高一數(shù)學(xué)必修第一冊同步學(xué)與練（人教A版）第05講 函數(shù)的應(yīng)用（二）函數(shù)的零點與方程的解（解析版）

第05講4.5.1函數(shù)的零點與方程的解

課程標(biāo)準學(xué)習(xí)目標(biāo)

①了解函數(shù)的零點與方程的解的關(guān)系，

并能結(jié)合函數(shù)的圖象判定函數(shù)的零點。

②能根據(jù)函數(shù)零點存在性定理對函數(shù)零點通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求能判定函數(shù)零點的存在，同時

存在進行判定，同時能處理與函數(shù)零點問題能解決與函數(shù)零點相結(jié)合的綜合問題

相結(jié)合的求參數(shù)及綜合類的問題。

知識點01：函數(shù)零點的概念

1、函數(shù)零點的概念

對于一般函數(shù)yf(x)，我們把使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點.

幾何定義:函數(shù)yf(x)的零點就是方程f(x)0的實數(shù)解,也就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的公共點

的橫坐標(biāo).

這樣：方程f(x)0有實數(shù)解函數(shù)yf(x)有零點函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有公共點

2、已學(xué)基本初等函數(shù)的零點

b

①一次函數(shù)f(x)kxb(k0)只有一個零點；

k

k

②反比例函數(shù)f(x)(k0)沒有零點；

x

③指數(shù)函數(shù)f(x)ax（a0且a1）沒有零點；

x

④對數(shù)函數(shù)f(x)loga（a0且a1）只有一個零點1；

⑤冪函數(shù)f(x)x當(dāng)0時，有一個零點0；當(dāng)0時，無零點。

知識點02：函數(shù)零點存在定理及其應(yīng)用

1、函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)0，那么函數(shù)yf(x)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c(a,b)，使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的解.

說明：定理要求具備兩個條件:①函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的;②f(a)f(b)0.兩個條件缺一

不可.

2、函數(shù)零點的求法

①代數(shù)法：根據(jù)零點定義，求出方程f(x)0的實數(shù)解;

②數(shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質(zhì)求解

【即學(xué)即練1】（2023春·四川廣安·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)ylog3x1的零點為．

【答案】2

【詳解】令ylog3(x1)0，則x11，得x2.

故答案為：2

3、函數(shù)零點個數(shù)的判斷

①利用代數(shù)法，求出所有零點；

②數(shù)形結(jié)合，通過作圖，找出圖象與x軸交點的個數(shù)；

③數(shù)形結(jié)合，通過分離，將原函數(shù)拆分成兩個函數(shù)，找到兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)；

④函數(shù)零點唯一：函數(shù)存在零點+函數(shù)單調(diào).

知識點03：二次函數(shù)的零點問題

一元二次方程ax2bxc（0a0）的實數(shù)根也稱為函數(shù)yax2bxc（a0）的零點.

當(dāng)a0時，一元二次方程ax2bxc0的實數(shù)根、二次函數(shù)yax2bxc的零點之間的關(guān)系如下表

所示：

b24ac000

2

axbxc0bb24ac

的實數(shù)根x

1,22a方程無實數(shù)根

（其中xx）b

12xx

122a

yax2bxc

的圖象

22b函數(shù)無零點

yaxbxcbb4ac

xx1x2

的零點1,22a2a

【即學(xué)即練2】（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)f(x)x2ax3的一個零點是1，則它的另一個零點

是．

【答案】3

【詳解】由f(1)=1+a+3=0Ta=-4，所以令f(x)x24x3=0x1或x3，故另一個零點為3

故答案為：3

題型01求函數(shù)的零點

2

【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)fxlog(x2)x7x13的零點為．

【答案】4

2

【詳解】依題意有l(wèi)og(x2)x7x130，

x27x131x27x120

所以x20x2,x4.

x21x3

故答案為：4.

1x,x0

【典例2】（2023秋·遼寧鐵嶺·高一鐵嶺市清河高級中學(xué)校考期末）已知函數(shù)fx，則函

xlog2x,x0

數(shù)yfx3的零點為.

