【答案】BD

【詳解】對于A，事件“至少一次擊中”包含“一次擊中”和“兩次均擊中“，所以不是對立事件，A錯誤

對于B，事件“恰有一次擊中”是“一次擊中、一次不中”它與事件“兩次均擊中”是互斥事件，B正確

對于C，事件“第一次擊中”包含“第一次擊中、第二次擊中”和“第一次擊中、第二次不中”，所以與事件“第二

次擊中”不是互斥事件，C錯誤

對于D，事件“兩次均未擊中”的對立事件是“至少一次擊中”，D正確

故選：BD

【變式1】（2023下·江蘇鹽城·高二統(tǒng)考期末）把紅、黑、白、藍4張紙牌隨機地分給甲、乙2個人，每個

人分得2張，事件“甲分得紅牌和藍牌”與“乙分得紅牌和黑牌”是（）

A．對立事件B．不可能事件C．互斥但不對立事件D．以上均不對

【答案】C

【詳解】事件“甲分得紅牌和藍牌”與“乙分得紅牌和黑牌”，顯然兩個事件不可能同時發(fā)生，

但兩者可能同時不發(fā)生，如“甲分得紅牌和白牌”與“乙分得藍牌和黑牌”，

綜上，這兩個事件為互斥但不對立事件.

故選：C.

【變式2】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）一盒子里有黑色、紅色、綠色的球各一個，現(xiàn)從中選出一個球.

事件A:選出的球是紅色，事件B:選出的球是綠色.則事件A與事件B（）

A．是互斥事件，不是對立事件B．是對立事件，不是互斥事件

C．既是互斥事件，也是對立事件D．既不是互斥事件也不是對立事件

【答案】A

【詳解】由題意可知，事件A與B為互斥事件，但事件AB不是必然事件，

所以，事件A與事件B是互斥事件，不是對立事件.

故選：A.

【變式3】（多選）（2023下·湖北武漢·高一武漢市第十一中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）一個不透明的袋中

裝有黑、白兩種顏色的球各三個，現(xiàn)從中任意取出兩個球.設(shè)事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取

出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一個黑球”，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A．P和R是互斥事件

B．P和Q是對立事件

C．Q和R是對立事件

D．Q和R是互斥事件，但不是對立事件

【答案】ABD

【詳解】袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個，現(xiàn)從中取出兩個球，取球的方法有如下幾種:①取出的兩球

都是黑球;②取出的兩球都是白球;③取出的兩球一黑一白.

事件R包括①③兩種情況，∴事件P是事件R的子事件，故A中結(jié)論不正確;

事件Q與事件R互斥且對立，故C中結(jié)論正確，D中結(jié)論不正確;

事件P與事件Q互斥，但不對立，故B中結(jié)論不正確.

故選：ABD.

【變式4】（多選）（2023下·全國·高一專題練習(xí)）拋擲一枚骰子1次,記“向上的點數(shù)是1,2”為事件A,“向

上的點數(shù)是1,2,3”為事件B,“向上的點數(shù)是1,2,3,4”為事件C,“向上的點數(shù)是4,5,6”為事件D,則下列關(guān)于事件

A，B，C，D判斷正確的有

A．A與D是互斥事件但不是對立事件B．B與D是互斥事件也是對立事件

C．C與D是互斥事件D．B與C不是對立事件也不是互斥事件

【答案】ABD

【詳解】拋擲一枚骰子1次,記“向上的點數(shù)是1,2”為事件A,

“向上的點數(shù)是1,2,3”為事件B,

“向上的點數(shù)是1,2,3,4”為事件C,

“向上的點數(shù)是4,5,6”為事件D.

事件A與D不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，

是互斥事件但不是對立事件，故選項A正確；

事件B與D不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，

故B與D是互斥事件，也是對立事件，

故選項B正確；

事件C與D可能同時發(fā)生，故不是互斥事件，

故選項C錯誤；

事件B與C能同時發(fā)生，不是互斥事件也不是對立事件，

故選項D正確.

故選：ABD.

題型02互斥事件概率加法公式的應(yīng)用

【典例1】（2023下·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）設(shè)A,B為兩個互斥事件，且P(A)0，P(B)0，則下列各

式一定正確的是（）

A．P(AB)P(A)P(B)B．P(AB)P(A)P(B)

C．P(AB)P(A)P(B)D．P(AB)P(A)P(B)

【答案】B

【詳解】因為A,B為兩個互斥事件，P(A)0，P(B)0，

所以AB，即P(AB)0，且P(AB)P(A)P(B).

