2009年陜西高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

PAGEPAGE52009年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）（2009?陜西）設(shè)不等式x2﹣x≤0的解集為M，函數(shù)f（x）=ln（1﹣|x|）的定義域為N，則M∩N為（）A．[0，1） B．（0，1） C．[0，1] D．（﹣1，0]2．（5分）（2009?陜西）已知z是純虛數(shù)，是實數(shù)，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i3．（5分）（2009?陜西）函數(shù)的反函數(shù)為（）A． B．C． D．4．（5分）（2009?陜西）過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2﹣4y=0所截得的弦長為（）A． B．2 C． D．25．（5分）（2009?陜西）若3sinα+cosα=0，則的值為（）A． B． C． D．﹣26．（5分）（2009?陜西）若（1﹣2x）2009=a0+a1x+…+a2009x2009（x∈R），則的值為（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣27．（5分）（2009?陜西）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（5分）（2009?陜西）在△ABC中，M是BC的中點，AM=1，點P在AM上且滿足學(xué)，則等于（）A． B． C． D．9．（5分）（2009?陜西）從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為（）A．300 B．216 C．180 D．16210．（5分）（2009?陜西）若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為（）A． B． C． D．11．（5分）（2009?陜西）若x，y滿足約束條件，目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣1，2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，0] D．（﹣2，4）12．（5分）（2009?陜西）定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：對任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0．則當(dāng)n∈N*時，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1） B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1） D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）（2009?陜西）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6=S3=12，則=．14．（4分）（2009?陜西）某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有人．15．（4分）（2009?陜西）如圖球O的半徑為2，圓O1是一小圓，，A、B是圓O1上兩點，若A，B兩點間的球面距離為，則∠AO1B=．16．（4分）（2009?陜西）設(shè)曲線y=xn+1（n∈N*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn，則x1?x2?…?xn的值為．三、解答題（共6小題，滿分74分）17．（12分）（2009?陜西）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）當(dāng)，求f（x）的值域．18．（12分）（2009?陜西）如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．（1）證明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．19．（12分）（2009?陜西）某食品企業(yè)一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)用ξ表示，椐統(tǒng)計，隨機變量ξ的概率分布如下：ξ0123p0.10.32aa（Ⅰ）求a的值和ξ的數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）假設(shè)一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率．20．（12分）（2009?陜西）已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．21．（12分）（2009?陜西）已知雙曲線C的方程為=1（a＞0，b＞0），離心率，頂點到漸近線的距離為．（Ⅰ）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求△AOB面積的取值范圍．22．（14分）（2009?陜西）已知數(shù)列{xn}滿足x1=，xn+1=，n∈N*；（1）猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）證明：．一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）（2009?陜西）設(shè)不等式x2﹣x≤0的解集為M，函數(shù)f（x）=ln（1﹣|x|）的定義域為N，則M∩N為（）A．[0，1） B．（0，1） C．[0，1] D．（﹣1，0]【考點】函數(shù)的定義域及其求法；元素與集合關(guān)系的判斷．【專題】計算題．【分析】先求出不等式的解集和函數(shù)的定義域，然后再求兩個集合的交集．