高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)與練（人教版）第11講 直線與直線垂直（解析版）

第11講8.6.1直線與直線垂直

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、本節(jié)內(nèi)容包含異面直線所成的角的定義，以及直線

與直線垂直教材以正方體為載體，讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)空間

①借助長(zhǎng)方體，了解空間中直線與直線垂直直線的位置關(guān)系和異面直線所成的角的定義通過平移

的關(guān)系。來研究異面直線所成的角是研究空間圖形的一種基本

②.理解并掌握異面直線所成的角，會(huì)求任思路，即把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題

意兩條直線所成的角。2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，為學(xué)生后面學(xué)習(xí)空間直線、平面

的垂直關(guān)系打下基礎(chǔ)，同時(shí)更好地提升學(xué)生直觀想象和

邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

知識(shí)點(diǎn)01：異面直線所成角的概念

已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線aa，bb，我們把直線a與b所成的

角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）

知識(shí)點(diǎn)02：異面直線所成角的范圍

由異面直線所成角的定義得，異面直線所成的角是銳角或直角，即090.

注意：①異面直線所成角的大小不能是0，若兩條直線所成角是0，則這兩條直線平行，不可能異面.②

空間兩直線所成的角的范圍是090.

知識(shí)點(diǎn)3：兩條異面直線垂直的定義

如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直，

記作ab.

注意：兩條直線垂直，既包括相交垂直，也包括異面垂直.

知識(shí)點(diǎn)04：異面直線所成的角的求解步驟

①構(gòu)造：根據(jù)異面直線的定義，用平移法（常利用三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì))作出異面直線所成的

角.

②證明：證明作出的角就是要求的角

③計(jì)算：求角度（常利用三角形的有關(guān)知識(shí)）

④結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就

是所求異面直線所成的角.

【即學(xué)即練1】（2024上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知空間四邊形ABCD，連接AC和BD，且

ABACADBCCDBD1，點(diǎn)N是線段AD的中點(diǎn)，則異面直線BD和CN所成的角的余弦值

是．

【答案】3

6

【詳解】

如圖，取AB中點(diǎn)M，連接MN，CM，

∵M(jìn)，N分別為AB，AD中點(diǎn)，

11

∴MN∥BD，且MNBD，

22

∴異面直線BD和CN所成角為MNC或其補(bǔ)角，

2

213

在等邊ABC和等邊△ADC中，CMCN1，

22

∴在MNC中，由余弦定理，有

133

MN2CN2CM23

cosMNC4440，

2MNCN136

2

22

3

∴異面直線BD和CN所成的角的余弦值為.

6

3

故答案為：.

6

題型01判斷兩直線是否為異面直線

【典例1】（2024上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C

的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與C1C是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1

是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為（）

A．③④B．①②C．①③D．②④

【答案】A

【詳解】∵A、M、C1三點(diǎn)共面，且在平面ABC1D1，但C平面ABC1D1，C1AM，

∴直線AM與C1C是異面直線，故①錯(cuò)誤；

因?yàn)镸C1D1平面ABC1D1，AB平面ABC1D1，但N平面ABC1D1，BAM，

所以直線AM與BN也是異面直線，故②錯(cuò)誤；

因?yàn)锽1B1C1平面B1BCC1，BN平面B1BCC1，但M平面B1BCC1，B1BN，

所以直線BN與MB1是異面直線，故③正確；

因?yàn)锳平面A1ADD1，DD1平面A1ADD1，但M平面A1ADD1，ADD1，

所以直線AM與DD1是異面直線，故④正確．

故選：A．

【典例2】（2024上·北京海淀·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐DABC的棱AB,DC的中點(diǎn)，

則直線DE與BF的位置關(guān)系是（填“平行”，“異面”，“相交”）．

【答案】異面

【詳解】假設(shè)直線DE,BF共面，EB平面DEBF，

由AEB，則AB平面DEBF，

同理，DC平面DEBF，故AB,CD共面，

這與DABC是三棱錐矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，故直線DE,BF異面.

故答案為：異面.

【典例3】（2023上·北京海淀·高二北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在正方體

ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P為邊A1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線BP異面的是.

