2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章概率第三節(jié)幾何概型學(xué)案文含解析新人教A版

PAGEPAGE1第三節(jié)幾何概型2024考綱考題考情1．幾何概型(1)幾何概型的定義假如每個事務(wù)發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事務(wù)區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型。(2)幾何概型的兩個基本特點2．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長度(面積或體積),試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積))。幾種常見的幾何概型1．與長度有關(guān)的幾何概型，其基本領(lǐng)件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)。2．與面積有關(guān)的幾何概型，其基本領(lǐng)件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本領(lǐng)件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題。3．與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題。一、走進教材1．(必修3P142A組T3改編)一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30s，黃燈的時間為5s，綠燈的時間為40s，當(dāng)某人到達(dá)路口時望見的是紅燈的概率為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)解析設(shè)事務(wù)A表示“某人到達(dá)路口時望見的是紅燈”，則事務(wù)A對應(yīng)30s的時間長度，而路口紅綠燈亮的一個周期為30＋5＋40＝75(s)的時間長度。依據(jù)幾何概型的概率公式可得，事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5)。故選B。答案B2．(必修3P140練習(xí)T1改編)有四個嬉戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的嬉戲盤為()解析如題干選項中的各圖，各種狀況的概率都是其面積比，中獎的概率依次為P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(D)＝eq\f(1,3)。故選A。答案A二、走近高考3．(2024·全國卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖。正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱。在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(π,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(π,4)解析設(shè)正方形的邊長為2，則圓的半徑為1，正方形的面積為4，圓的面積為π，依據(jù)對稱性關(guān)系，黑色部分的面積是圓的面積的一半，所以黑色部分的面積為eq\f(π,2)。依據(jù)幾何概型的概率公式，得此點取自黑色部分的概率為P＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8)。故選B。答案B4．(2024·全國卷Ⅰ)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析由題意得下圖：由圖得等車時間不超過10分鐘的概率為eq\f(1,2)。故選B。答案B5．(2024·全國卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A．eq\f(4n,m) B．eq\f(2n,m)C．eq\f(4m,n) D．eq\f(2m,n)解析設(shè)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤xn≤1，,0≤yn≤1，))構(gòu)成的正方形的面積為S，由xeq\o\al(2,n)＋yeq\o\al(2,n)<1構(gòu)成的圖形的面積為S′，所以eq\f(S′,S)＝eq\f(\f(1,4)π,1)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n)。故選C。答案C三、走出誤區(qū)微提示：幾何概型類型不清致誤。6．在長為6m的木棒AB上任取一點P，則點P到木棒兩端點的距離都大于2m的概率是________。解析所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)。答案eq\f(1,3)7.為了測算如圖所示陰影部分的面積，作一個邊長為6的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機投擲800個點，已知恰有200個點落在陰影部分，據(jù)此，可估計陰影部分的面積是________。解析正方形的面積為36，則陰影部分的面積約為eq\f(200,800)×36＝9。答案9考點一與長度、角度有關(guān)的幾何概型【例1】(1)(2024·合肥質(zhì)檢)某廣播電臺只在每小時的整點和半點起先播放新聞，時長均為5分鐘，則一個人在不知道時間的狀況下打開收音機收聽該電臺，能聽到新聞的概率是()A．eq\f(1,14) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,7) D．eq\f(1,6)(2)如圖，在圓心角為90°的扇形AOB中，以圓心O為起點在上任取一點C作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,6)解析(1)由題意可知，該廣播電臺在一天內(nèi)播放新聞的時長為24×2×5＝240(分鐘)，即4個小時，所以所求的概率為eq\f(4,24)＝eq\f(1,6)。故選D。解析：在一個小時內(nèi)，播放時長為10分鐘，這是一個幾何概型，故所求概率為P＝eq\f(10,60)＝eq\f(1,6)。故選D。(2)記事務(wù)T是“作射線OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，如圖，記的三等分點為M，N，連接OM，ON，則∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，則符合條件的射線OC應(yīng)落在扇形MON中，所以P(T)＝eq\f(∠MON,∠AOB)＝eq\f(30°,90°)＝eq\f(1,3)。故選A。答案(1)D(2)A1．與長度有關(guān)的幾何概型假如試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，可干脆用概率的計算公式求解。2．