【解答】解：不等式x2﹣x≤0轉(zhuǎn)化為x（x﹣1）≤0解得其解集是{x|0≤x≤1}，而函數(shù)f（x）=ln（1﹣|x|）有意義則需：1﹣|x|＞0解得：﹣1＜x＜1所以其定義域為{﹣1＜x＜1}，所以M∩N=[0，1），故選A【點評】本題主要考查一元二次不等式的解法和絕對值不等式的解法及集合的運算．2．（5分）（2009?陜西）已知z是純虛數(shù)，是實數(shù)，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i【考點】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】計算題．【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)z，代入，它的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡為a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由題意得z=ai．（a∈R且a≠0）．∴==，則a+2=0，∴a=﹣2．有z=﹣2i，故選D【點評】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．3．（5分）（2009?陜西）函數(shù)的反函數(shù)為（）A． B．C． D．【考點】反函數(shù)．【專題】應(yīng)用題．【分析】從條件中函數(shù)式數(shù)反解出x，再將x，y互換即得對數(shù)函數(shù)的函數(shù)，再依據(jù)互為反函數(shù)間的定義域與值域的關(guān)系求得反函數(shù)的定義域即可．【解答】解：，逐一驗證，知B正確．故選B．【點評】求反函數(shù)，一般應(yīng)分以下步驟：（1）由已知解析式y(tǒng)=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交換x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函數(shù)的定義域（一般可通過求原函數(shù)的值域的方法求反函數(shù)的定義域）．4．（5分）（2009?陜西）過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2﹣4y=0所截得的弦長為（）A． B．2 C． D．2【考點】直線的傾斜角；直線和圓的方程的應(yīng)用．【專題】計算題．【分析】本題考查的知識點是直線與圓方程的應(yīng)用，由已知圓x2+y2﹣4y=0，我們可以將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，求出圓心坐標(biāo)和半徑，又直線由過原點且傾斜角為60°，得到直線的方程，再結(jié)合半徑、半弦長、弦心距滿足勾股定理，即可求解．【解答】解：將圓x2+y2﹣4y=0的方程可以轉(zhuǎn)化為：x2+（y﹣2）2=4，即圓的圓心為A（0，2），半徑為R=2，∴A到直線ON的距離，即弦心距為1，∴ON=，∴弦長2，故選D．【點評】要求圓到割線的距離，即弦心距，我們最常用的性質(zhì)是：半徑、半弦長（BE）、弦心距（OE）構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，求出半徑和半弦長，代入即可求解．5．（5分）（2009?陜西）若3sinα+cosα=0，則的值為（）A． B． C． D．﹣2【考點】二倍角的余弦；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用．【專題】計算題．【分析】首先考慮由3sinα+cosα=0求的值，可以聯(lián)想到解sinα，cosα的值，在根據(jù)半角公式代入直接求解，即得到答案．【解答】解析：由3sinα+cosα=0?cosα≠0且tanα=﹣所以故選A．【點評】此題主要考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中要注重三角函數(shù)一系列性質(zhì)的記憶和理解，在應(yīng)用中非常廣泛．6．（5分）（2009?陜西）若（1﹣2x）2009=a0+a1x+…+a2009x2009（x∈R），則的值為（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【考點】二項式定理的應(yīng)用．【專題】計算題；壓軸題．【分析】通過給x賦值，0得到兩等式，兩式相減即得．【解答】解：令x=得0=令x=0得1=a0兩式相減得=﹣1故選項為C【點評】本題考查賦值法是求展開式的系數(shù)和問題的重要方法．7．（5分）（2009?陜西）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】橢圓的應(yīng)用．【專題】常規(guī)題型．【分析】將方程mx2+ny2=1轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)橢圓的定義判斷．【解答】解：將方程mx2+ny2=1轉(zhuǎn)化為，根據(jù)橢圓的定義，要使焦點在y軸上必須滿足，且，即m＞n＞0反之，當(dāng)m＞n＞0，可得出＞0，此時方程對應(yīng)的軌跡是橢圓綜上證之，”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的充要條件故選C．【點評】本題考查橢圓的定義，難度不大，解題認(rèn)真推導(dǎo)．8．（5分）（2009?陜西）在△ABC中，M是BC的中點，AM=1，點P在AM上且滿足學(xué)，則等于（）A． B． C． D．【考點】向量的共線定理；平面向量數(shù)量積的運算．【專題】計算題．【分析】由M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足可得：P是三角形ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵M(jìn)是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴==﹣又∵AM=1∴=∴=﹣故選A【點評】判斷P點是否是三角形的重心有如下幾種辦法：①定義：三條中線的交點．②性質(zhì)：或取得最小值③坐標(biāo)法：P點坐標(biāo)是三個頂點坐標(biāo)的平均數(shù)．