數(shù)學(xué)九年級上冊教案

數(shù)學(xué)九年級上冊教案

楊海崢

目錄

一、一元一次方程

二、命題定理與證明

三、解直角三角形

四、相似圖形

五、概率的計(jì)算

第1課時：建立一元二次方程模型

教學(xué)目標(biāo)

1、在把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的模型的過程中，形成對一元二次方程的感性認(rèn)

識。

2、理解一元二次方程的定義，能識別一元二次方程。

3、知道一元二次方程的一般形式，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式，能寫出

一般形式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理成一般形式。

難點(diǎn)：把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的模型。

教學(xué)過程

(-)創(chuàng)設(shè)情境

前面我們曾把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成一元一次方程和二元一次方程組的模型，大家已經(jīng)感受到

了方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具。本節(jié)課我們將繼續(xù)進(jìn)行建立方程模型的探究。

1＞展示課本P.2問題一

引導(dǎo)學(xué)生設(shè)人行道寬度為xm,表示草坪邊長為35-2xm,找等量關(guān)系，列出方程。

(35-2x)2=900①

2、展示課本P.2問題二

引導(dǎo)思考：小明與小亮第一次相遇以后要再次相遇，他們走的路程有何關(guān)系?怎樣用他

們再次相遇的時間表示他們各自行駛的路程？

通過思考上述問題，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)經(jīng)過ts小明與小亮相遇，用s表示他們各自行駛的路程,

利用路程方面的等量關(guān)系列出方程2t+X0.01t2=3t,1②

3、能把①，②化成右邊為0,而左邊是只含有一個未知數(shù)的二次多項(xiàng)式的形式嗎？讓

學(xué)生展開討論，并引導(dǎo)學(xué)生把①，②化成下列形式：

4x2-140x+325=0.(3)0.01t2-2t=0?④

(二)探究新知

1、觀察上述方程③和④，啟發(fā)學(xué)生歸納得出：

如果一個方程通過移項(xiàng)可以使右邊為0,而左邊是只含有一個未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，那

么這樣的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：

ax2+bx+c=0,(a,b,c是已知數(shù)且aWO),

其中a,b,c分別叫作二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。

2、讓學(xué)生指出方程③，④中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。

(三)講解例題

例1：把方程(x+3)(3x-4)=(x+2)2化成一般形式，并指出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和

常數(shù)項(xiàng)。

［解］去括號，得3x2+5x-12=x2+4x+4,化簡，得2x2+x-16=0?

二次項(xiàng)系數(shù)是2,一次項(xiàng)系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)是-16。

點(diǎn)評：一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a#0)具有兩個特征：一是方程的右邊為0,

二是左邊二次項(xiàng)系數(shù)不能為0。此外要使學(xué)生認(rèn)識到：二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都

是包括符號的。

例2：下列方程，哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？

(1)2x+3=5x-2(3)(x-1)(X-2)=X2+6；(4)(X+2)(3X-1)=(x-1)20

［解］方程(1),(3)是一元一次方程；方程(2),(4)是一元二次方程。

點(diǎn)評:通過一元一次方程與一元二次方程的比較，使學(xué)生深刻理解一元二次方程的意義。

(四)應(yīng)用新知

課本P.4,練習(xí)第3題，

(五)課堂小結(jié)

1、一元二次方程的顯著特征是：只有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2。

2、一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0(a^0),一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次

項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都是根據(jù)一般形式確定的。

3、在把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程模型的過程中，體會學(xué)習(xí)一元二次方程的必要性

和重要性。

(六)思考與拓展

當(dāng)常數(shù)a,b,c滿足什么條件時，方程(a-l)x2-bx+c=0是一元二次方程？這時方程的二

次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)分別是什么？當(dāng)常數(shù)a,b,c滿足什么條件時，方程(a-l)x2-bx+c=0是

一元一次方程？

當(dāng)aWl時是一元二次方程，這時方程的二次項(xiàng)系數(shù)是a-1,一次項(xiàng)系數(shù)是-b；當(dāng)a=l,

bWO時是一元一次方程。

布置作業(yè)