與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動、扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不行用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段?！咀兪接?xùn)練】(1)記函數(shù)f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定義域為D。在區(qū)間[－4,5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率為________。(2)如圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，則BM<1的概率為________。解析(1)由6＋x－x2≥0解得－2≤x≤3，則D＝[－2,3]，故所求概率為eq\f(3－(－2),5－(－4))＝eq\f(5,9)。(2)因為∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，所以BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°。記事務(wù)N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時事務(wù)N發(fā)生。由幾何概型的概率公式，得P(N)＝eq\f(30°,75°)＝eq\f(2,5)。答案(1)eq\f(5,9)(2)eq\f(2,5)考點二與面積有關(guān)的幾何概型微點小專題方向1：與圖形面積有關(guān)的幾何概型【例2】(2024·重慶六校聯(lián)考)《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓徑幾何?！逼浯笠猓骸耙阎苯侨切蝺芍苯沁呴L分別為8步和15步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步?！爆F(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A．eq\f(3π,10) B．eq\f(3π,20)C．1－eq\f(3π,10) D．1－eq\f(3π,20)解析如圖，直角三角形的斜邊長為eq\r(82＋152)＝17，設(shè)其內(nèi)切圓的半徑為r，則8－r＋15－r＝17，解得r＝3，所以內(nèi)切圓的面積為πr2＝9π，所以豆子落在內(nèi)切圓外的概率P＝1－eq\f(9π,\f(1,2)×8×15)＝1－eq\f(3π,20)。故選D。答案D1．依據(jù)題意確定所求事務(wù)構(gòu)成的區(qū)域圖形，推斷是否為幾何概型。2．分別求出全部事務(wù)和所求事務(wù)對應(yīng)的區(qū)域面積。3．利用幾何概型概率計算公式正確計算，須要留意計算的測度是否一樣。方向2：“會面”問題【例3】甲、乙兩人約定晚6點到晚7點之間在某處見面，并約定甲若早到應(yīng)等乙半小時，而乙還有其他支配，若乙早到則不需等待即可離去，則甲、乙兩人能見面的概率為()A．eq\f(3,8) B．eq\f(3,4)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)解析由題意知本題是一個幾何概型，設(shè)甲到的時間為x，乙到的時間為y，則試驗包含的全部事務(wù)是Ω＝{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，事務(wù)對應(yīng)的集合表示的面積是S＝1，滿意條件的事務(wù)是A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1((x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1，y－x≤\f(1,2)且y≥x))，則Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，C(0,1)，則事務(wù)A對應(yīng)的集合表示的面積是1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×1×1))＝eq\f(3,8)，依據(jù)幾何概型概率公式得到P＝eq\f(\f(3,8),1)＝eq\f(3,8)，所以甲、乙兩人能見面的概率為eq\f(3,8)。故選A。答案A此類問題屬于雙變量問題，其中一個變量設(shè)為x，另一個變量設(shè)為y，構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(x，y)，從而轉(zhuǎn)化為面積問題?！绢}點對應(yīng)練】1．(方向1)2017年8月1日是中國人民解放軍建軍90周年紀(jì)念日，中國人民銀行發(fā)行了以此為主題的金銀紀(jì)念幣。如圖所示的是一枚8g圓形金質(zhì)紀(jì)念幣，直徑22mm，面額100元。為了測算圖中軍旗部分的面積，現(xiàn)向硬幣內(nèi)隨機投擲100粒芝麻，已知恰有A．eq\f(726π,5)mm2 B．eq\f(363π,10)mm2C．eq\f(363π,5)mm2 D．eq\f(363π,20)mm2解析設(shè)軍旗的面積為amm2，則有eq\f(a,π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,2)))2)＝eq\f(30,100)，解得a＝eq\f(363π,10)。故選B。答案B2．(方向1)已知x，y∈[0,2]，則事務(wù)“x＋y≤1”發(fā)生的概率為()A．eq\f(1,16) B．eq\f(1,8)C．eq\f(15,16) D．eq\f(7,8)解析由圖可知，事務(wù)“x＋y≤1”發(fā)生的概率為eq\f(\f(1,2)×1×1,2×2)＝eq\f(1,8)。故選B。答案B3．(方向2)某日，甲、乙兩人隨機選擇早上6：00至7：00的某個時刻到達(dá)七星公園進行熬煉，則甲比乙提前到達(dá)超過20分鐘的概率為()A．eq\f(7,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,3)解析在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)x，y分別表示乙、甲兩人的到達(dá)時刻，當(dāng)x－y>20時滿意題意，由幾何概型計算公式可得，甲比乙提前到達(dá)超過20分鐘的概率為eq\f(\f(1,2)×40×40,60×60)＝eq\f(2,9)。故選B。答案B考點三與體積有關(guān)的幾何概型【例4】如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取點M，則使四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率為________。解析過M作平面RS∥平面AC，則兩平面間的距離是四棱錐M－ABCD的高，明顯M在平面RS上隨意位置時，四棱錐M－ABCD的體積都相等。