9．（5分）（2009?陜西）從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為（）A．300 B．216 C．180 D．162【考點】排列、組合的實際應(yīng)用．【專題】計算題．【分析】本題是一個分類計數(shù)原理，從1，2，3，4，5中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；取0此時2和4只能取一個，0不可能排在首位，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為C32C21[A44﹣A33]，根據(jù)加法原理得到結(jié)果．【解答】解：由題意知，本題是一個分類計數(shù)原理，第一類：從1，2，3，4，5中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為C32A44=72第二類：取0，此時2和4只能取一個，0不能排在首位，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為C32C21[A44﹣A33]=108∴組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為108+72=180故選C．【點評】本題考查分類計數(shù)問題，是一個排列組合的實際應(yīng)用，本題是一個數(shù)字問題，在解題時，0是一個比較特殊的數(shù)字，它是偶數(shù)還不能排在首位，注意分類的應(yīng)用．10．（5分）（2009?陜西）若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為（）A． B． C． D．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計算題；壓軸題．【分析】由題意可知，凸多面體為八面體，八面體體積是兩個底面邊長為1，高為的四棱錐，求出棱錐的體積，即可求出八面體的體積．【解答】解：所求八面體體積是兩個底面邊長為1，高為的四棱錐的體積和，一個四棱錐體積V1=×1×=，故八面體體積V=2V1=．故選B．【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查棱錐的體積，正方體的內(nèi)接多面體，體積的求法常用轉(zhuǎn)化思想，變?yōu)橐浊蟮膸缀误w的體積，考查計算能力．11．（5分）（2009?陜西）若x，y滿足約束條件，目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣1，2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，0] D．（﹣2，4）【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】常規(guī)題型；壓軸題．【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=ax+2y，再利用z的幾何意義求最值，只需利用直線之間的斜率間的關(guān)系，求出何時直線z=ax+2y過可行域內(nèi)的點（1，0）處取得最小值，從而得到a的取值范圍即可．【解答】解：可行域為△ABC，如圖，當(dāng)a=0時，顯然成立．當(dāng)a＞0時，直線ax+2y﹣z=0的斜率k=﹣＞kAC=﹣1，a＜2．當(dāng)a＜0時，k=﹣＜kAB=2a＞﹣4．綜合得﹣4＜a＜2，故選B．【點評】借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．線性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線法確定．12．（5分）（2009?陜西）定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：對任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0．則當(dāng)n∈N*時，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1） B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1） D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】壓軸題；探究型．【分析】由“x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0”可等有“x2＞x1時，f（x2）＞f（x1）”，符合增函數(shù)的定義，所以f（x）在（﹣∞，0]為增函數(shù)，再由f（x）為偶函數(shù)，則知f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，由n+1＞n＞n﹣1＞0，可得結(jié)論．【解答】解：x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0∴x2＞x1時，f（x2）＞f（x1）∴f（x）在（﹣∞，0]為增函數(shù)∵f（x）為偶函數(shù)∴f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)而n+1＞n＞n﹣1＞0，∴f（n+1）＜f（n）＜f（n﹣1）∴f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）故選C．【點評】本題主要考查單調(diào)性定義的變形與應(yīng)用，還考查了奇偶性在對稱區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)論是：偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)相反，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）（2009?陜西）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6=S3=12，則=1．