①DD1②AC③AD1④B1C

【答案】②

【詳解】由正方體的性質(zhì)易知當(dāng)P為A1C1的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)PB1D1，

而DD1//BB1，所以B,D,D1,B1共面，則BP、DD1在平面BDD1B1上，故①不符題意；

因?yàn)锳A1//CC1，即A,C,C1,A1共面，易知P平面ACC1A1，而B平面ACC1A1，PA1C1，PAC，

故BP與AC異面，故②符合題意；

、

當(dāng)PC1重合時(shí)，易知AB//D1C1,ABD1C1，則四邊形ABC1D1是平行四邊形，

則此時(shí)AD1//BP，故③不符合題意；

、

當(dāng)PC1重合時(shí)，顯然B1C，BP相交，故④不符合題意.

故答案為：②

【變式1】（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體ABCDABCD中，與AB平行的是（）

A．AAB．ADC．DCD．BC

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意可知：AA、AD與AB相交，DC與AB平行，BC與AB異面，

故ABD錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

【變式2】（2024上·上海長(zhǎng)寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀┰谡襟wABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M是

棱C1D1的中點(diǎn)，則直線AM與直線CC1的位置關(guān)系是．

【答案】異面

【詳解】如圖所示：

由題意在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M是棱C1D1的中點(diǎn)，則直線AM與直線CC1的位置關(guān)系是異面，理

由如下：

若直線AM與直線CC1共面，則A,M,C,C1四點(diǎn)共面，

而M,C,C1三點(diǎn)唯一確定平面CDD1C1，

但A平面CDD1C1，產(chǎn)生矛盾，故假設(shè)不成立，

綜上所述，直線AM與直線CC1的位置關(guān)系是異面.

故答案為：異面.

【變式3】（2023上·上海·高二?？计谥校┰谡襟wABCDA1B1C1D1中的12條棱所在直線中，與直線AB1是

異面直線的共有條.

【答案】6

【詳解】在正方體ABCDA1B1C1D1中的12條棱所在直線中，

與直線AB1相交的棱所在直線有AD,AB,AA1,B1A1,B1B,B1C，共6條，

其余6條棱所在直線與直線AB1是異面直線，

所以與直線AB1是異面直線的共有6條.

故答案為：6

題型02求異面直線所成的角

【典例1】（2024上·重慶·高二重慶八中?？计谀┰谡襟wABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M是棱CC1的中點(diǎn)，

則異面直線BM與AC所成角的正弦值為（）

103101510

A．B．C．D．

510510

【答案】C

【詳解】如圖所示，取DD1中點(diǎn)N，連接AN,CN,AC,MN，取AC中點(diǎn)O，連接ON，

則MN//CD//AB,MNCDAB，

所以四邊形ABMN是平行四邊形，所以BM//AN，

所以NAC或其補(bǔ)角是異面直線BM與AC所成角，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則ANCN5,AC22，

在等腰ANC中，O是AC中點(diǎn)，所以O(shè)NAC，

2

21

ANAC

所以O(shè)N2315，

sinNAC

ANAN55

15

即異面直線BM與AC所成角的正弦值為.

5

故選：C

【典例2】（2024上·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知圓柱O1O2的底面半徑和母線長(zhǎng)

π

均為1，B、A分別為上、下底面圓周上的點(diǎn)，若異面直線O1B,O2A所成的角為，則AB（）

3

A．1B．2C．1或2D．2或2

【答案】D

【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AD平面O1于點(diǎn)D，則AD是母線，

連接DB,O1O2底面，AD//O1O2,ADO1O2，

則四邊形ADO1O2是平行四邊形，O1D//O2A，

O2A與O1B所成的角就是DO1B或其補(bǔ)角．

π

當(dāng)DOB時(shí)，△DOB是等邊三角形，BD1，

131

在Rt△ABD中，ABBD2AD22；

2π3

當(dāng)DO1B時(shí)，在O1DB中，BD23，

32

在Rt△ABD中，ABBD2AD22．

綜上，AB2或2.