若此時四棱錐M－ABCD的體積等于eq\f(1,6)，只要M在截面RS以下即可小于eq\f(1,6)，當(dāng)VM－ABCD＝eq\f(1,6)時，即eq\f(1,3)×1×1×h＝eq\f(1,6)，解得h＝eq\f(1,2)，即點M究竟面ABCD的距離，所以所求概率P＝eq\f(1×1×\f(1,2),1×1×1)＝eq\f(1,2)。答案eq\f(1,2)對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事務(wù)的體積(事務(wù)空間)，對于某些較困難的也可利用其對立事務(wù)去求。【變式訓(xùn)練】已知正棱錐S－ABC的底面邊長為4，高為3，在正棱錐內(nèi)任取一點P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(7,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)解析由題意知，當(dāng)點P在三棱錐的中截面以下時，滿意VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC，故使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率P＝eq\f(大三棱錐的體積－小三棱錐的體積,大三棱錐的體積)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,8)。答案Beq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老師備用題))1．(協(xié)作例1運用)已知函數(shù)y＝cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，則cosx≤eq\f(1,2)的概率是________。解析由cosx≤eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，故所求概率P＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3))),\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))))＝eq\f(1,3)。答案eq\f(1,3)2．(協(xié)作例2運用)設(shè)點(a，b)為不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－4≤0，,a>0，,b>0))表示的平面區(qū)域內(nèi)隨意一點，則函數(shù)f(x)＝ax2－2bx＋3在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函數(shù)的概率為()A．eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C．eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)解析作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示。若函數(shù)f(x)＝ax2－2bx＋3在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,－\f(－2b,2a)＝\f(b,a)≤\f(1,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a－2b≥0，))可得滿意條件的平面區(qū)域為△OBC，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－4＝0，,a－2b＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(8,3)，,b＝\f(4,3)，))即Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，\f(4,3)))，所以S△OBC＝eq\f(1,2)×4×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)。又S△OAB＝eq\f(1,2)×4×4＝8，所以函數(shù)f(x)＝ax2－2bx＋3在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函數(shù)的概率P＝eq\f(S△OBC,S△OAB)＝eq\f(\f(8,3),8)＝eq\f(1,3)。故選A。答案A概率統(tǒng)計綜合問題是高考應(yīng)用型問題，解決問題須要經(jīng)驗收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、得出有用的結(jié)論幾個困難過程。假如這幾個過程書寫步驟缺失則會造成丟分；假如數(shù)據(jù)處理不當(dāng)則會陷入浩大的數(shù)據(jù)運算中，因此解決這類問題首先須要依據(jù)題目條件提取有用數(shù)據(jù)，然后依據(jù)統(tǒng)計思想對數(shù)據(jù)進行相關(guān)處理、運算，并依據(jù)肯定的書寫步驟精確無誤書寫出來，做到步驟不缺失、表述精確無誤，下面就如何從概率統(tǒng)計綜合問題中快速提取數(shù)據(jù)，并作出正確處理及模型構(gòu)建供應(yīng)四類典例展示。類型一頻率分布直方圖數(shù)據(jù)的提取、處理及運算【例1】某市某中學(xué)的環(huán)保社團參照國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該市空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系，如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過300)。該社團將該市在2024年100天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如圖，把該直方圖所得頻率估計為概率。(1)請估算2024年(以365天計算)全年該市空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計算)；(2)該市將于2024年12月25、26、27日舉辦一場國際會議，若這三天中某天出現(xiàn)5級重度污染，則該天須要凈化空氣費用10萬元，出現(xiàn)6級嚴(yán)峻污染，則該天須要凈化空氣費用20萬元，假設(shè)每天的空氣質(zhì)量等級相互獨立，記這三天凈化空氣總費用為X萬元，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。解(1)由直方圖可得2024年(以365天計算)全年該市空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為(0.002＋0.004)×50×365＝0.3×365＝109.5≈110。