【考點】等差數(shù)列的前n項和；極限及其運算．【專題】計算題．【分析】先用數(shù)列的通項公式表示出a6和S3，進(jìn)而求得a1和d，根據(jù)等差數(shù)列求和公式求得Sn，代入到答案可得．【解答】解：依題意可知，解得a1=2，d=2∴Sn=n（n+1）∴=∴==1故答案為1【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項的和．屬基礎(chǔ)題．14．（4分）（2009?陜西）某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人．【考點】Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算．【專題】集合．【分析】畫出表示參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組集合的Venn圖，結(jié)合圖形進(jìn)行分析求解即可．【解答】解：由條件知，每名同學(xué)至多參加兩個小組，故不可能出現(xiàn)一名同學(xué)同時參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)構(gòu)成的集合分別為A，B，C，則card（A∩B∩C）=0，card（A∩B）=6，card（B∩C）=4，由公式card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（A∩C）﹣card（B∩C）知36=26+15+13﹣6﹣4﹣card（A∩C）故card（A∩C）=8即同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人．故答案為：8．【點評】本小題主要考查Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算、Venn圖的應(yīng)用、集合中元素的個數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．15．（4分）（2009?陜西）如圖球O的半徑為2，圓O1是一小圓，，A、B是圓O1上兩點，若A，B兩點間的球面距離為，則∠AO1B=．【考點】球面距離及相關(guān)計算；球面的三角公式．【專題】計算題；壓軸題．【分析】由題意知應(yīng)先求出AB的長度，在直角三角形AOB中由余弦定理可得AB=2，由此知三角形AO1B的三邊長，由此可以求出∠AO1B的值．【解答】解：由題設(shè)知，OA=OB=2在圓O1中有，又A，B兩點間的球面距離為，由余弦定理，得：AB=2在三角形AO1B中由勾股定理可得：∠AO1B=故答案為．【點評】本題的考點是球面距離及相關(guān)計算，其考查背景是球內(nèi)一小圓上兩點的球面距，對空間想象能力要求較高，此類題是一個基本題型，屬于基礎(chǔ)題．16．（4分）（2009?陜西）設(shè)曲線y=xn+1（n∈N*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn，則x1?x2?…?xn的值為．【考點】歸納推理；簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；直線的點斜式方程．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】本題考查的主要知識點是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，由曲線y=xn+1（n∈N*），求導(dǎo)后，不難得到曲線y=xn+1（n∈N*）在點（1，1）處的切線方程，及與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn，分析其特點，易得x1?x2?…?xn的值．【解答】解：對y=xn+1（n∈N*）求導(dǎo)得y′=（n+1）xn，令x=1得在點（1，1）處的切線的斜率k=n+1，在點（1，1）處的切線方程為y﹣1=k（xn﹣1）=（n+1）（xn﹣1），不妨設(shè)y=0，xn=則x1?x2?…?xn=×××…××=．故答案為：【點評】當(dāng)題目中遇到求曲線C在點A（m，n）點的切線方程時，其處理步驟為：①判斷A點是否在C上②求出C對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)③求出過A點的切線的斜率④代入點斜式方程，求出直線的方程．三、解答題（共6小題，滿分74分）17．（12分）（2009?陜西）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）當(dāng)，求f（x）的值域．【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；正弦函數(shù)的定義域和值域．【專題】計算題．【分析】（1）根據(jù)最低點M可求得A；由x軸上相鄰的兩個交點之間的距離可求得ω；進(jìn)而把點M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函數(shù)的解析式．（2）根據(jù)x的范圍進(jìn)而可確定當(dāng)?shù)姆秶鶕?jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的最大值和最小值．確定函數(shù)的值域．【解答】解：（1）由最低點為得A=2．由x軸上相鄰的兩個交點之間的距離為得=，即T=π，由點在圖象上的故∴又，∴（2）∵，∴當(dāng)=，即時，f（x）取得最大值2；當(dāng)即時，f（x）取得最小值﹣1，故f（x）的值域為[﹣1，2]【點評】本題主要考查本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式的問題及正弦函數(shù)的單調(diào)性問題．屬基礎(chǔ)題．18．（12分）（2009?陜西）如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．（1）證明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．