【答案】8和2

【詳解】當(dāng)x0時，令yfx31x30，解得x8；

當(dāng)x0時，則yfx3xlog2x3在0,上單調(diào)遞增，且y|x20，

故yfx3在0,內(nèi)有且僅有一個零點2；

綜上所述：函數(shù)yfx3的零點為8和2.

故答案為：8和2.

【變式1】（2023春·浙江·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)f(x)|x1|x的零點是

1

【答案】/0.5

2

【詳解】令f(x)|x1|x0，

1

則x1x，解得x，

2

1

故答案為：.

2

【變式2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）求下列函數(shù)的零點．

(1)yx2x3；

(2)yx23a1x2a22.

【答案】(1)9

(2)答案見解析

【詳解】（1）由x2x30，得x1x30，

又x0，所以x3，

即x9，所以函數(shù)yx2x3的零點為9.

22

（2）由x3a1x2a20，得xa1x2a10，

①當(dāng)a12a1，a3時，函數(shù)有唯一零點4；

②當(dāng)a12a1，即a3時，函數(shù)有兩個零點a1和2a1.

題型02函數(shù)零點個數(shù)的判斷

【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)yx2(a1)xa的零點個數(shù)為（）

A．1B．2

C．1或2D．0

【答案】C

【詳解】由yx2(a1)xa0，得(x1)(xa)0，得x1或xa，

當(dāng)a1時，函數(shù)的零點個數(shù)為1；

當(dāng)a1時，函數(shù)的零點個數(shù)為2.

所以該函數(shù)的零點個數(shù)是1或2.

故選：C

【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）方程logaxx2(0a1)的實數(shù)解的個數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

=<<

【詳解】在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)ylogax,(0a1)和yx2的圖象，

由圖象可知：兩個函數(shù)圖象只有一個交點，故方程logaxx2(0a1)的實數(shù)解的個數(shù)為1，

故選：B

1|x|

【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a，方程alogax的實根個數(shù)為．

2

【答案】2

x

11

【詳解】由a，則log1x，

222

|x|

1

則令fx，gxlog1x，

22

分別作出它們的圖象如下圖所示，

|x|

由圖可知，有兩個交點，所以方程alogax的實根個數(shù)為2．

故答案為：2．

yfxlogx

【典例4】（2023春·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)fxx，則函數(shù)1的零點個數(shù)

2

是.

【答案】2

【詳解】作出fxx與ylog1x的函數(shù)圖像如圖：

2

由圖像可知兩函數(shù)圖像有2個交點，

所以函數(shù)yfxlog1x有兩個零點.

2

故答案為：2

1

【變式1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)f(x)x的零點的個數(shù)是（）

x

A．0B．1C．2D．無數(shù)個

【答案】C

11

【詳解】令f(x)x0，則x=Tx2=1Tx=±1，所以fx的零點為1和1，故有兩個零點，

xx

故選：C

【變式2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)fxx24x3.

(1)作出函數(shù)fx的圖象；

(2)就a的取值范圍討論函數(shù)yfxa的零點的個數(shù)．

【答案】(1)作圖見解析

(2)答案見解析

【詳解】（1）先作出yx24x3的圖象，然后將其在x軸下方的部分翻折到x軸上方，原x軸上及其上

方的圖象及翻折上來的圖象便是所要作的圖象．

.

（2）由圖象易知，函數(shù)yfxa的零點的個數(shù)就是函數(shù)yfx的圖象與直線ya的交點的個

數(shù)．f222831.

當(dāng)a<0時，函數(shù)yfxa的零點的個數(shù)為0；

當(dāng)a0與a1時，函數(shù)yfxa的零點的個數(shù)為2；

當(dāng)0a1時，函數(shù)yfxa的零點的個數(shù)為4；

當(dāng)a1時，函數(shù)yfxa的零點的個數(shù)為3.