(2)由題可知，X的全部可能取值為0,10,20,30,40,50,60，則P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))3＝eq\f(64,125)，P(X＝10)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＝eq\f(24,125)，P(X＝20)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))1＋Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＝eq\f(108,500)＝eq\f(27,125)，P(X＝30)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))3＋Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,10)×eq\f(4,5)＝eq\f(49,1000)，P(X＝40)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×eq\f(1,10)＋Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×eq\f(4,5)＝eq\f(27,1000)，P(X＝50)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×eq\f(1,10)＝eq\f(3,1000)，P(X＝60)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))3＝eq\f(1,1000)，X的分布列為X0102030405060Peq\f(64,125)eq\f(24,125)eq\f(27,125)eq\f(49,1000)eq\f(27,1000)eq\f(3,1000)eq\f(1,1000)E(X)＝0×eq\f(64,125)＋10×eq\f(24,125)＋20×eq\f(27,125)＋30×eq\f(49,1000)＋40×eq\f(27,1000)＋50×eq\f(3,1000)＋60×eq\f(1,1000)＝9(萬元)。頻率分布直方圖是考查數(shù)據(jù)收集和整理的常用依據(jù)，駕馭頻率分布直方圖中常見數(shù)據(jù)的提取方法是解決這類問題的關(guān)鍵。類型二莖葉圖數(shù)據(jù)的提取、處理及運算【例2】如圖所示，莖葉圖記錄了甲、乙兩組各4名同學(xué)的植樹棵數(shù)。乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示。(1)假如X＝8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；(2)假如X＝9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率。(注：方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中為x1，x2，…，xn的平均數(shù))解(1)假如X＝8，乙組的平均數(shù)為乙＝eq\f(8×2＋9＋10,4)＝eq\f(35,4)，s2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(35,4)))2×2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(35,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(35,4)))2))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,16)×2＋\f(1,16)＋\f(25,16)))＝eq\f(11,16)。(2)設(shè)甲組4名同學(xué)分別為x1，x2，x3，x4，植樹棵數(shù)分別為9,9,11,11，乙組4名同學(xué)分別為y1，y2，y3，y4，植樹棵數(shù)分別為9,8,9,10。分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，全部可能的結(jié)果有：(x1，y1)，(x1，y2)，(x1，y3)，(x1，y4)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x2，y3)，(x2，y4)，(x3，y1)，(x3，y2)，(x3，y3)，(x3，y4)，(x4，y1)，(x4，y2)，(x4，y3)，(x4，y4)，共16種。設(shè)“選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19”為事務(wù)A，則事務(wù)A包含的結(jié)果有：(x1，y4)，(x2，y4)，(x3，y2)，(x4，y2)，共4種，故所求的概率P(A)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4)。即從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學(xué)，這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率為eq\f(1,4)。莖葉圖供應(yīng)了詳細(xì)的數(shù)據(jù)，找準(zhǔn)各組數(shù)據(jù)共同的莖及各自的葉是處理此類問題的關(guān)鍵。假如全部數(shù)據(jù)過大，在計算平均數(shù)時，可以將全部數(shù)據(jù)同時減去一個數(shù)字再計算，減去一個數(shù)后方差不變，另外除了要駕馭各類數(shù)據(jù)的計算方法以外，還要能從供應(yīng)的數(shù)據(jù)的趨勢分析預(yù)料結(jié)果。莖葉圖數(shù)據(jù)很詳細(xì)，常聯(lián)系古典概型進行考查。類型三表格數(shù)據(jù)的提取、處理及運算【例3】某城市隨機抽取一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的監(jiān)測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如下：(1)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟損失y(單位：元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0≤x≤100，,4x－400，100<x≤300，,2000，x>300，))若在本年內(nèi)隨機抽取一天，試估計這一天的經(jīng)濟損失超過400元的概率；(2)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為嚴(yán)峻污染。依據(jù)供應(yīng)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并推斷是否有95%的把握認(rèn)為“該城市本年的空氣嚴(yán)峻污染與供暖有關(guān)”？非嚴(yán)峻污染嚴(yán)峻污染總計供暖季非供暖季總計100附：K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.8