【考點】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面垂直的判定．【專題】計算題；證明題．【分析】（1）欲證AB⊥A1C，而A1C?平面ACC1A1，可先證AB⊥平面ACC1A1，根據(jù)三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，可知AB⊥AA1，由正弦定理得AB⊥AC，滿足線面垂直的判定定理所需條件；（2）作AD⊥A1C交A1C于D點，連接BD，由三垂線定理知BD⊥A1C，則∠ADB為二面角A﹣A1C﹣B的平面角，在Rt△BAD中，求出二面角A﹣A1C﹣B的余弦值即可．【解答】解：（1）證明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴AB⊥AA1，在△ABC中，AB=1，AC=，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°，∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1，又A1C?平面ACC1A1，∴AB⊥A1C．（2）如圖，作AD⊥A1C交A1C于D點，連接BD，由三垂線定理知BD⊥A1C，∴∠ADB為二面角A﹣A1C﹣B的平面角．在Rt△AA1C中，AD===，在Rt△BAD中，tan∠ADB==，∴cos∠ADB=，即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值為．【點評】本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．19．（12分）（2009?陜西）某食品企業(yè)一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)用ξ表示，椐統(tǒng)計，隨機變量ξ的概率分布如下：ξ0123p0.10.32aa（Ⅰ）求a的值和ξ的數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）假設(shè)一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率．【考點】離散型隨機變量的期望與方差；相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】計算題．【分析】（1）對于隨機變量的所有可能的取值，其相應(yīng)的概率之和都是1，即P1+P2+…=1．借此，我們可以求出a值，再利用數(shù)學(xué)期望的定義求解．（2）由題意得，該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的事件分解成兩個互斥事件之和，分別求出這兩個事件的概率后相加即可．【解答】解：（1）由概率分布的性質(zhì)有0.1+0.3+2a+a=1，解得a=0.2，∴ξ的概率分布為ξ0123P0.10.30.40.2∴Eξ=0*0.1+1*0.3+2*0.4+3*0.2=1.7（2）設(shè)事件A表示“兩個月內(nèi)共被投訴2次”事件A1表示“兩個月內(nèi)有一個月被投訴2次，另外一個月被投訴0次”；事件A2表示“兩個月內(nèi)每月均被投訴1次”則由事件的獨立性得P（A1）=C21P（ξ=2）P（ξ=0）=2*0.4*0.1=0.08P（A2）=[P（ξ=1）]2=0.32=0.09∴P（A）=P（A1）+P（A2）=0.08+0.09=0.17故該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率為0.17【點評】本題主要考查離散型隨機變量的期望與方差，通常情況下，都是先求出隨機變量取每個值時的概率、再得其分布列、最后用數(shù)學(xué)期望與方差的定義求解；求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和，利用概率加法公式計算互斥事件和的概率．20．（12分）（2009?陜西）已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】常規(guī)題型；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想．【分析】（Ⅰ）對函數(shù)求導(dǎo)，令f′（1）=0，即可解出a值．（Ⅱ）f′（x）＞0，對a的取值范圍進(jìn)行討論，分類解出單調(diào)區(qū)間．a(chǎn)≥2時，在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，（Ⅲ）由（2）的結(jié)論根據(jù)單調(diào)性確定出最小值，當(dāng)a≥2時，由（II）知，f（x）的最小值為f（0）=1，恒成立；當(dāng)0＜a＜2時，判斷知最小值小于1，此時a無解．當(dāng)0＜a＜2時，（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為【解答】解：（Ⅰ），∵f′（x）在x=1處取得極值，f′（1）=0即a+a﹣2=0，解得a=1（Ⅱ），∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0①當(dāng)a≥2時，在區(qū)間（0，+∞）上f′（x）＞0．∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）②當(dāng)0＜a＜2時，由f′（x）＞0解得由∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（Ⅲ）當(dāng)a≥2時，由（II）知，f（x）的最小值為f（0）=1當(dāng)0＜a＜2時，由（II）②知，處取得最小值，綜上可知，若f（x）的最小值為1，則a的取值范圍是[2，+∞）【點評】考查導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)區(qū)間與求最值，本類題型是導(dǎo)數(shù)的主要運用．21．（12分）（2009?陜西）已知雙曲線C的方程為=1（a＞0，b＞0），離心率，頂點到漸近線的距離為．（Ⅰ）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若