故選：B．

【典例2】（2023下·高一課時練習(xí)）袋中有紅球、黑球、黃球、綠球共12個，它們除顏色外完全相同，從

155

中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是，則得到

31212

黑球、黃球、綠球的概率分別是，，.

111

【答案】/0.25/0.25

464

【詳解】設(shè)事件A，B，C，D分別表示事件“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”，

則事件A，B，C，D兩兩互斥，

1

PA

3

5

PBPC

根據(jù)題意，得12，

5

PCPD

12

PAPBPCPD1

111

解得P(B)，P(C)，P(D)，

464

111

故答案為：，，

464

【典例3】（2023·高一課時練習(xí)）在拋擲一顆骰子（一種正方體玩具，六個面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6字樣）

的試驗中，事件A表示“不大于3的奇數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“小于4的點數(shù)出現(xiàn)”，則事件AB的

概率為．

5

【答案】

6

【詳解】依題意，拋擲一顆骰子的試驗有6個不同的結(jié)果，它們等可能，其中事件A有2個結(jié)果，事件B有

3結(jié)果，

21315

于是有P(A)，P(B)，而事件A和B是互斥的，則P(AB)P(A)P(B)，

63626

5

所以事件AB的概率為.

6

5

故答案為：

6

【變式1】（2024上·江西上饒·高一婺源縣天佑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若事件A和B是互斥事件，且PA0.1，

則PB的取值范圍是．

【答案】0,0.9

【詳解】事件A和B是互斥事件，

故P(AB)P(A)P(B)0.1P(B)

而P(AB)0,1且事件概率非負(fù)，

故PB0,0.9，

故答案為：0,0.9

【變式2】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）已知兩個事件A和B互斥，記事件B是事件B的對立事件，且

P(A)0.3，P(B)0.6，則P(AB)．

【答案】0.7.

【詳解】PB0.6得PB0.4，且事件A與B互斥，則PABPAPB0.7

故答案為：0.7

【變式3】（2023·高一課時練習(xí)）假設(shè)向三個相鄰的敵軍火庫投擲一枚炸彈，炸中第一個軍火庫的概率為0.5，

炸中其余兩個軍火庫的概率都為0.1．若只要炸中一個，另外兩個也要發(fā)生爆炸．求軍火庫發(fā)生爆炸的概率．

【答案】0.7

【詳解】設(shè)以A、B、C分別表示炸中第一、第二、第三個軍火庫這三個事件，

于是P(A)0.5，P(B)P(C)0.1．

又設(shè)D表示軍火庫爆炸這個事件，則有DABC，其中A、B、C彼此互斥．

∴P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.50.10.10.7,

即軍火庫發(fā)生爆炸的概率0.7．

題型03對立事件概率公式的應(yīng)用

【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）已知隨機事件A和B互斥，且PAB0.6，PA0.4，

則事件B的對立事件的概率為（）

A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8

【答案】D

【詳解】根據(jù)題意，因為PA0.4，事件A和B互斥，

所以PABPAPB0.6，

所以PB0.60.40.2，

所以事件B的對立事件發(fā)生的概率為10.20.8.

故選：D.

【典例2】（2023上·河北石家莊·高二河北師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）將一顆骰子連續(xù)拋擲兩次，至少出

現(xiàn)一次6點向上的概率是（）

111251

A．B．C．D．

18363636

【答案】B

1

【詳解】將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲一次，出現(xiàn)一次6點向上的概率為，

6

125

所以先后拋擲2次，沒有一次6點向上的概率為(1)2，

636

2511

所以至少出現(xiàn)一次6點向上的概率為1.

3636

故選：B.

【典例3】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）從裝有若干個紅球和白球（除顏色外其余均相同）的黑色布袋中，

2

隨機不放回地摸球兩次，每次摸出一個球.若事件“兩個球都是紅球”的概率為，“兩個球都是白球”的概率

15

1

為，則“兩個球顏色不同”的概率為（）

3

47811

A．B．C．D．

15151515

【答案】C

【詳解】設(shè)“兩個球都是紅球”為事件A，“兩個球都是白球”為事件B，“兩個球顏色不同”為事件C，

21

則PA，PB，且CAB.

153

因為A，B，C兩兩互斥，

218

所以PC1PC1PAB1PAPB1.

15315

故選：C.

12

【典例4】（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期中）若A，B互為對立事件，PA，PB，且a0，b0，

ab

則2ab的最小值是.

