2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第2節(jié)空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系教學(xué)案理含解析新人教A版

PAGE4-其次節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系[考綱傳真]1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)潔命題．1．四個(gè)公理公理1：假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．公理2：過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．公理3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行．2．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線,平行直線)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：(0°，90°]．3．直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種狀況．4．平面與平面的位置關(guān)系有相交、平行兩種狀況．5．等角定理空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．[常用結(jié)論]1．公理2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．2．異面直線判定的一個(gè)定理過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線，如圖所示．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)假如兩個(gè)不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.()(2)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過A點(diǎn)的隨意一條直線．()(3)平面ABC與平面DBC相交于線段BC.()(4)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．下列命題正確的是()A．經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C．四邊形確定一個(gè)平面D．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面D[依據(jù)公理2可知D選項(xiàng)正確．]3．(教材改編)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°C[連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]4．已知空間四邊形的兩條對(duì)角線相互垂直，順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形肯定是()A．空間四邊形 B．矩形C．菱形 D．正方形B[如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，易知EH綊eq\f(1,2)BD，F(xiàn)G綊eq\f(1,2)BD，∴EH綊FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，又AC⊥BD，故EF⊥FG，∴四邊形EFGH為矩形．故選B.]5．在三棱錐S-ABC中，G1，G2分別是△SAB和△SAC的重心，則直線G1G2與BC的位置關(guān)系是________．平行[如圖所示，連接SG1并延長(zhǎng)交AB于M，連接SG2并延長(zhǎng)交AC于N，連接MN.由題意知SM為△SAB的中線，且SG1＝eq\f(2,3)SM，SN為△SAC的中線，且SG2＝eq\f(2,3)SN，∴在△SMN中，eq\f(SG1,SM)＝eq\f(SG2,SN)，∴G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位線，∴MN∥BC，因此可得G1G2∥BC.]空間兩條直線的位置關(guān)系1．對(duì)于隨意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使得m與l()A．平行 B．相交C．垂直 D．互為異面直線C[若l?α，則解除選項(xiàng)D；若l∩α＝A，則解除選項(xiàng)A；若l∥α，則解除選項(xiàng)B，故選C.]2．設(shè)a，b，c是空間中三條不同的直線，給出下面四個(gè)說法：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a與b肯定是異面直線．其中說法正確的是________．(寫出全部正確說法的序號(hào))①[①明顯正確；若a⊥b，b⊥c，則a與c可以相交，平行，異面，故②錯(cuò)誤；③當(dāng)a與b相交，b與c相交時(shí)，a與c可能相交，也可能平行，還可能異面，故③錯(cuò)誤；④中a與b的關(guān)系，也可能有相交，平行，異面三種狀況，故④錯(cuò)誤．故只有①正確．]3．(2024·唐山模擬)如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上全部正確答案的序號(hào))．①②③④②④[圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中GH與MN異面．][規(guī)律方法]1.要推斷空間兩條直線的位置關(guān)系平行、相交、異面，可利用定義及公理4，借助空間想象并充分利用圖形進(jìn)行推斷.2.推斷空間直線的位置關(guān)系一般有兩種方法：一是構(gòu)造幾何體如正方體、空間四邊形等模型來推斷；二是利用解除法.3.在推斷兩條異面直線位置關(guān)系時(shí)，多用反證法.平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用【例1】如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．[證明](1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈直線CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．[規(guī)律方法]1.證明線共面或點(diǎn)共面的常用方法1干脆法：證明直線平行或相交，從而證明線共面.2納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).3協(xié)助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最終證明平面α，β重合.2.證明點(diǎn)共線問題的常用方法1基本性質(zhì)法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再依據(jù)基本性質(zhì)3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上.2納入直線法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上.3.