【變式3】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）若fx的值域為0,1,2，則

gxfxxfx2x至多有個零點.

【答案】4

【詳解】當(dāng)fx0時，gx2x2，

由gx0可得，x0；

當(dāng)fx1時，gxx12x1，

1

由gx0可得，x1或x；

2

當(dāng)fx2時，gx2x1x2，

由gx0可得，x1或x2.

1

綜上所述，gx的零點可能是x0或x1或x或x2.

2

所以，gx的零點至多有4個.

故答案為：4.

【變式4】（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)fx2lnx的圖象與函數(shù)gxx24x5的圖象的交點個數(shù)

為個．

【答案】2

【詳解】在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象，如圖，它們交點個數(shù)為2．

故答案為：2.

題型03判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間

x

【典例1】（2023春·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）若x0是方程2123x的解，則x0（）

A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)

【答案】C

【詳解】因為函數(shù)f(x)2x3x12在定義上單調(diào)遞增，

又f(2)2261220，f(3)2391250，

所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間是(2,3)，即x0(2,3)．

故選：C.

x+

【典例2】（2023春·天津紅橋·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)x0為方程2x8的解，若x0n,n1nN，則

n的值為.

【答案】2

xx0

【詳解】由題意可知x0是方程2x8的解，所以2x08，

x

令fx2x8，由f220,f330，所以x0(2,3)，

+

再根據(jù)x0(n,n1)(nN)，可得n2，

故答案為:2.

x

【變式1】（2023秋·重慶長壽·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)fxlog2x22π的零點所在區(qū)間是（）

A．1,0B．0,1C．1,2D．2,3

【答案】D

x

【詳解】易知函數(shù)定義域為0,，且函數(shù)fxlog2x22π單調(diào)遞增，

1

又f1log2122π<0，所以0,1上沒有零點；

2

f2log2222π52π<0，

3

f3log2322π>82π>0，由零點存在定理可知f2f30，

所以零點所在區(qū)間是2,3.

故選：D

1

【變式2】（2023春·湖南岳陽·高一湖南省岳陽縣第一中學(xué)校考期末）函數(shù)f(x)lnx的零點為x0，且

x

x0k,k1，kZ，則k的值為（）

A．1B．2C．0D．3

【答案】A

1

【詳解】解：因為f(x)lnx在0,上單調(diào)遞增，

x

12

又f11,f(2)ln2ln0，

2e

所以x01,2，

故選：A

題型04已知零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍

【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）若方程ex1m有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（）

A．0,B．0,1C．0,1D．1,

【答案】C

【詳解】令fxex1，

x

由于當(dāng)x0時，1ex10，fx1e，且fx0,1；

x

當(dāng)x0時，ex10，fxe1，且fx0,，

作出函數(shù)fx的圖象如圖所示，

則當(dāng)0m1時，函數(shù)fxex1與ym的圖象有兩個交點，即方程ex1m有兩個不同的實數(shù)根，

m的取值范圍是0,1．

故選：C．

【典例2】（2023·湖南常德·常德市一中?？寄M預(yù)測）設(shè)min{m,n}表示m，n中的較小數(shù)．若函數(shù)

f(x)min|x|1,2x2axa6至少有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A．[12,)B．(,4](12,)

C．(,4)[12,)D．(,4)

【答案】A

【詳解】由題意可得g(x)2x2axa60有解，

所以a28(a6)0，解得a4或a12，

a

1

當(dāng)a12時，必有4，解得a12；

g(1)2aa60

a

1

當(dāng)a4時，必有4，不等式組無解，

g(1)2a80

綜上所述，a12，∴a的取值范圍為[12,).

故選：A

【典例3】（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)f(x)4xx2a有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

【答案】(4,){0}

【詳解】令f(x)4xx2a=0a4xx2，

4xx2,0x4

令2，則2，

gx4xxgx4xx2

x4x,x4或x0

畫出gx的大致圖象如下：

由圖象可知：當(dāng)a4或a0時，直線ya與gx的圖象有兩個交點，符合題意，

故a的取值范圍為(4,){0}，

【典例4】（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)yf(x)(xR)是偶

函數(shù).當(dāng)x0時，f(x)x24x.

