2024年領(lǐng)軍高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題12函數(shù)模型及其應(yīng)用考點必練理

PAGEPAGE1考點12函數(shù)模型及其應(yīng)用1．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1L汽油行駛的里程，圖X2-14-1描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率狀況.下列敘述中正確的是()圖X2-14-1A．消耗1L汽油，乙車最多可行駛5kmB．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80km/h的速度行駛1h，消耗10L汽油D．某城市機動車最高限速80km/h.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【答案】D2．某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在兩地共銷售16輛這種品牌車，則能獲得的最大利潤是()A．10.5萬元B．11萬元C．43萬元D．43.025萬元【答案】C【解析】設(shè)在A地銷售x輛汽車，則在B地銷售(16－x)輛汽車，∴總利潤y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(21,2)))2＋0.1×eq\f(212,4)＋32.∵x∈[0,16]，且x∈N，∴當(dāng)x＝10或11時，總利潤ymax＝43(萬元)．3．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，在過濾過程中，污染物的數(shù)量p(單位：毫克/升)不斷削減，已知p與時間t(單位：小時)滿意p(t)＝p02－eq\f(t,30)，其中p0為t＝0時的污染物數(shù)量．又測得當(dāng)t∈[0,30]時，污染物數(shù)量的改變率是－10ln2，則p(60)＝()A．150毫克/升 B．300毫克/升C．150ln2毫克/升 D．300ln2毫克/升【答案】C4．24的材料設(shè)計一場地，場地為矩形，且中間用該材料加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為()A．3 B．4C．6 D．12【答案】A【解析】隔墻的長為x(0<x<6)，矩形面積為y，則y＝x×eq\f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴當(dāng)x＝3時，y最大．5．某家具的標價為132元，若降價以九折出售(即實惠10%)，仍可獲利10%(相對進貨價)，則該家具的進貨價是()A．118元B．105元C．106元D．108元【答案】D【解析】設(shè)進貨價為a元，由題意，知132×(1－10%)－a＝10%a，解得a＝108.故選D.6．某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要花費肯定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)須要更新設(shè)備的年數(shù)為()A．10B．11C．13D．21【答案】A【解析】設(shè)該企業(yè)須要更新設(shè)備的年數(shù)為x，設(shè)備年平均費用為y，則x年后的設(shè)備維護費用為2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均費用為y＝eq\f(100＋0.5x＋xx＋1,x)＝x＋eq\f(100,x)＋1.5.由基本不等式，得y＝x＋eq\f(100,x)＋1.5≥2eq\r(x·\f(100,x))＋1.5＝21.5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(100,x)，即x＝10時取等號．故選A.13．甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點動身向同一方向運動，它們的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)關(guān)于時間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下結(jié)論：①當(dāng)x>1時，甲走在最前面；②當(dāng)x>1時，乙走在最前面；③當(dāng)0<x<1時，丁走在最前面，當(dāng)x>1時，丁走在最終面；④丙不行能走在最前面，也不行能走在最終面；⑤假如它們始終運動下去，最終走在最前面的是甲．其中正確結(jié)論的序號為________．【答案】③④⑤14．個人每次取得的稿費定額或定率減除規(guī)定費用后的余額為應(yīng)納稅所得額．每次收入不超過4000元的，定額減除費用800元；每次收入在4000元以上的，定率減除20%的費用．適用20%的比例稅率，并按規(guī)定對應(yīng)納稅額減征30%，計算公式為：(1)每次收入不超過4000元的，應(yīng)納稅額＝(每次收入額－800)×20%×(1－30%)；(2)每次收入在4000元以上的，應(yīng)納稅額＝每次收入額×(1－20%)×20%×(1－30%)．已知某人出版一份書稿，共納稅280元，則這個人應(yīng)得稿費(扣稅前)為________元．【答案】2800【解析】由題可知，當(dāng)納稅280元時，代入第一個計算公式中，可得280＝(每次收入額－800)×20%×(1－30%)，此時每次收入額為2800元，因為2800<4000，所以滿意題意．而代入到其次個計算公式中，得到280＝每次收入額×(1－20%)×20%×(1－30%)，此時每次收入額為2500元，因為2500<4000，所以不滿意題意，舍去．15．