【答案】8

12

【詳解】因為A，B互為對立事件，則PAPB1，且a0，b0，

ab

12b4ab4a

可得2ab2ab4428，

ababab

b4a

當(dāng)且僅當(dāng)，即b2a4時，等號成立，

ab

所以2ab的最小值是8.

故答案為：8.

【變式1】（2023上·重慶·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知A，B，C，D四個開關(guān)控制著1，2，3，4

號四盞燈，只要打開開關(guān)A則1，4號燈就會亮，只要打開開關(guān)B則2，3號燈就會亮，只要打開開關(guān)C則3，

4號燈就會亮，只要打開開關(guān)D則2，4號燈就會亮.開始時，A，B，C，D四個開關(guān)均未打開，四盞燈也

都沒亮.現(xiàn)隨意打開A，B，C，D這四個開關(guān)中的兩個不同的開關(guān)，則其中2號燈燈亮的概率為（）

1115

A．B．C．D．

6326

【答案】D

【詳解】由題意，隨意打開A，B，C，D這四個開關(guān)中的兩個不同的開關(guān)，共有AB,AC,AD,BC,BD,CD種，

其中只有打開AC開關(guān)時2號燈不會亮，其余情況2號燈均會亮，

15

所以2號燈燈亮的概率為1.

66

故選：D.

【變式2】（2023上·福建莆田·高二莆田一中?？奸_學(xué)考試）已知隨機事件A和B互斥,且

PAB0.6,PB0.3,則PA等于（）

A．0.8B．0.7C．0.5D．0.2

【答案】B

【詳解】因為A和B互斥,

所以PABPAPB0.6,

又PB0.3,

所以PA0.3,

因為PAAPAPA1,

所以PA1PA10.30.7.

故選:B.

1

【變式3】（2023·高一課時練習(xí)）從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張，取到紅心的概率為，

4

則沒有取到紅心的概率為（）

113

A．B．C．D．1

244

【答案】C

13

【詳解】設(shè)：取到紅心為事件A，PA，則沒有取到紅心是A的對立事件A，PA1PA；

44

故選：C.

4

【變式4】（2023上·高一課時練習(xí)）同時拋擲兩枚骰子，5點，6點都沒有的概率為，則至少擲出一個5

9

點或6點的概率為．

5

【答案】

9

【詳解】設(shè)“既沒有5點，也沒有6點”的事件為A，“至少擲出一個5點或6點”的事件為B，

45

則A與B是對立事件．所以PB1PA1.

99

5

故答案為：

9

題型04概率的一般加法公式的應(yīng)用

【典例1】（2024上·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)?？计谀┠承Ｐc日為每年5月4日，根據(jù)氣象統(tǒng)計資料，

這一天吹南風(fēng)的概率為20%，下雨的概率為30%，吹南風(fēng)或下雨的概率為35%，則既吹南風(fēng)又下雨的概率為

（）

A．6%B．15%C．30%D．50%

【答案】B

【詳解】記吹風(fēng)為事件A，下雨為事件B,

因為P(AB)P(A)P(B)P(AB)，

所以既吹南風(fēng)又下雨的概率為：20%30%35%15%，

故選：B.

【典例2】（2023下·河南商丘·高一商丘市第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）根據(jù)以往經(jīng)驗，小張每次考試語

文成績及格的概率為0.8，數(shù)學(xué)成績及格的概率為0.9，語文和數(shù)學(xué)同時及格的概率為0.75，則至少有一科

及格的概率為.

19

【答案】0.95/

20

【詳解】設(shè)A“小張語文成績及格”，B“小張數(shù)學(xué)成績及格”，

則AB“語文和數(shù)學(xué)同時及格”，AB“語文數(shù)學(xué)兩科至少有一科及格”，

由已知得，P(A)0.8，P(B)0.9，P(AB)0.75，

代入和事件概率公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)得，

P(AB)0.80.90.750.95.

故答案為：0.95.

【典例3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）一個電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，某種情況下甲熔斷的概率為0.85，

乙熔斷概率為0.74，兩根同時熔斷的概率為0.63，問該情況下至少有一根熔斷的概率是多少？

【答案】0.96.

【詳解】設(shè)A=“甲熔絲熔斷”，B=“乙熔絲熔斷”，則有P(A)0.85，P(B)0.74，

“甲、乙兩根熔絲同時熔斷”為事件AB，有P(AB)0.63，“甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”為事件AB，

于是得P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.850.740.630.96，

所以甲、乙至少有一根熔斷的概率是0.96.