證明三線共點(diǎn)問題常用的方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上.如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．[證明](1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋G∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線．異面直線所成的角【例2】(1)(2024·銀川二模)已知P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，若MN＝BC＝4，PA＝4eq\r(3)，則異面直線PA與MN所成角的大小是()A．30° B．45°C．60° D．90°(2)在三棱錐S-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝SA，SA⊥平面ABC，D為BC中點(diǎn)，則異面直線AB與SD所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(6),6)C.eq\f(\r(30),6) D.eq\f(\r(30),5)(1)A(2)B[(1)連接AC，并取其中點(diǎn)O，連接OM，ON，則OM綊eq\f(1,2)BC，ON綊eq\f(1,2)PA，∴∠ONM是異面直線PA與MN所成的角，由MN＝BC＝4，PA＝4eq\r(3)，得OM＝2，ON＝2eq\r(3)，MN＝4，∴cos∠ONM＝eq\f(ON2＋MN2－OM2,2ON×MN)＝eq\f(12＋16－4,2×2\r(3)×4)＝eq\f(\r(3),2)，又∠ONM∈(0°，90°]，∴∠ONM＝30°，即異面直線PA與MN所成角的大小為30°，故選A.(2)以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示．設(shè)AB＝AC＝SA＝2，則eq\o(AS,\s\up12(→))＝(0,0,2)，eq\o(AB,\s\up12(→))＝(2,0,0)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(0,2,0)，eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up12(→))＝(1,1,0)，eq\o(SD,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AS,\s\up12(→))＝(1,1，－2)．∴cos〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(SD,\s\up12(→))〉＝eq\f(2,2\r(6))＝eq\f(\r(6),6).故選B.][規(guī)律方法]1.用平移法求異面直線所成的角的三步法1一作：依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；2二證：證明作出的角是異面直線所成的角；3三求：解三角形，求出所作的角.假如求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；假如求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.2.當(dāng)題設(shè)中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系時(shí)，常借助坐標(biāo)法求異面直線所成的角.(1)如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)(包括底面邊長(zhǎng))都是2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點(diǎn)，則EF與側(cè)棱C1C所成的角的余弦值是()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(1,2) D．2(2)(2024·安慶模擬)正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BD的中點(diǎn)，則異面直線AF，CE所成角的余弦值為________．(1)B(2)eq\f(1,6)[(1)如圖，取AC中點(diǎn)G，連接FG，EG，則FG∥C1C，F(xiàn)G＝C1C，EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC，故∠EFG即為EF與C1C所成的角，在Rt△EFG中，cos∠EFG＝eq\f(FG,FE)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).(2)取BF的中點(diǎn)G，連接CG，EG(圖略)，易知EG∥AF，所以異面直線AF，CE所成的角即為∠GEC(或其補(bǔ)角)．不妨設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為2，易求得CE＝eq\r(3)，EG＝eq\f(\r(3),2)，CG＝eq\f(\r(13),2)，由余弦定理得cos∠GEC＝eq\f(EG2＋CE2－CG2,2EG·CE)＝eq\f(\f(3,4)＋3－\f(13,4),2×\f(\r(3),2)×\r(3))＝eq\f(1,6)，所以異面直線AF，CE所成角的余弦值為eq\f(1,6).]1.(2024·全國(guó)卷Ⅱ)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)C[法一：如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，OM，易知O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角．因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以O(shè)M＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5)，故選C.法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由條件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，eq\r(3))，B1(1,1，eq\r(3))，所以eq\o(AD1,\s\up12(→))＝(－1,0，eq\r(3))，eq\o(DB1,\s\up12(→))＝(1,1，eq\r(3))，則由向量夾角公式，得cos〈eq\o(AD1,\s\up12(→))，eq\o(DB1,\s\up12(→))〉＝eq\f(\o(AD1,\s\up12(→))·\o(DB1,\s\up12(→)),|\o(AD1,\s\up12(→))|·|\o(DB1,\s\up12(→))|)＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5)，故選C.]2.(2024·全國(guó)卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(10),5) D.eq\f(\r(3),3)C[以B1為坐標(biāo)原點(diǎn)，B1C1所在的直線為x軸，垂直于B1C1的直線為y軸，BB1所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由已知條件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1，eq\r(3)，1)，則eq\o(BC1,\s