故選：D．

【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，AB2，ADAF1，

且二面角CABF為60，則異面直線AC與BF所成角的正弦值為．

【答案】51

10

【詳解】連接CE，AE，AEBFO，取CE中點(diǎn)M，連接OM，BM，

∵四邊形ABCD，ABEF為矩形，∴ABBC，ABBE，

平面ABC平面ABFAB，BC平面ABC，BE平面ABF，

∴CBE即為二面角CABF的平面角，∴CBE60，

3

又BCAD，BEAF，∴BCBE1，∴BCE為等邊三角形，∴BM；

2

1

∵O，M分別為AE，CE中點(diǎn)，∴OM//AC，OMAC，

2

∴MOB（或其補(bǔ)角）即為異面直線AC與BF所成角，

5

∵ACBF12225，∴MOOB，

2

553

OM2OB2BM27

∴cosMOB444，

2OMOB510

2

51

所以異面直線AC與BF所成角的正弦值為．

10

故答案為：51．

10

【變式1】（2024上·重慶·高二重慶巴蜀中學(xué)校考期末）在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA11,AD2，

則異面直線AC,A1D的夾角余弦值為（）

10426

A．B．C．D．

10536

【答案】B

【詳解】連接B1C，AB1,根據(jù)正方體ABCDA1B1C1D1,得到A1DB1C

所以異面直線AC,A1D的夾角為AC,B1C的夾角,

又ABAA11,AD2,所以ACBC15,AB12,

222

ACB1CAB15524

則cosB1CA,

2ACB1C2555

4

則異面直線AC,AD的夾角的余弦值為.

15

故選：B

【變式2】（2024上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱

ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為（）

4433

A．B．C．D．-

5555

【答案】A

【詳解】連接A1C1,BC1，

因?yàn)锳B//C1D1,ABC1D1，所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，

所以AD1//BC1，所以異面直線A1B與AD1所成角為A1BC1或其補(bǔ)角，

又因?yàn)锳A12AB2且四棱柱為底面是正方形的直四棱柱，

所以A1BBC1145,A1C1112，

222

A1BBC1A1C15524

所以cosA1BC1，

2A1BBC12555

故選：A.

【變式3】（2024上·上海徐匯·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方

形，且AB2，AA14，經(jīng)過頂點(diǎn)A和C1各作一個(gè)平面與平面CB1D1平行，前者與平面ABCD交于l1，后

者與平面ABB1A1交于l2，則異面直線l1與l2所成角的余弦值為.

【答案】10

10

【詳解】設(shè)平面CB1D1平面ABCDm，因?yàn)?/平面CB1D1，所以m//l1，

又因?yàn)槠矫鍭BCD//平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，

所以B1D1//m，B1D1//l1，

因?yàn)槠矫鍭BB1A1//平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，

同理可證CD1//l2，異面直線l1與l2所成的角即B1D1,CD1所成的CD1B1

在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且ABBC2,AA14，

22，22，

B1D12222CD1CB12425

222

CD1B1D1CB12082010

cosCD1B1，

2CD1B1D12252210

10

所以異面直線l1與l2所成的角的余弦值為.

10

10

故答案為：.

10

題型03證明異面直線垂直

【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）四面體ABCD中，對(duì)棱ADBC，E，F(xiàn)，G，H是它們所在棱的中

點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是矩形．

【答案】證明見解析

【詳解】如圖，EF，HG分別是△ABD和ACD的中位線，

1111

∴EF//AD,EFAD,HG//AD,HGAD，所以EF//HG,EFHG，

2222

∴四邊形EFGH是平行四邊形，又EH是ABC的中位線，∴EH//BC，

故FEH是異面直線AD與BC所成的角或其補(bǔ)角，∵ADBC，∴FEH90，∴EFEH，因此四邊

形EFGH是矩形．

【典例2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，

CD的中點(diǎn)，EF=2．求證：AD⊥BC．

【答案】證明見解析

【詳解】證明：如圖所示，取BD的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H．

因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，且AD=2，

所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，F(xiàn)H=1．

所以∠EHF(或其補(bǔ)角)是異面直線AD，BC所成的角．

因?yàn)镋F=2，所以EH2+FH2=EF2，

所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜邊，

所以∠EHF=90°，即AD與BC所成的角是90°，

所以AD⊥BC．

【變式1】（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，

FG2，GE5，EF3.求證：ACBD.