課本習(xí)題11中A組第1,2,3題。

教學(xué)后記：

第2課時因式分解法、直接開平方法(1)

教學(xué)目標(biāo)

1、進(jìn)一步體會因式分解法適用于解一邊為0,另一邊可分解成兩個一次因式乘積的一

元二次方程。2、會用因式分解法解某些一元二次方程。3、進(jìn)一步讓學(xué)生體會“降次”化

歸的思想。

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：，掌握用因式分解法解某些一元二次方程。

難點(diǎn)：用因式分解法將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程。

教學(xué)過程

(-)復(fù)習(xí)引入

1、提問：

(1)解一元二次方程的基本思路是什么？

(2)現(xiàn)在我們已有了哪幾種將一元二次方程“降次”為一元一次方程的方法？

2、用兩種方法解方程：9(1-3X)2=25

(二)創(chuàng)設(shè)情境

說明：可用因式分解法或直接開平方法解此方程。解得不=,1

99

1、說一說：因式分解法適用于解什么形式的一元二次方程。

歸納結(jié)論：因式分解法適用于解一邊為0,另一邊可分解成兩個一次因式乘積的一元二

次方程。

2、想一想：展示課本1.1節(jié)問題二中的方程0.0什2-2=0,這個方程能用因式分解法解

嗎？

(三)探究新知

引導(dǎo)學(xué)生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0,解答課本1.1節(jié)問題二。

把方程左邊因式分解，得t(0.01t-2)=0,由此得出t=0或0.01t-2=0

解得tj=0,t2=200o

t!=0表明小明與小亮第一次相遇；t2=200表明經(jīng)過200s小明與小亮再次相遇。

(四)講解例題

I、展示課本P.8例3。

按課本方式引導(dǎo)學(xué)生用因式分解法解一元二次方程。

2、讓學(xué)生討論P(yáng).9“說一說”欄目中的問題。

要使學(xué)生明確：解方程時不能把方程兩邊都同除以一個含未知數(shù)的式子，若方程兩邊同除以

含未知數(shù)的式子，可能使方程漏根。

3、展示課本P.9例4。

讓學(xué)生自己嘗試著解，然后看書上的解答，交換批改，并說一說在解題時應(yīng)注意什么。

(五)應(yīng)用新知

課本P.10.練習(xí)。

(六)課堂小結(jié)

1、用因式分解法解一元二次方程的基本步驟是：先把一個一元二次方程變形，使它的一邊

為0,另一邊分解成兩個一次因式的乘積，然后使每一個一次因式等于0,分別解這兩個一

元一次方程，得到的兩個解就是原一元二次方程的解。

2、在解方程時，千萬注意兩邊不能同時除以一個含有未知數(shù)的代數(shù)式，否則可能丟失方程

的一個根。

(七)思考與拓展

用因式分解法解下列一元二次方程。議一議：對于含括號的守霜露次方程，應(yīng)怎樣適當(dāng)變形,

再用因式分解法解。

(1)2(3x-2)=(2-3x)(x+l)；(2)(x-l)(x+3尸12。

［解］(1)原方程可變形為2(3x-2)+(3x-2)(x+l尸0,

(3x-2)(x+3)=0>3x-2=0>或x+3=0,所以x『三，X2=-3

(2)去括號、整理得X2+2X-3=12,X2+2X-15=0.

(x+5)(x-3)=0,x+5=0或x-3=0,所以X|=-5,x2=3

先讓學(xué)生動手解方程，然后交流自己的解題經(jīng)驗(yàn)，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納：對于含括號的一元二

次方程，若能把括號看成一個整體變形，把方程化成一邊為0,另一邊為兩個一次式的積，

就不用去括號，如上述(1)；否則先去括號，把方程整理成一般形式，再看是否能將左邊分

解成兩個一次式的積，如上述(2)。

布置作業(yè)

教學(xué)后記：

第3課時因式分解法、直接開平方法(2)

教學(xué)目標(biāo)