(1)求函數(shù)f(x)在xR上的解析式；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a3]上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)已知h(x)|f(x)|m，試討論h(x)的零點個數(shù)，并求對應(yīng)的m的取值范圍.

x24x,x0

【答案】

(1)f(x)2

x4x,x0

(2)a5或a2

(3)答案見解析

【詳解】（1）設(shè)x0，則x0

∴f(x)x24x

∵f(x)為偶函數(shù)

∴f(x)f(x)x24x

x24x,x0

綜上，有

f(x)2

x4x,x0

（2）由（1）作出f(x)的圖像如圖：

因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a3]上具有單調(diào)性，

由圖可得a32或a2，解得a5或a2；

故實數(shù)a的取值范圍是a5或a2.

（3）由（1）作出|f(x)|的圖像如圖：

由圖像可知：

當(dāng)m4時，h(x)有兩個零點；

當(dāng)m4時，h(x)有四個零點；

當(dāng)0m4時，h(x)有六個零點；

當(dāng)m0時，h(x)有三個零點；

當(dāng)m0時，h(x)沒有零點.

xc,x0,

【變式1】（2023·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)cR，函數(shù)f(x)x若f(x)恰有一個零點，則c的

22c,x0.

取值范圍是（）

A．(0,1)B．{0}U[1,)

11

C．(0,)D．{0}U[,)

22

【答案】D

x,x0

【詳解】畫出函數(shù)gxx的圖象如下圖所示：

2,x0

xc,x0,x,x0,

函數(shù)f(x)x可由g(x)x分段平移得到，

22c,x0.2,x0.

易知當(dāng)c=0時，函數(shù)f(x)恰有一個零點，滿足題意；

當(dāng)c0時，代表圖象往上平移，顯然沒有零點，不符合題意；

當(dāng)c0時，圖象往下平移，當(dāng)02c1時，函數(shù)有兩個零點；

1

當(dāng)2c1時，f(x)恰有一個零點，滿足題意，即c；

2

1

綜上可得c的取值范圍是0[,).

2

故選：D

2x12,0x1

1

【變式2】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)1，若關(guān)于x的方程f(x)xa

,x14

x

恰有兩個互異的實數(shù)解，則實數(shù)a的值可以是（）

5

A．0B．1C．D．2

4

【答案】BCD

【詳解】函數(shù)fx的圖象，如圖所示：

1

由題意知，直線yxa與yf(x)的圖象有2個交點．

4

19

當(dāng)直線yxa過點1,2時，a，

44

15

當(dāng)直線yxa過點1,1時，a．

44

591

結(jié)合圖象如圖可知，當(dāng)a時，直線yxa與yf(x)的圖象有2個交點，

444

如圖所示：

11

又當(dāng)直線yxa與曲線y相切在第一象限時，

4x

1

直線yxa與yf(x)的圖象也有2個交點，如圖所示：

4

11

xa，化簡可得x24ax40，由Δ(4a)2160，得a1，

x4

又由圖可知a0，所以a1，此時切點的橫坐標(biāo)為2符合.

59

綜上，實數(shù)a的取值范圍是,{1}.

44

故選：BCD．

【變式3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）若函數(shù)fx6ax22x1a0在0,2內(nèi)有且只有一個零點，則a

的取值集合是.

5

【答案】a|a

24

【詳解】

由已知得a0，f01，f224a5.

由二次函數(shù)圖象及函數(shù)零點存在定理可知，

5

該函數(shù)在0,2內(nèi)只有一個零點，只需f20，解得a.

24

5

故答案為：a|a.

