2025版高中數(shù)學(xué)第二講證明不等式的基本方法2.2綜合法與分析法練習(xí)含解析新人教A版選修4-5

PAGEPAGE1二綜合法與分析法基礎(chǔ)鞏固1已知a<0,-1<b<0,則()A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a答案：D2下列三個不等式:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a,其中能使1A.①② B.①③C.②③ D.①②③解析：①a<0<b?1a<答案：A3要證a2+b2-1-a2b2≤0,只需證()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-aC.aD.(a2-1)(b2-1)≥0答案：D4若實數(shù)a,b滿意0<a<b,且a+b=1,則下列四個數(shù)中最大的是()A.BC.2ab D.a答案：B5設(shè)a,b>0,A=aA.A=B B.A<BC.A>B D.大小不確定解析：用綜合法:因為(所以A2-B2>0.所以A2>B2.又因為A>0,B>0,所以A>B.答案：C6設(shè)1A.aa<ab<ba B.aa<ba<abC.ab<aa<ba D.ab<ba<aa解析：∵∴0<a<b<1.∴∴ab<aa,∵0<∴ab<aa<ba.答案：C7若a>0,b>0,則下列兩式的大小關(guān)系為:lg解析：1=lg∵a>0,b>0,∴a+1>0,b+1>0.∴[(a+1)(1+b)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.∴l(xiāng)g1+a+b2即lg答案：≥8已知a>0,b>0,且a+b=1,則1解析：因為a>0,b>0,且a+b=1,所以1=a+b≥2進(jìn)而得1ab≥2,于是得又1故1a答案：1a9(用分析法證明)已知a>6,求證:a證明：要證只需證只需證只需證(a-3)(a-6)<(a-4)(a-5),只需證a2-9a+18<a2-9a+20,只需證18<20,明顯成立,所以當(dāng)a>6時,10已知a,b,c都是正數(shù),求證:2a分析：用分析法去找證題的突破口.要證原不等式,只需證-2ab≤c-33abc,即只需證c+2ab證法一：要證2只需證a+b-2ab≤a+b+c-即-2ab≤c-移項,得c+2由a,b,c都為正數(shù),得c+2ab證法二：∵a,b,c都是正數(shù),∴c+即c+2ab≥33abc.∴a+b-2ab≤a+b+c-∴2實力提升1已知0<a<1<b,則下面不等式中肯定成立的是()A.logab+logba+2>0 B.logab+logba-2>0C.logab+logba+2≥0 D.logab+logba+2≤0解析：∵0<a<1<b,∴l(xiāng)ogab<0.∴-logab>0.∴(-logab)+1當(dāng)且僅當(dāng)0<a<1<b,且ab=1時,等號成立.∴--log即logab+1logab≤-2.∴l(xiāng)ogab+logb∴l(xiāng)ogab+logba+2≤0.答案：D2若a,b,c∈R,且ab+bc+ac=1,則下列不等式成立的是()A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3C.D解析：因為a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,將三式相加,得2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac,即a2+b2+c2≥1.又因為(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,所以(a+b+c)2≥1+2×1=3.故選B.答案：B3假如正數(shù)a,b,c,d滿意a+b=cd=4,那么()A.當(dāng)ab≤c+d,且等號成立時,a,b,c,d的取值唯一B.當(dāng)ab≤c+d,且等號成立時,a,b,c,d的取值不唯一C.當(dāng)ab≥c+d,且等號成立時,a,b,c,d的取值不唯一D.以上答案都不對答案：A4已知a,b,c為三角形的三邊且S=a2+b2+c2,P=ab+bc+ca,則()A.S≥2P B.P<S<2PC.S>P D.P≤S<2P解析：∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca,即S≥P.又三角形中|a-b|<c,∴a2+b2-2ab<c2.同理b2-2bc+c2<a2,c2-2ac+a2<b2,∴a2+b2+c2<2(ab+bc+ca),即S<2P.答案：D5若不等式1解析：原不等式可化為因為a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0.所以λ<a因為=2+b-ca-當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b-c時,等號成立,所以λ<4.故實數(shù)λ的取值范圍是(-∞,4).答案：(-∞,4)6若x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,則x+y的最小值為.

解析：由xy-(x+y)=1,得y=∵x>0,y>0,∴x>1.∴x+y=x+1+2x-1=(x-1)+2x答案：2+2★7建立一個容積為8m3,深為2m的長方體無蓋水池,假如池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元,那么水池的最低總造價為元.

解析：設(shè)水池底長為x(x>0)m,則寬為水池造價y==480+320x+4x≥480當(dāng)且僅當(dāng)x=2時,等號成立.答案：17608已知a,b是不相等的正數(shù),且a3-b3=a2-b2.求證:1<a+b<證明：∵a,b是不相等的正數(shù),且a3-b3=a2-b2,∴a2+ab+b2=a+b.∴(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=a+b.∴a+b>1.要證a+b<43,只需證3(a+b只需證3(a+b)2<4(a+b),即3(a2+2ab+b2)<4(a2+ab+b2),只需證a2-2ab+b2>0,只需證(a-b)2>0.而a,b為不相等的正數(shù),所以(a-b)2>0肯定成立.故而a+b<43成立.★9在某兩個正數(shù)x,y之間,若插入一個數(shù)a,使x,a,y成等差數(shù)列,若插入兩個數(shù)b,c,使x,b,c,y成等比數(shù)列,求證:(a+1)2≥(b+1)(c+1).證法一：由條件得2a=x+y,b2=cx要證(a+1)2≥(b+1)(c+1),只要證a+1≥(∵∴只要證2