【答案】證明見解析

【詳解】∵點(diǎn)G，E分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴GE//BD，同理GF//AC.∴∠FGE或∠FGE的補(bǔ)角是異面

直線AC與BD所成的角．

在△EFG中，∵FG＝2，GE＝5，EF＝3，滿足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即異面直線AC與BD

所成的角是90°.

∴AC⊥BD.

【變式2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝2，

GE＝5，EF＝3.求證：AC⊥BD.

【答案】證明見解析

【詳解】∵點(diǎn)G，E分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴GE//BD，同理GF//AC.∴∠FGE或∠FGE的補(bǔ)角是異面

直線AC與BD所成的角．

在EFG中，∵FG＝2，GE＝5，EF＝3，滿足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即異面直線AC與BD所

成的△角是90°.∴AC⊥BD.

題型04異面直線公垂線問題

π

【典例1】（2023上·四川成都·高二成都七中?？茧A段練習(xí)）如圖，兩條異面直線a,b所成的角為，在直

3

線a,b上分別取點(diǎn)A,E和點(diǎn)A,F，使AAa，且AAb（AA稱為異面直線a,b的公垂線）．已知，

AE1,AF2，EF5，則公垂線AA．

【答案】22或32

π

【詳解】如圖構(gòu)造一直三棱錐，使EAHGAF，則由題有：AGAE1.

3

π

在GAF中，由余弦定理，可得GFAG2AF22AGGFcos3，

3

則EGAAEF2GF222；

2π

如圖構(gòu)造一直三棱錐，使EAHGAF，則由題有：AGAE1.

3

2π

在GAF中，由余弦定理，可得GFAG2AF22AGGFcos7，

3

則EGAAEF2GF232.

故答案為：22或32.

【典例2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）（1）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，則異面直線B1B與AD

公垂線是．

（2）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，則異面直線A1A與B1C1距離是．

（3）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，則異面直線A1B與D1C1公垂線是．

（4）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，則異面直線A1C與B1C1距離是．

22a

【答案】AB/BAaA1D1/D1A1a/

22

【詳解】解：由正方體的性質(zhì)可知，ABBB1，ABAD

AB是異面直線AD與BB1的公垂線，

因?yàn)锳A1A1B1，A1B1B1C1，所以A1B1是異面直線A1A與B1C1的公垂線，

所以異面直線A1A與B1C1的距離等于A1B1a；

A1D1D1C1，A1D1平面ABB1A1，

A1B面ABB1A1，A1D1A1B，

A1D1是異面直線A1B與D1C1的公垂線，

如圖取AD的中點(diǎn)G，B1C1的中點(diǎn)M，BC的中點(diǎn)N，A1D1的中點(diǎn)H，

連接GM交A1C于點(diǎn)O，連接GN、GH、MH、MN、OM、ON、MC、A1M，

由正方體的性質(zhì)可知O是正方體的中心，即O為MG的中點(diǎn)，且B1C1平面MNGH，

又OM平面MNGH，所以B1C1MN，

112

又A1MCM，所以MOA1C，所以MO為異面直線A1C與B1C1的公垂線，MOMGABa，

2212

2

所以異面直線A1C與B1C1距離為a；

2

2

故答案為：AB；a；A1D1；a；

2

【變式1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點(diǎn)A,E

和點(diǎn)A，F(xiàn)，使AAa，且AAb（AA稱為異面直線a，b的公垂線）．已知AEm，AFn，EFl，

則公垂線AA．

【答案】l2m2n22mncos

【詳解】解：因?yàn)楫惷嬷本€a，b所成的角為，

則EA與AF得夾角為或π，則cosEA,AFcos，

由EFEAAAAF，

2222

得EFEAAAAF2EAAF2EAAA2AFAA，

2

即l2m2AAn22mncos00，

所以AAl2m2n22mncos，

即公垂線AAl22n22ncos.mm

故答案為：l2m2n22mncos.