24

【變式4】（2023·高一課時練習(xí)）已知fxx24xa5是定義在R上的偶函數(shù)．

(1)求a的值；

(2)畫出yfx的圖象，并指出其單調(diào)減區(qū)間；

(3)若關(guān)于x的方程fxm0有2個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．

【答案】(1)a0

(2)作圖見解析；答案見解析

(3)1,5

2

【詳解】（1）因為fxx4xa5是定義在R上的偶函數(shù)，

所以fxfx，即(x)24xa5x24xa5，

所以xaxa，

所以ax0，

因為xR，所以a0；

x24x5,x0

（）由（）得2，

21fxx4x52

x4x5,x0

列表：

x…432101234…

f(x)…521252125…

描點連線得圖象如圖所示：

由圖象可得單調(diào)減區(qū)間為(,2]和[0,2]；

（3）因為關(guān)于x的方程fxm0有2個不相等的實數(shù)根，

所以yf(x)與ym的圖象有兩個不同的交點，

由（2）中的圖可知m1或m5，

所以m1或m5，

所以實數(shù)m的取值范圍為1,5.

題型05已知零點所在區(qū)間求參數(shù)的取值范圍

2

【典例1】（2023春·河南信陽·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)f(x)log2xxm在區(qū)間2,4上存在零點，則實數(shù)m

的取值范圍是（）

A．,18B．(5,)

C．(5,18)D．18,5

【答案】D

2

【詳解】由零點存在定理可知，若函數(shù)f(x)log2xxm在區(qū)間2,4上存在零點，

顯然函數(shù)為增函數(shù)，只需滿足f(2)f(4)<0，即m5m18<0，

解得18<m<5，

所以實數(shù)m的取值范圍是18,5.

故選：D

2

【典例2】（多選）（2023秋·高一單元測試）函數(shù)f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的

x

可能取值是（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】BC

2

【詳解】因為函數(shù)y2x、y在定義域xx0上單調(diào)遞增，

x

2

所以函數(shù)fx2xa在xx0上單調(diào)遞增，

x

2

由函數(shù)fx2xa的一個零點在區(qū)間1,2內(nèi)，

x

得f1f2(22a)(41a)a3a0，

解得0<a<3,

故選：BC

【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)k為實數(shù)，函數(shù)fx2xx2k在0,1上有零點，則實數(shù)k的取值

范圍為．

【答案】1,3

【詳解】因為fx2xx2k在0,1單調(diào)遞增，且有零點，

f01k0

所以，解得1k3，

f121k0

故答案為：1,3

【變式1】（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)f(x)2ax2x1在(0,1)內(nèi)恰有一個零點，則a的取值范圍（）

A．1,B．,1C．1,1D．[0,1)

【答案】A

【詳解】當(dāng)a0時，f(x)x1只有一個零點1，不符合題意，

1

當(dāng)a0時，若18a0，即a，函數(shù)f(x)只有一個零點2，不符合題意，

8

因函數(shù)f(x)2ax2x1在(0,1)內(nèi)恰有一個零點，則f(0)f(1)0，即1(2a2)0，解得a1，

所以a的取值范圍是1,.

故選：A

【變式2】（2023春·上海青浦·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）若關(guān)于x的方程2x3a10在,1上有解，則實數(shù)a

的取值范圍是．

1

【答案】,1

3

【詳解】方程2x3a10在,1上有解，

等價于函數(shù)y2x與y3a1在,1有交點，

因為x,1，所以y2x0,2，

1

所以03a12，解得a1.

3

1

故答案為：,1

3

【變式3】（2023秋·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)fxx26x2a在區(qū)間1,4內(nèi)有零點，則實數(shù)a

的取值范圍是.

【答案】3,7

2

【詳解】由題意得：fxx26x2ax3a7為連續(xù)函數(shù)，

且在1,3上單調(diào)遞減，在3,4上單調(diào)遞增，

故f3a7，f1162aa3，f416242aa6，

f10f40

所以只需或，

f30f30

解得：3a7，

故實數(shù)a的取值范圍是3,7.