【變式1】（2024上·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）已知事件A與事件B互斥，如果PA0.4，PB0.3，

那么PAB.

3

【答案】0.3/

10

【詳解】事件A與事件B互斥，則PAB0，PABPAPBPAB0.7，

故PAB10.70.3.

故答案為：0.3.

【變式2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知PA0.5，PB0.6，PAB0.9，則PAB．

【答案】0.2

【詳解】因為PABPAPBPAB，

所以PABPAPBPAB0.50.60.90.2.

故答案為：0.2.

【變式3】（2023上·上?！じ叨虾Ｊ邢蛎髦袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在一次隨機試驗E中，定義兩個隨機事

件A，B，且P(A)0.4，P(B)0.3，PAB0.3，則P(AB)=.

2

【答案】0.4/

5

【詳解】由題意P(AB)=P(A)P(B)P(AB)0.40.30.30.4.

故答案為：0.4.

A夯實基礎(chǔ)B能力提升

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）已知隨機事件A和B互斥，且PAB0.6，PA0.4，則事

件B的對立事件的概率為（）

A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8

【答案】D

【分析】借助互斥事件的概率公式及對立事件的定義計算即可得．

【詳解】根據(jù)題意，因為PA0.4，事件A和B互斥，

所以PABPAPB0.6，

所以PB0.60.40.2，

所以事件B的對立事件發(fā)生的概率為10.20.8.

故選：D.

2．（2023上·福建莆田·高二莆田一中?？奸_學(xué)考試）已知隨機事件A和B互斥,且PAB0.6,PB0.3,

則PA等于（）

A．0.8B．0.7C．0.5D．0.2

【答案】B

【分析】因為A和B互斥,由PABPAPB0.6求出PA,再由PAAPAPA1即可得

到答案.

【詳解】因為A和B互斥,

所以PABPAPB0.6,

又PB0.3,

所以PA0.3,

因為PAAPAPA1,

所以PA1PA10.30.7.

故選:B.

3．（2023上·河北邯鄲·高二?？奸_學(xué)考試）某超市舉行有獎促銷活動，活動中設(shè)置一等獎、二等獎、幸運

獎三個獎項，其中中幸運獎的概率為0.3，中二等獎的概率為0.2，不中獎的概率為0.38，則中一等獎的概

率為（）

A．0.16B．0.22C．0.12D．0.1

【答案】C

【分析】根據(jù)事件間的關(guān)系，利用概率公式，可得答案.

【詳解】由于獎項一等獎、二等獎，幸運獎和不中獎四個事件是相互互斥的，

且構(gòu)成事件為必然事件，故中一等獎的概率為10.30.20.380.12．

故選：C.

4．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）已知P(A)0.6，P(B)0.3，如果AB，那么P(AB)（）

A．0.18B．0.42C．0.6D．0.7

【答案】C

【分析】結(jié)合事件的包含關(guān)系以及概率的知識求得答案.

【詳解】由于AB，所以P(AB)PA0.6.

故選：C.

5．（2023下·山西朔州·高一懷仁市第一中學(xué)校校聯(lián)考期末）從裝有2個紅色乒乓球和3個白色乒乓球的口

袋內(nèi)任取3個球，那么是互斥事件而不是對立事件的兩個事件是（）

A．恰有1個白色乒乓球與至少2個白色乒乓球

B．至少2個白色乒乓球與都是白色乒乓球

C．至少1個白色乒乓球與至少1個紅色乒乓球

D．恰有1個紅色乒乓球與恰有1個白色乒乓球

【答案】D

【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念逐項分析可得答案.

【詳解】恰有1個白色乒乓球與至少2個白色乒乓球是對立事件，故A錯誤；

至少2個白色乒乓球與都是白色乒乓球可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故B錯誤；

至少1個白色乒乓球與至少1個紅色乒乓球可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故C錯誤；

恰有1個紅色乒乓球與恰有1個白色乒乓球是互斥事件而不是對立事件，故D正確.

故選：D.

6．（2023上·四川瀘州·高二?？茧A段練習(xí)）已知隨機事件A和B互斥，且PAB0.8,PB0.3，則PA

等于（）

A．0.8B．0.7C．0.5D．0.2

【答案】C

【分析】利用互斥事件加法公式和對立事件概率公式計算即可.

【詳解】因為隨機事件A和B互斥，且PAB0.8,PB0.3，

所以PAPAUBPB0.80.30.5，所以PA1PA0.5.

故選：C.