某市用37輛汽車往災(zāi)區(qū)運輸一批救災(zāi)物資，假設(shè)以vkm/h的速度直達災(zāi)區(qū)，已知某市到災(zāi)區(qū)馬路途長400km，為了平安起見，兩輛汽車的間距不得小于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2km，那么這批物資全部到達災(zāi)區(qū)的最少時間是________h(車身長度不計)．【答案】12【解析】設(shè)全部物資到達災(zāi)區(qū)所需時間為th，由題意可知，t相當(dāng)于最終一輛行駛了eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2＋400))km所用的時間，因此，t＝eq\f(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2＋400,v)≥12，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(36v,400)＝eq\f(400,v)，即v＝eq\f(200,3)時取等號．故這些汽車以eq\f(200,3)km/h的速度勻速行駛時，所需時間最少，最少時間為12h.16．一艘輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費與速度v的平方成正比，且比例系數(shù)為k，除燃料費外其他費用為每小時96元．當(dāng)速度為10海里/小時時，每小時的燃料費是6元．若勻速行駛10海里，當(dāng)這艘輪船的速度為________海里/小時時，總費用最小．【答案】4017．國慶期間，某旅行社組團去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團人數(shù)在30人或30人以下，飛機票每張收費900元；若每團人數(shù)多于30人，則賜予實惠：每多1人，機票每張削減10元，直到達到規(guī)定人數(shù)75人為止．每團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元．(1)寫出飛機票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)每團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？【答案】見解析【解析】(1)設(shè)旅行團人數(shù)為x，由題，得0<x≤75(x∈N*)，飛機票價格為y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900,0＜x≤30，,900－10x－30，30＜x≤75，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900,0＜x≤30，,1200－10x,30＜x≤75.))(2)設(shè)旅行社獲利S元，則S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000,0＜x≤30，,x1200－10x－15000,30＜x≤75，))即S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000,0＜x≤30，,－10x－602＋21000,30＜x≤75.))因為S＝900x－15000在區(qū)間(0,30]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝30時，S取最大值12000元，又S＝－10(x－60)2＋21000在區(qū)間(30,75]上，當(dāng)x＝60時，取得最大值21000.故當(dāng)x＝60時，旅行社可獲得最大利潤．20．如圖X2-14-4，O，P，Q三地有直道相通，OP＝3千米，PQ＝4千米，OQ＝5千米．現(xiàn)甲、乙兩警員同時從O地動身勻速前往Q地，經(jīng)過t小時，他們之間的距離為f(t)(單位：千米)．甲的路途是OQ，速度為5千米/時，乙的路途是OPQ，速度為8千米/時．乙到達Q地后原地等待．設(shè)t＝t1時，乙到達P地，t＝t2時，乙到達Q地．(1)求t1與f(t1)的值；(2)已知警員的對講機的有效通話距離是3千米．當(dāng)t1≤t≤t2時，求f(t)的表達式，并推斷f(t)在[t1，t2]上的最大值是否超過3，說明理由．圖X2-14-4【答案】eq\f(3\r(41),8)3所以f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(25t2－42t＋18)，\f(3,8)≤t≤\f(7,8)，,5－5t，\f(7,8)<t≤1.))所以當(dāng)eq\f(3,8)≤t≤1時，f(t)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3\r(41),8)))，故f(t)的最大值不超過3.21．某校學(xué)生社團心理學(xué)探討小組在對學(xué)生上課留意力集中狀況的調(diào)查探討中，發(fā)覺其留意力指數(shù)p與聽課時間t之間的關(guān)系滿意如圖所示的曲線．當(dāng)t∈(0,14]時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng)t∈[14,40]時，曲線是函數(shù)y＝loga(t－5)＋83(a>0，且a≠1)圖象的一部分．依據(jù)專家探討，當(dāng)留意力指數(shù)p大于等于80時聽課效果最佳．(1)試求p＝f(t)的函數(shù)關(guān)系式；(2)老師在什么時段內(nèi)支配核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽課效果最佳？請說明理由．【答案】(1)p＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)t－122＋82，t∈0，14]，,logt－5＋83，t∈14，40].))(2)p＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)t－12