故答案為：3,7

題型06二次函數(shù)的零點問題

2

【典例1】（2023秋·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學(xué)校考期末）已知函數(shù)fxx2bxb的零點為

x1,x2，滿足1x1x21，則b的取值范圍為（）

11

A．1,B．0,

33

1

C．,10,D．,10,1

3

【答案】B

【詳解】fxx22bxb開口向上，對稱軸為xb，

Δ4b24b0

f113b0

要想滿足1x1x21，則要，

f11b0

1b1

1

解得：b0,.

3

故選：B

【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）方程x22ax5a0的一根大于1，一根小于1，則實數(shù)a的取值

范圍是.

【答案】,2

【詳解】∵方程x22ax5a0的一根大于1，另一根小于1，

令f(x)x22ax5a，

則f(1)12a5a0，

解得a2.

故答案為：,2.

【典例3】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）（1）判斷二次函數(shù)yx22x1在3,2內(nèi)是否存在零點；

（2）若二次函數(shù)ya2x22a2x4(a2)的兩個零點均為正數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

【答案】（1）存在；（2）,2

【詳解】（1）由x22x10得x12或x12，

因為3122，

所以二次函數(shù)yx22x1在3,2內(nèi)存在零點.

（2）因為二次函數(shù)ya2x22a2x4(a2)的兩個零點均為正數(shù)，

2

所以二次a2x2a2x40(a2)有兩個正實數(shù)根．設(shè)為x1,x2，

a20

2

Δ4a216a20

2a2

由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得x1x20，解得a2.

a2

4

xx0

12

a2

即實數(shù)a的取值范圍是,2.

1

【變式1】（2023·云南紅河·彌勒市一中?？寄M預(yù)測）已知關(guān)于x的方程2x2mx10，x,4存在兩

2

個不同的實根，則實數(shù)m的取值范圍為（）

1

A．2,3B．22,8

4

1

C．3,8D．22,3

4

【答案】D

11

【詳解】由題意可得，2x2mx10即m2x在x,4時有2個不同的解，

x2

1

設(shè)f(x)2x，根據(jù)雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知，

x

122

f(x)在,單調(diào)遞減，,4單調(diào)遞增，

222

1233

且f()3,f()22,f(4)，

224

11

要使m2x在x,4時有2個不同的解，

x2

則22m3，

故選:D.

【變式2】（2023·高一課時練習(xí)）若關(guān)于x的方程x22xa0在x0,3內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是

（）

A．1,3B．1,C．,3D．3,

【答案】A

【詳解】由題意ax22x在x[0,3]內(nèi)有解，ax22x(x1)21，

x=1時，amin1，x=3時，amax3，所以a[1,3]．

故選：A．

【變式3】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)f(x)x2xa2a(aR).

(1)若該函數(shù)有兩個不相等的正零點，求a的取值范圍；

(2)若該函數(shù)有兩個零點，一個大于1，另一個小于1，求a的取值范圍．

11

【答案】(1)0a或a1

22

(2)a<0或a1

1

【詳解】（1）因為二次函數(shù)f(x)x2xa2a有兩個不相等的正零點，且對稱軸x0，

2

2

Δ14aa011

所以，解得0a或a1

2.

f0aa022

（2）因為二次函數(shù)f(x)x2xa2a有兩個零點，一個大于1，另一個小于1，

所以f(1)11a2a0，得a<0或a1.

題型07函數(shù)與方程綜合

x

【典例1】（2023秋·高一單元測試）已知函數(shù)fxlog33ax，常數(shù)aR.

(1)若fx是奇函數(shù)，求a的值；

8

(2)若a，fx在區(qū)間t,t1內(nèi)有且僅有一個零點，求實數(shù)t的取值范圍.

3

【答案】(1)a0

(2)2t1

【詳解】（1）①若f0有定義，則f00，即log3(1a)0，解得a0，此時fx2x符合題意；

②若f0無定義，則1a0，故a1，fx的定義域為log3a,，不關(guān)于原點對稱，故fx不

是奇函數(shù)，不符合題意.

綜上，a0.

