《圓與圓的位置關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)

1/14.2直線、圓的位置關(guān)系4.2.2圓與圓的位置關(guān)系(朱海軍)一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)通過學(xué)習(xí)圓與圓的位置關(guān)系，掌握解決問題的方法――代數(shù)法、幾何法.（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.明確兩個(gè)圓之間的五種位置關(guān)系.2.能根據(jù)給定的兩個(gè)圓的方程判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系.3.兩圓相交時(shí)的公共弦方程及弦長(zhǎng)計(jì)算.（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)圓與圓的位置關(guān)系及其判斷方法.（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)1.用圓的方程解決問題.2.用幾何法和代數(shù)法判斷兩圓之間的位置關(guān)系.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)（1）讀一讀：閱讀教材，明確：圓與圓的五種位置關(guān)系——外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的幾何含義是：圓與圓的位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩圓圓心的距離d與半徑和的關(guān)系外離0個(gè)外切1個(gè)相交2個(gè)內(nèi)切1個(gè)內(nèi)含0個(gè)（2）記一記：直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法方法一：幾何方法設(shè)兩圓的圓心距，半徑，則：①當(dāng)時(shí)，圓與圓相離；②當(dāng)時(shí)，圓與圓外切；③當(dāng)時(shí)，圓與圓相交；④當(dāng)時(shí)，圓與圓內(nèi)切；⑤當(dāng)時(shí)，圓與圓內(nèi)含；步驟：①計(jì)算兩圓半徑；②計(jì)算兩圓圓心距；③根據(jù)與的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系.方法二：代數(shù)方法方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解相交；有兩組相同實(shí)數(shù)解相切（內(nèi)切或外切）；無實(shí)數(shù)解相離（外離或內(nèi)含）.2.預(yù)習(xí)自測(cè)（1）根據(jù)圖片說出圓與圓之間的位置關(guān)系.【知識(shí)點(diǎn)】圓與圓位置關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】根據(jù)圖像和定義直接得出結(jié)果【思路點(diǎn)撥】看兩圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】（圖一至圖六依次為）外離、內(nèi)含、內(nèi)含、外切、內(nèi)切、相交.（2）判斷下列兩圓的位置關(guān)系與.【知識(shí)點(diǎn)】圓與圓位置關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】圓圓心距離為，所以兩圓外切.【思路點(diǎn)撥】看圓心距和半徑間的關(guān)系【答案】外切.(二)課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）直線與圓的位置關(guān)系：相離、相交、相切；（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法：根據(jù)圓心到直線的距離；根據(jù)直線的方程和圓的方程組成方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；（3）與圓相切的直線方程的計(jì)算方法.2.問題探究探究一圓與圓的位置關(guān)系★●活動(dòng)①明確概念我們知道根據(jù)圓心到直線距離的長(zhǎng)度與圓半徑長(zhǎng)度的比較之后，明確了直線與圓有三種位置關(guān)系，分別是：相離、相切和相交.那么圓與圓之間也同樣有這樣的關(guān)系，我們通過兩個(gè)圓半徑之間與兩圓圓心之間距離的長(zhǎng)度還有公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)比較來判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系：當(dāng)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0時(shí)，若，則兩圓外離，若，則兩圓內(nèi)含；當(dāng)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1時(shí)，若，則兩圓外切，若，則兩圓內(nèi)切；當(dāng)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2時(shí)，，則兩圓相交.【例題】【知識(shí)點(diǎn)】圓與圓位置關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】根據(jù)圖像和定義直接得出結(jié)果【思路點(diǎn)撥】看兩圓圓心距和兩半徑的關(guān)系【答案】（圖一至圖五依次為）外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.【設(shè)計(jì)意圖】解決數(shù)學(xué)問題，體會(huì)概念與數(shù)形結(jié)合方法.●活動(dòng)②給定方程，判斷位置關(guān)系當(dāng)我們給定兩圓的方程，有幾種判別兩圓位置關(guān)系的方法呢？（搶答）首先是代數(shù)法：設(shè)兩個(gè)圓的方程組成的方程組為如果方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解?兩圓相交；有兩組相同的實(shí)數(shù)解?兩圓外切或內(nèi)切；無實(shí)數(shù)解?兩圓相離或內(nèi)含.其次是幾何法：設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2，半徑為r1、r2(r1≠r2)，則O1O2＞r1＋r2?