7．（2023下·廣東陽江·高一廣東兩陽中學(xué)?？计谀难b有2件正品和2件次品的盒子內(nèi)任取2件產(chǎn)品，

下列選項中是互斥而不對立的兩個事件的是（）

A．“至少有1件正品”與“都是次品”B．“恰好有1件正品”與“恰好有1件次品”

C．“至少有1件次品”與“至少有1件正品”D．“都是正品”與“都是次品”

【答案】D

【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義進行判斷即可.

【詳解】從裝有2件正品和2件次品的盒子內(nèi)任取2件產(chǎn)品，可能的結(jié)果為：1正1次?2正?2次，

對于A：“至少有1件正品”與“都是次品”是對立事件，不符合；

對于B：“恰好有1件正品”與“恰好有1件次品”是同一個事件，不符合題意；

對于C：“至少有1件次品”包括1正1次?2次，“至少有1件正品”包括1次1正?2正，這兩個事件不是互

斥事件，不符合題意；

對于D：“都是正品”與“都是次品”是互斥事件而不是對立事件，符合題意；

故選：D

8．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（）

A．若A，B為兩個事件，則“A與B互斥”是“A與B相互對立”的必要不充分條件

B．若A，B為兩個事件，則PABPAPB

C．若事件A，B，C兩兩互斥，則PAPBPC1

D．若事件A，B滿足PAPB1，則A與B相互對立

【答案】A

【分析】根據(jù)互斥事件與對立事件的概念判斷A，根據(jù)和事件的概率公式判斷B，利用反例說明C、D.

【詳解】對于A，若事件A與B互斥，則A與B不一定相互對立，

但A與B相互對立，則A與B一定互斥，故“A與B互斥”是“A與B相互對立”的必要不充分條件，故A正確；

對于B，若A，B為兩個事件，則P(AB)P(A)P(B)P(AB)，故B錯誤；

對于C，若事件A，B，C兩兩互斥，則PAPBPC1不一定成立，

如：拋擲一枚均勻的骰子一次，記A“向上的點數(shù)為1”，B“向上的點數(shù)為2”，C“向上的點數(shù)為3”，

1111

事件A，B，C兩兩互斥，但P(A)P(B)P(C).故C錯誤；

6662

1

對于D，拋擲一枚均勻的骰子，所得的點數(shù)為偶數(shù)的概率是，

2

1

拋擲一枚硬幣，正面向上的概率是，滿足PAPB1，但是A與B不對立，故D錯誤.

2

故選：A.

二、多選題

9．（2023上·四川成都·高二校聯(lián)考期末）一個質(zhì)地均勻的骰子，擲一次骰子并觀察向上的點數(shù)．A表示事

件“骰子向上的點數(shù)大于等于3”，B表示事件“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，則（）

21

A．P(A)B．P(B)

33

51

C．P(AB)D．P(AB)

63

【答案】ACD

【分析】由題意，根據(jù)事件的基本運算，結(jié)合古典概型的概率公式依次計算即可求解.

【詳解】A：擲一枚骰子并觀察向上的點數(shù)，樣本空間為{1,2,3,4,5,6}，共6個樣本點，

42

則A{3,4,5,6}，共4個樣本點，所以P(A)，故A正確；

63

31

B：B{1,3,5}，共3個樣本點，所以P(B)，故B錯誤；

62

5

C：由選項AB知，AB{1,3,4,5,6}，共5個樣本點，所以P(AB)，故C正確；

6

21

D：由選項AB知，AB{3,5}，共2個樣本點，所以P(AB)=，故D正確.

63

故選：ACD

10．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）下列四個命題中，假命題有（）

A．對立事件一定是互斥事件

B．若A,B為兩個事件，則PABPAPB

C．若事件A,B,C彼此互斥，則PAPBPC1

D．若事件A,B滿足PAPB1，則A,B是對立事件

【答案】BCD

【分析】根據(jù)對立事件和互斥事件的關(guān)系可判斷A；根據(jù)事件的和事件的概率可判斷B；舉反例可判斷C，

D,

【詳解】對于A，因為對立事件一定是互斥事件，A正確；

對B，當(dāng)且僅當(dāng)A與B互斥時才有PABPAPB，

對于任意兩個事件A,B，滿足PABPAPB-PAB，B不正確；

對C，若事件A,B,C彼此互斥，不妨取A,B,C分別表示擲骰子試驗中的事件“擲出1點”，“擲出2點”，“擲

出3點”，

1

則PABC，所以C不正確；

2

對于D，例如，袋中有大小相同的紅、黃、黑、藍4個球，

從袋中任摸一個球，設(shè)事件A={摸到紅球或黃球}，事件B={摸到黃球或黑球），

11

滿足PA，PB，PA+PB1，

22

但事件A與B不互斥，也不對立，D錯誤，

故選：BCD.