8888

xxxxx

（2）當(dāng)a時，fxlog33xlog333log393，

3333

x28xx1

令f(x)0，得(3)31，得3或3x3（舍），

33

所以x=1，

因為fx在區(qū)間t,t1內(nèi)有且僅有一個零點，所以t1t1，

解得2t1.

4

【典例2】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)f(x)x5(x0)

x

(1)證明：函數(shù)f(x)在0,2上單調(diào)遞減；

(2)討論關(guān)于x的方程|f(x)|k(kR)的實數(shù)解的個數(shù)．

【答案】(1)證明見解析

(2)答案見解析

【詳解】（1）任取x1,x20,2，

44x1x2x1x24

則fx1fx2x15x25，

x1x2x1x2

令x1,x20,2，且x1x2，

則x1x20，4x1x20,x1x240，

所以fx1fx20，即fx1fx2，

故函數(shù)fx在0,2上單調(diào)遞減．

（2）關(guān)于x的方程fxkkR的實數(shù)解的個數(shù)，等價于函數(shù)yfx與常函數(shù)yk的交點個數(shù)，

x1x2x1x24

由（1）可得：fx1fx2，

x1x2

令x1,x22,，且x1x2，

則x1x20，x1x24,x1x240，

所以fx1fx20，即fx1fx2，

故函數(shù)fx在2,上單調(diào)遞減，

結(jié)合（1）可得：函數(shù)fx在0,2上單調(diào)遞減，在2,上單調(diào)遞增，故fxf21，

4

令x50，且x0，整理得x25x40，解得x4或0x1，

x

故函數(shù)fx的圖像如圖所示：

可得函數(shù)yfx的圖像如圖所示：

對于函數(shù)yfx與常函數(shù)yk的交點個數(shù)，

則有：當(dāng)k0時，交點個數(shù)為0個；當(dāng)k0或k1時，交點個數(shù)為2個；

當(dāng)k1時，交點個數(shù)為3個；當(dāng)0k1時，交點個數(shù)為4個．

2x

【變式1】（2023秋·江蘇無錫·高一無錫市第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)fxa為奇函數(shù).

2x1

(1)求實數(shù)a的值；

fxlogxm

(2)若方程1在區(qū)間2,4上無解，求實數(shù)m的取值范圍.

2

1

【答案】(1)a

2

8313

(2)U

3410

2x

【詳解】（1）若函數(shù)fxa為奇函數(shù)，即fxfx0，

2x1

2x2x2x11

則aa2a2a10，解得a.

2x12x12x12x12

12x12x1111

（2）由（1）可得：fx，

22x122x122x1

1111

若fxlog1xm，則logxmlogxm，可得，

x12mxlog2x

22212212

11

構(gòu)建gxlogx，

2x122

x1x2

對x1,x22,4，且x1x2，則022,log2x1log2x2，

x1x211

即12121,log2x1log2x2，可得，

2x112x21

1111

故log2x1log2x2，即gx1gx2，

2x1122x212

∴gx在2,4上單調(diào)遞減，

13838313

由g2,g4，可得gx在2,4上的值域為,，

10343410

fxlogxm8313

故方程1無解，則實數(shù)m的取值范圍U.

23410

2

【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x0時，fxxmx，

函數(shù)fx在y軸左側(cè)的圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)fx的解析式；

(2)若關(guān)于x的方程fxa0有4個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

x22x,x0

【答案】

(1)fx2

x2x,x0

(2)1,0

【詳解】（1）由圖象知：f20，即42m0，解得：m2，當(dāng)x0時，fxx22x；

2

當(dāng)x0時，x0，fxx2xx22x，

2

fx為R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，fxfxx2x；

x22x,x0

綜上所述：；

fx2

x2x,x0

（2）fx為偶函數(shù)，\f(x)圖象關(guān)于y軸對稱，可得fx圖象如下圖所示，

fxa0有4個不相等的實數(shù)根，等價于fx與ya有4個不同的交點，

由圖象可知：1a0，即實數(shù)a的取值范圍為1,0.

A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)