相離；O1O2＝r1＋r2?外切；|r1－r2|＜O1O2＜r1＋r2?相交；O1O2＝|r1－r2|?內(nèi)切；O1O2＜|r1－r2|?內(nèi)含.看下面的例題判斷兩圓與的位置.【知識(shí)點(diǎn)】圓與圓位置關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合、方程思想【解題過程】第一個(gè)圓的方程可以改寫為，第二個(gè)圓的方程可以改寫為，兩圓圓心的的距離為半徑和為，半徑差為，故兩圓相交.【思路點(diǎn)撥】看兩圓圓心距和兩半徑的關(guān)系【答案】相交.【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)概念理解和計(jì)算方法的運(yùn)用，加深對(duì)圓與圓位置關(guān)系的理解.探究二兩圓相交時(shí)的公共弦方程及弦長(zhǎng)計(jì)算●活動(dòng)①根據(jù)圖像判斷公切線的條數(shù)在直線與圓的位置關(guān)系一節(jié)中我們探究了在圓內(nèi)、圓上、圓外一點(diǎn)做圓的切線的問題，發(fā)現(xiàn)在圓內(nèi)沒有切線、在圓上有一條切線、在圓外有兩條切線.同理我們可以探究?jī)蓤A的位置關(guān)系，再以此判斷兩圓的公切線的條數(shù).那么大家可以總結(jié)出來嗎？（搶答）總結(jié)公切線條數(shù)如下：若兩圓外離，兩圓有四條公切線；相交，兩圓有兩條公切線；若兩圓外切，兩圓有三條公切線；若兩圓內(nèi)切，兩圓有一條公切線；若兩圓內(nèi)含，兩圓沒有公切線.●活動(dòng)②給定兩圓的方程，判斷公切線的條數(shù)我們想要判定公切線的條數(shù)首先需要我們判定兩圓位置關(guān)系.【例題】判斷兩圓與的公切線條數(shù).【知識(shí)點(diǎn)】圓與圓位置關(guān)系、公切線【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】，，則兩圓相交，所以有2條公切線【思路點(diǎn)撥】?jī)蓤A的位置關(guān)系是相交【答案】2●活動(dòng)③過兩圓交點(diǎn)的圓系方程的應(yīng)用當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)所在直線就是一條公共弦，那么這條弦的方程該如何計(jì)算呢？（舉手回答）法一：聯(lián)立兩圓方程求出兩圓交點(diǎn)，并用兩點(diǎn)式求出直線方程.法二：兩圓相交，則兩圓相減的方程為公共弦方程.例1圓與圓相交于兩點(diǎn)，求直線的方程.【知識(shí)點(diǎn)】圓與圓位置關(guān)系、公共弦問題【數(shù)學(xué)思想】方程思想【解題過程】?jī)蓤A的公共弦方程就是兩式相減的直線方程，可得【思路點(diǎn)撥】?jī)蓤A方程相減得出一條直線【答案】；【同類訓(xùn)練】求以圓：和圓：公共弦為直徑的圓的方程.【知識(shí)點(diǎn)】圓與圓位置關(guān)系、公共弦問題【數(shù)學(xué)思想】方程思想【解題過程】解法一：相減得公共弦所在直線方程，再由聯(lián)立得兩交點(diǎn)坐標(biāo)、.∵所求圓以為直徑，∴圓心是的中心點(diǎn)，圓的半徑為.于是圓的方程.解法二：（使用圓系方程求解：）設(shè)所求圓，得圓心，∵圓心在公共弦所在直線上，∴，解得.故所求圓的方程即.【思路點(diǎn)撥】圓心在公共弦上【答案】探究三兩圓位置關(guān)系中的參數(shù)問題●活動(dòng)①已知兩圓位置關(guān)系，求參數(shù)范圍同直線與圓位置關(guān)系一樣，我們?cè)趫A與圓位置關(guān)系的題目中同樣涉及到參數(shù)的求解問題，接下來就根據(jù)這一道例題來掌握這一類問題中使用的代數(shù)思想.例2與圓相交，求實(shí)數(shù)m的范圍.【知識(shí)點(diǎn)】圓與圓位置關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合、方程不等式【解題過程】圓改寫為，則兩圓圓心距離為5，使得兩圓相交，則，最終解出.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)定義即可【答案】【同類訓(xùn)練】已知圓，圓，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)圓C1與圓C2外切；(2)圓C1與圓C2內(nèi)含？【知識(shí)點(diǎn)】圓與圓位置關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合、方程不等式【解題過程】對(duì)于圓C1與圓C2的方程，經(jīng)配方后；.(1)如果C1與C2外切，則有,，，解得.(2)如果C1與C2內(nèi)含，則有， ，，解得，∴當(dāng)時(shí)，圓C1與圓C2外切；當(dāng)時(shí)，圓C1與圓C2內(nèi)含.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)定義建立不等式【答案】；3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理（1）兩個(gè)圓的位置關(guān)系一共有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.（2）給定兩圓方程來判斷兩個(gè)圓之間的位置關(guān)系可以使用代數(shù)方法和幾何方法.（3）兩圓相交時(shí)公共弦所在直線和弦長(zhǎng)的計(jì)算以及該弦的圓系方程.重難點(diǎn)歸納（1）圓與圓的位置關(guān)系及其判斷方法.（2）圓系方程解決問題.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.兩個(gè)大小不等的圓，其位置關(guān)系有幾種？分別是什么？【知識(shí)點(diǎn)】考察幾種圓與圓位置關(guān)系的定義【數(shù)學(xué)思想】歸類總結(jié)【解題過程】直接根據(jù)定義回答【思路點(diǎn)撥】根據(jù)定義即可【答案】五種，內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離2.圓與圓的位置關(guān)系為__________.【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓤A方程判斷兩圓位置【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】∵兩圓的圓心距為，又∵，∴兩圓相交【思路點(diǎn)撥】定義【答案】相交3.