【變式2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M、N

分別是邊AB、CD的中點(diǎn).求證：MN為AB和CD的公垂線.

【答案】證明見解析

【詳解】設(shè)ABp，ACq，ADr，

則pqra，且p、q、r三向量?jī)蓛蓨A角均為60°，

111

MNANAMACADABqrp，

222

1121

MNABqrppqprppa2cos60a2cos60a20，

222

則MN⊥AB，同理可證MN⊥CD，

故MN為AB與CD的公垂線.

題型04根據(jù)異面直線所成角求參數(shù)

【典例1】（2024上·四川內(nèi)江·高二統(tǒng)考期末）如圖，空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC8，BD6，M，N

分別為AB，CD的中點(diǎn)，并且異面直線AC與BD所成的角為90，則MN（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】C

【詳解】取AD的中點(diǎn)P，連接PM，PN，如圖，

則BD∥PM，AC∥PN，

MPN（或其補(bǔ)角）即異面直線AC與BD所成的角，

11

MPN90，PNAC4，PMBD3，

22

MNPM2PN232425.

故選：C.

【典例2】（2023上·廣西南寧·高二南寧三中校聯(lián)考期中）如圖，由矩形ABCD與矩形ABEF構(gòu)成的二面角

3

DABE為直二面角，M為AB中點(diǎn)，若AB2,AF1,FM與BD所成角為，且cos，則AD（）

3

A．1B．2C．3D．2

【答案】D

【詳解】取EF的中點(diǎn)N，連接BN,DN,AN，如圖，

矩形ABEF中，M為AB中點(diǎn)，則BM//NF,BMNF，即四邊形BMFN是平行四邊形，

有BN//FM，因此DBN是直線FM與BD所成的角或其補(bǔ)角，

顯然ADAB,AFAB，則DAF是二面角DABE的平面角，有DAF90o，

即有ADAF，而ABAFA,AB,AF平面ABEF，于是AD平面ABEF，AN平面ABEF，

則ADAN，由AB2,AF1，得ANBN2，令A(yù)Dt，則DNt22,BDt24，

BD2BN2DN2t242(t22)1

在BDN中，由余弦定理得cosDBN，

2BDBN2t2423

解得t2，所以AD2.

故選：D

【典例3】（2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）已知四棱錐PABCD，底面ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為3，PD平

面ABCD．

(1)求證：BC平面CDP；

(2)若直線AD與BP所成的角大小為60，求DP的長(zhǎng)．

【答案】(1)證明見解析

(2)DP32．

【詳解】（1）PD平面ABCD，BC平面ABCD，

DPBC，

又底面ABCD為正方形，則BCDC

且DCDPD，DC,DP平面CDP，

BC平面CDP．

（2）BC平面CDP，

BCCP，CBP為銳角，

又AD//BC，

CBP為直線AD與BP所成的角，

CBP60，在Rt△CPB中，BC3，

CP33，

在Rt△CDP中，CP33，CD3，于是DP32．

1

【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正四面體ABCD中，AFAD,E為AB中點(diǎn)，P是棱CD

3

CP

上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)異面直線BP與EF所成角的正弦值最小時(shí)，（）

CD

5678

A．B．C．D．

6789

【答案】C

1

【詳解】如圖，作DGDA，則AFFG.

3

E為AB中點(diǎn)，EF是ABG的中位線，則EF//BG，

則PBG是異面直線BP與EF所成的角.

當(dāng)BP與BG在平面BCD里的投影重合時(shí)，PBG最小，

設(shè)AO平面BCD，易知O為等邊△BCD的重心，連接

DO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)M，作GH//AO交DO于點(diǎn)H.

11

DGDA,DHDO.

33

設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為63，則BMMC33，

MD9.

在△BCD中，O為重心，MO3,OD6.

1

又DHDO,DH2,OH4，則MH7,BHBM2MH276.

3

733

在△BPC中，設(shè)CPx.PCB,sinPBC,cosPBC，

37676

CPCPsinPBCsinPBCsinPBC

CDCBsinBPCsinBCPPBC，

sinPBC

3

7

CP767

.

CD333178

276276

故選：C.