三、填空題

12

11．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期中）若A，B互為對立事件，PA，PB，且a0，b0，

ab

則2ab的最小值是.

【答案】8

12

【分析】根據(jù)對立事件可得1，利用“1”的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式運算求解.

ab

12

【詳解】因為A，B互為對立事件，則PAPB1，且a0，b0，

ab

12b4ab4a

可得2ab2ab4428，

ababab

b4a

當(dāng)且僅當(dāng)，即b2a4時，等號成立，

ab

所以2ab的最小值是8.

故答案為：8.

12．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）已知事件A與事件B互斥，如果PA0.3，PB0.5，那么

PAB．

1

【答案】0.2/

5

【分析】根據(jù)互斥事件與對立事件的概率公式計算．

【詳解】由題意P(AB)1P(AB)1[P(A)P(B)]1(0.30.5)0.2．

故答案為：0.2.

四、解答題

13．（2023上·貴州畢節(jié)·高二?？计谥校榱藗鋺?zhàn)第33屆夏季奧林匹克運動會（2024法國巴黎奧運會），

中國奧運健兒刻苦訓(xùn)練，成績穩(wěn)步提升．射擊隊的某一選手射擊一次，其命中環(huán)數(shù)的概率如下表：

命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)

概率0.320.280.180.12

求該選手射擊一次：

(1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率；

(2)至少命中8環(huán)的概率；

(3)命中不足8環(huán)的概率．

【答案】(1)0.60

(2)0.78

(3)0.22

【分析】（1）根據(jù)互斥事件概率加法得結(jié)果；

（2）根據(jù)互斥事件概率加法得結(jié)果；

（3）根據(jù)對立事件概率關(guān)系求結(jié)果.

【詳解】（1）記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，

由互斥事件的加法公式得PA0.320.280.60.

（2）設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B，

由互斥事件概率的加法公式得PB0.180.280.320.78.

（3）由于事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”是事件B：“射擊一次，至少命中8環(huán)”的對立事件，

即B表示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”，根據(jù)對立事件的概率公式得

PB1PB10.780.22.

14．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）在一個不透明的盒子里裝有大小、質(zhì)地完全相同的球12個，其中5紅、4

黑、2白、1綠，從中任取1個球.記事件A為“取出的球為紅球”，事件B為“取出的球為黑球”，事件C為“取

出的球為白球”，事件D為“取出的球為綠球”.求:

(1)“取出的球為紅球或黑球”的概率;

(2)“取出的球為紅球或黑球或白球”的概率.

3

【答案】(1).

4

11

(2).

12

【分析】（1）應(yīng)用互斥事件的概率加法公式求出對應(yīng)的概率值即可.

（2）應(yīng)用互斥事件的概率加法公式求出對應(yīng)的概率值即可.

5111

【詳解】（1）由題意可知，P(A),P(B),P(C),P(D).

123612

易知“取出的球為紅球”與“取出的球為黑球”為互斥事件，

513

故“取出的球為紅球或黑球”的概率為P(AB)P(A)P(B).

1234

（2）易知，“取出的球為紅球”“取出的球為黑球”“取出的球為白球”兩兩互斥，

51111

故“取出的球為紅球或黑球或白球”的概率為P(ABC)P(A)P(B)P(C).

123612

15．（2023下·西藏拉薩·高一統(tǒng)考期末）某中學(xué)根據(jù)學(xué)生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“書法”、“詩詞”、“理學(xué)”

三個社團，據(jù)資料統(tǒng)計新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立．2015年某新生入學(xué)，假設(shè)他

1

通過考核選拔進入該校的“書法”、“詩詞”、“理學(xué)”三個社團的概率依次為m、、n，已知三個社團他都能

3

13

進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，且mn.

244

（1）求m與n的值；

（2）該校根據(jù)三個社團活動安排情況，對進入“書法”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分，對進入“詩詞”社的

同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分，對進入“理學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分．求該新同學(xué)在社團方面獲得校

本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分的概率．

111

【答案】（1）m,n；（2）.

246

【分析】（1）根據(jù)題意，假設(shè)該同學(xué)通過考核選拔進入該校的“書法”、“詩詞”、“理學(xué)”三個社團的概率依

113

次為m、、n，已知三個社團都能進入的概率為