已知圓和圓，試判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系.【知識(shí)點(diǎn)】已知兩圓方程判斷兩圓位置【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】圓心距：【思路點(diǎn)撥】定義解題【答案】相交4.若圓與圓相交，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)】已知位置關(guān)系，求參數(shù)范圍，不等式【數(shù)學(xué)思想】不等式方程思想【解題過程】，則因?yàn)閮蓤A相交，所以.【思路點(diǎn)撥】使用相交時(shí)圓心距離與兩圓半徑之間的關(guān)系來求解【答案】. 5.判斷兩圓與的位置關(guān)系，若相交，請(qǐng)求出其公共弦長(zhǎng).【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓤A位置關(guān)系，弦長(zhǎng)【數(shù)學(xué)思想】方程思想【解題過程】把兩圓改寫成,所以兩圓相交，兩圓相減可得直線方程為，【思路點(diǎn)撥】定義解題【答案】相交，.6.兩圓相交于A,B兩點(diǎn)，則直線AB的方程是.【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓤A相交時(shí)求公共弦的方程【數(shù)學(xué)思想】方程思想【解題過程】【思路點(diǎn)撥】?jī)蓤A方程相減即可【答案】.能力型師生共研7.已知，則兩圓與的位置關(guān)系是.【知識(shí)點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系判別【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】?jī)蓤A心距離為，與兩圓半徑和與兩圓半徑差比較【思路點(diǎn)撥】定義解題【答案】相交8.已知圓與圓相切，則的值為_________.【知識(shí)點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】方程思想.、分類討論【解題過程】圓改寫成，，相切可得或者解得.【思路點(diǎn)撥】定義解題，得出方程【答案】探究型多維突破9.求過圓和圓的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程.【知識(shí)點(diǎn)】過兩圓交點(diǎn)的圓系問題【數(shù)學(xué)思想】方程思想【解題過程】圓方程可設(shè)為，求出圓心，帶入直線可得，再代入所設(shè)方程可得圓的方程為【思路點(diǎn)撥】圓系【答案】10.已知圓與圓，則=時(shí)，兩圓相切.【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓤A位置【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想【解題過程】?jī)蓤A改成，,若外切則，解得【思路點(diǎn)撥】?jī)蓤A相切分為兩種：內(nèi)切和外切【答案】自助餐1.已知圓，圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng).【知識(shí)點(diǎn)】相交兩圓的公共弦問題【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】?jī)蓤A相減【思路點(diǎn)撥】結(jié)論解題【答案】；.2.已知圓.若圓Q與圓C關(guān)于直線對(duì)稱，求圓Q的方程；【知識(shí)點(diǎn)】圓與圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】(1)將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，圓心，半徑，圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，圓Q半徑，∴圓Q的方程為.【思路點(diǎn)撥】圓關(guān)于直線對(duì)稱還是圓【答案】；3.已知點(diǎn)，圓：，過P作圓D，使C與D相切，并且使D的圓心坐標(biāo)是正整數(shù)，求圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程.【知識(shí)點(diǎn)】位置關(guān)系、圓的方程【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想【解題過程】點(diǎn)P在圓C內(nèi)部，所以圓D與圓C內(nèi)切，設(shè)圓D，由點(diǎn)在圓上和兩圓內(nèi)切得到，，討論后只有滿足，圓D方程為或.【思路點(diǎn)撥】在圓與圓的位置關(guān)系中有內(nèi)切和外切兩種【答案】或.4.圓經(jīng)過直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，并且面積最小，求此圓的方程.【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓤A位置關(guān)系、圓系方程【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】抓住直線即為直徑【思路點(diǎn)撥】通過圓系方程可知，該直徑是公共弦【答案】5.已知圓：和圓：，則當(dāng)它們圓心之間的距離最短時(shí)，兩圓的位置關(guān)系如何?【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓤A位置關(guān)系、最值【數(shù)學(xué)思想】函數(shù)思想【解題過程】圓的方程可以改寫為，圓改寫為兩圓圓心距離最短時(shí)，，此時(shí)【思路點(diǎn)撥】?jī)蓤A距離最短不僅大于0而且小于2.【答案】?jī)蓤A的位置關(guān)系為相交.6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓和圓.(1)若直線l過點(diǎn)，且被圓C1截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程；(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合、方程思想【解題過程】(1)由于直線與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在設(shè)直線l的方程為，圓C1的圓心到直線l的距離為