1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程為一元一次方程。

2、學(xué)會用因式分解法和直接開平方法解形如(ax+b)2-k=0(k20)的方程。

3、引導(dǎo)學(xué)生體會“降次”化歸的思路。

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握用因式分解法和直接開平方法解形如(ax+b)2-k=0(k20)的方程。

難點(diǎn)：通過分解因式或直接開平方將一元二次方程降次為一元一次方程。

教學(xué)過程

(-)復(fù)習(xí)引入

1、判斷下列說法是否正確

(1)若p=l,q=l,貝!Ipq=l()?若pq=L則p=l,q=l()；

⑵若p=0,g=0,則pq=O(),若pq=O,則p=0或q=0()；

(3)若x+3=0或x-6=0,則(x+3)(x-6尸0(),

若(x+3)(x-6)=0,則x+3=0或x-6=0()；

(4)若x+3=或x-42,則(x+3)(x-6尸1(),

若(x+3)(x?6尸1,貝x+3=或1-6=2()o

￡

答案：(1)X。(2)V,Vo(3)V,Vo(4)V,Xo

2、填空：若x?=a；則x叫a的,x=；若x?=4,則x=；

若x?=2,則x=。

答案：平方根，土,士石土。同

(二)創(chuàng)設(shè)情境

前面我們已經(jīng)學(xué)了一元一次方程和二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思路是

什么？(消元、化二元一次方程組為一元一次方程)。由解二元一次方程組的基本思路，你能

想出解一元二次方程的基本思路嗎？

引導(dǎo)學(xué)生思考得出結(jié)論：解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程為一元

一次方程。

給出1.1節(jié)問題一中的方程：(35-2x)2-900=0。

問：怎樣將這個方程“降次”為一元一次方程？

(三)探究新知

讓學(xué)生對上述問題展開討論，教師再利用“復(fù)習(xí)引入”中的內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生，按課本P.6那

樣，用因式分解法和直接開平方法，將方程(35-2x)2-900=0“降次”為兩個一元一次方程來

解。讓學(xué)生知道什么叫因式分解法和直接開平方法。

(四)講解例題：展示課本P.7例1,例2。

按課本方式引導(dǎo)學(xué)生用因式分解法和直接開平方法解一元二次方程。

引導(dǎo)同學(xué)們小結(jié)：對于形如(ax+b)2-k=0(k》0)的方程，既可用因式分解法解，又可用直

接開平方法解。

因式分解法的基本步驟是：把方程化成一邊為0,另一邊是兩個一次因式的乘積(本節(jié)

課主要是用平方差公式分解因式)的形式，然后使每一個一次因式等于0,分別解兩個一元

一次方程，得到的兩個解就是原一元二次方程的解。

直接開平方法的步驟是：把方程變形成(ax+b)2=k(k20),然后直接開平方得ax+b=和

ax+b=-?\分別解這/訃一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。

注意：(1)因式分解法適用于一邊是0,另一邊可分解成兩個一次因式乘積的一元二次

方程；(2)直接開平方法適用于形如(ax+b六k(k20)的方程，由于負(fù)數(shù)沒有平方根，所以規(guī)

定k20,當(dāng)k<0時，方程無實(shí)數(shù)解。

(五)應(yīng)用新知：課本P.8,練習(xí)。

(六)課堂小結(jié)

1、解一元二次方程的基本思路是什么？

2、通過“降次”，把一元二次方程化為兩個一元一次方程的方法有哪些？基本步驟是什么？

3、因式分解法和直接開平方法適用于解什么形式的一元二次方程？

(七)思考與拓展

不解方程，你能說出下列方程根的情況嗎？

(1)-4X2+1=0；(2)X2+3=0；(3)(5-3x)2=0；(4)(2x+l)2+5=0?