【變式2】（多選）（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）已知E，F(xiàn)分別是三棱錐PABC的棱PA，BC

的中點(diǎn)，且PC6，AB8.若異面直線PC與AB所成角的大小為60，則線段EF的長(zhǎng)可能為（）

A．7B．13C．5D．37

【答案】BD

【詳解】

取AC中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H，

因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，BC的中點(diǎn)，PC6，AB8，

所以AB∥HF，HE∥PC，HF4，HE3，

所以異面直線PC與AB所成角與直線HF和HE所成角相等，即EHF60或120，

HE2HF2EF2916EF21

當(dāng)EHF60時(shí)，根據(jù)余弦定理得，cosEHF，解得EF13；

2HEHF242

HE2HF2EF2916EF21

當(dāng)EHF120時(shí)，根據(jù)余弦定理得，cosEHF，解得EF37.

2HEHF242

故答案為：BD.

題型05與已知直線成角的直線條數(shù)問題

【典例1】（2023上·上海奉賢·高二校聯(lián)考期中）若兩異面直線a,b所成的角為70，過空間內(nèi)一點(diǎn)P作與直

線a,b所成角均為70的直線l，則所作直線l的條數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【詳解】在空間取一點(diǎn)M，經(jīng)過點(diǎn)M分別作a//a,b//b，

設(shè)直線a,b確定平面，當(dāng)直線MP滿足它的射影MQ在a,b所成角的平分線上時(shí)，

MP與a所成的角等于MP與b所成的角，

因?yàn)橹本€a，b所成的角為70，得a,b所成銳角等于70，

所以當(dāng)MP射影MQ在a,b所成銳角的平分線上時(shí)，

MP與a,b所成角的范圍是35,90.

這種情況下，過點(diǎn)M有兩條直線與a,b所成的角都是70，

當(dāng)MP的射影MQ在a,b所成鈍角的平分線上時(shí)，

MP與a,b所成角的范圍是55,90.

這種情況下，過點(diǎn)M有兩條直線與a,b所成的角都是70，

綜上所述，過空間任意一點(diǎn)M可作與a，b所成的角都是70的直線有4條.

故選：D.

【典例2】（2024上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）異面直線a，b成80°角，點(diǎn)P是a，b外的一個(gè)定點(diǎn)，若過P點(diǎn)

有且僅有n條直線與a，b所成的角相等且等于45°，則n＝．

【答案】2

【詳解】解：如圖：

先將異面直線a，b平移到點(diǎn)P，則∠BPE＝80°，∠EPD＝100°，

而∠BPE的角平分線與a和b的所成角為40°，

而∠EPD的角平分線與a和b的所成角為50°，

因?yàn)?5°＞40°，45°＜50°，

所以直線與a，b所成角相等且等于45°有且只有兩條，

且直線在面PBE的射影為∠BPE的角平分線，

故答案為：2．

【典例3】（2023上·上?！じ叨虾＝淮蟾街行？计谀┮阎惷嬷本€a、b所成角為，過空間定點(diǎn)P與a、

b成65角的直線l共有3條，則的大小是.

【答案】50

【詳解】解：分別將直線a,b平移得到a,b，使得a,b經(jīng)過點(diǎn)P，如圖所示，

設(shè)a,b所成角的角平分線為c，過點(diǎn)P垂直于a,b所在平面的直線為d，

因?yàn)楫惷嬷本€a、b所成角為，所以直線a,b所成角為，

所以，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)P且直線l在直線a,b所在平面，垂直于直線c時(shí)，直線l與直線a,b所成角相等，為

65時(shí)，a,b成角為18026550，即50；

當(dāng)直線l在直線c,d平面內(nèi)時(shí)，若直線l繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，此時(shí)直線l與直線a,b所成角相等，且所成角從變

2

化到90，再從90變化到，此時(shí)滿足條件的直線有兩條，

2

180

所以，65，解得50.

2

所以，過空間定點(diǎn)P與a、b成65角的直線l共有3條時(shí)，50.

故答案為：50

【變式1】（2023上·安徽·高二合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知兩條異面直線a，b所成角為70，若過空間

內(nèi)一定點(diǎn)的直線l和a，b所成角均為60，則這樣的直線l有（）

A．2條B．3條C．4條D．5條

【答案】C

【詳解】如圖：

通過平移過點(diǎn)P作a∥BD，b∥CE，由題意，BPE70,EPD110,

70

而BPE的角平分線與a和b的所成角為35，

2

110

EPD的角平分線與a和b的所成角為55，

2

因?yàn)?035,6055，所以直線l和a，b所成角均為60的直線有4條，

其中直線l在平面BPE的射影為BPE的角平分線時(shí)存在2條直線滿足條件，

當(dāng)直線l在平面EPD的射影為EPD的角平分線時(shí)存在2條滿足條件，故共4條.

故選：C.

【變式2】（2023下·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）正方體中ABCDA1B1C1D1，過D1作直線l，若直線l與平面ABCD

π

中的直線所成角的最小值為，且直線l與直線BC1所成角為，則滿足條件的直線l的條數(shù)為.

64

【答案】2

【詳解】設(shè)立方體的棱長(zhǎng)為1，過D1作直線l，

若直線l與平面ABCD中的直線所成角的最小值為，

6

即l與平面ABCD所成角為，

6

DD1為軸的圓錐母線（母線與DD1成60）是直線l的運(yùn)動(dòng)軌跡，

π

連接DA，由題意得DA∥BC，直線l與直線BC所成角為，

11114

π

直線l與直線DA所成角為.

14

此時(shí)D1A為軸的圓錐母線（母線與D1A成45）是直線l的運(yùn)動(dòng)軌跡，

兩個(gè)圓錐相交得到兩條交線.

故答案為：2

【變式3】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知異面直線a,b所成角為，過空間一點(diǎn)P有且僅有2條直線與a,b

3

所成角都是，則的取值范圍是.

【答案】,

63

【詳解】將直線a,b平移交于點(diǎn)P，設(shè)平移后的直線為a,b，

過點(diǎn)P作aPb及其外角的角平分線l,l，則aPb；

123

在l方向，要使過空間一點(diǎn)P的直線，且與a,b所成角都是的直線有兩條，則；

16

在l方向，要使過空間一點(diǎn)P的直線，且與a,b所成角都是的直線不存在，則；

23

綜上所述：,.

63

故答案為：,.

63

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2012·北京·統(tǒng)考一模）若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，bc，則直線a與c（）

A．一定平行B．一定垂直

C．一定是異面直線D．一定相交

【答案】B

【分析】根據(jù)空間中直線的位置關(guān)系分析判斷.

【詳解】∵a⊥b，bc，∴a⊥c.

故選：B.

-

2．（2019上·山西朔州·高二階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D為A1B1的中點(diǎn)，

，則異面直線與所成的角為（）

ABBC2,BB11,AC22BDAC

A．30B．45C．60D．90

【答案】C

【分析】取B1C1的中點(diǎn)E，連接BE,DE，易得BDE（或其補(bǔ)角）為異面直線BD與AC所成的角，進(jìn)而求

其大小即可.

【詳解】如圖，取B1C1的中點(diǎn)E，連接BE,DE，則AC//A1C1//DE，則BDE（或其補(bǔ)角）即為異面直線BD

與AC所成的角.

由條件知：BDDEEB2，則BDE60，

故選：C.

3．（2017上·陜西西安·高一西安中學(xué)?？计谀┰谡襟wABCDA1B1C1D1中，異面直線AD1與BD所成的

角為（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求異面直線所成角，找到平行線，轉(zhuǎn)化成平面角，即可求解.

【詳解】由題意，作正方體ABCDA1B1C1D1，如下圖所示：

連接BC1,DC1，QAD1∥BC1，

∴異面直線AD1與BD即所成的角為DBC1.

由題可得DBC1為等邊三角形，DBC160.

∴異面直線AD1與BD所成的角為60°.

故選：C.

4．（2014·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖是某個(gè)正方體的平面展開圖，l1，l2是兩條側(cè)面對(duì)角線，則在該正方體

中，l1與l2

A．互相平行B．異面且互相垂直C．異面且夾角為