答案：(1)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)和(4)沒有實(shí)數(shù)根；(3)有兩個相等的實(shí)數(shù)根

通過解答這個問題，使學(xué)生明確一元二次方程的解有三種情況。

布置作業(yè)

教學(xué)后記:

第4課時因式分解法'直接開平方法(3)

考標(biāo)要求：

1體會因式分解法適用于解一邊為0,另一邊可分解為兩個一次因式的乘積的一元二次方

程；2會用因式分解法解某些一元二次方程。

重點(diǎn)：用因式分解法解一元二次方程。

難點(diǎn)：用因式分解把一元二次方程化為左邊是兩個一次二項(xiàng)式相乘右邊是零的形式。

-填空題(每小題5分，共25分)

1解方程(2+x)(x-3尸0,就相當(dāng)于解方程()

A2+x=0,Bx-3=0C2+x=0且x-3=0,D2+x=0或x-3=0

2用因式分解法解一元二次方程的思路是降次，下面是甲、乙兩位同學(xué)解方程的過程：

(1)解方程：Y=2x,小明的解法是：解：兩邊同除以x得：x=2;

⑵解方程：(x-1)(x-2尸2,小亮的解法是：解：x-l=l,x-2=2或者x-l=2,x-2=l,或者，x-l=

%

-l,x-2=-2,或者x-l=-2,x-2=-l,*1=2,尤2=4,無3=3,4=0

其中正確的是()

A小明B小亮C都正確D都不正確

3下面方程不適合用因式分解法求解的是()

3-2x92222

A2-32=0,B2(2x-3)-()=0,(^+)=4(2x-1)5Dx-2x+3=0

4方程2x(x-3)=5(x-3)的根是()

552

2X

Ax=,Bx=3C%=2,2=3Dx=5

5定義一種運(yùn)算“※得其規(guī)則為：aXb=(a+l)(b+1),根據(jù)這個規(guī)則，方程xX(x+l尸0的解

是()Ax=0Bx=-lC%1=0,%2=-l,DX'=-\X2=-2

二填空題(每小題5分，共25分)

6方程(1+^2)x2.(1.V2)x=o解是％=，無2=

4x2+5x

7當(dāng)乂=時，分式尤+1值為零。

8若代數(shù)式0一X)與代數(shù)式4(x-3)的值相等，則*=

9已知方程(x-4)(x-9)=0的解是等腰三角形的兩邊長，則這個等腰三角形的周長=.

\ci~—2al+Jb-2=02

10如果II，則關(guān)于x的一元二次方程a》+bx=0的解是

三解答題(每小題10分，共50分)

11解方程

22(X—(X+1V

(1)X+2x+l=0(2)4-v-12x+9=0(3)25、)=9、>(4)7x(2x-3)=4(3-2x)

12解方程(2"3)=32)M一4)

2

13已知k是關(guān)于x的方程4kx-8x-k=0的一個根，求k的值。？

14解方程：尤2_2卜1+1=0

15對于向上拋的物體，在沒有空氣阻力的情況下，有如下關(guān)系：h=vt-2g/,其中卜是上升

到高度，V是初速度，g是重力加速度，(為方便起見，本題中g(shù)取10米/秒t是拋出后

所經(jīng)過的時間。如果將一物體以每秒25米的初速向上拋，物體多少秒后落到地面

參考答案：31.21因式分解法，直接開平方法(2)

5

x

1D2D3D4C5D二6%=0,無2=2及一3,7%=0,尤2=_48i=3,無2=7

33

92210玉=0,々=_211(1)x\=x2=.i(2)玉=Z=2(3)%=2,^=9

3_43_3

(4)玉=2，無2=712=113匕=0,&=2，匕=2,14無1，"2=-1達(dá)

t=5

第5課時配方法（1）

教學(xué)目標(biāo)

1、理解“配方”是一種常用的數(shù)學(xué)方法，在用配方法將一元二次方程變形的過程中，

讓學(xué)生進(jìn)一步體會化歸的思想方法。

2、會用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程。

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：會用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程。

難點(diǎn)：用配方法將一元二次方程變形成可用因式分解法或直接開平方法解的方程。

教學(xué)過程

（-）復(fù)習(xí)引入

1、a2±2ab+b2=?

2、用兩種方法解方程（x+3p5=0。

如何解方程x2+6x+4=0呢？

（-）創(chuàng)設(shè)情境

如何解方程x2+6x+4=0呢？

（三）探究新知

1、利用“復(fù)習(xí)引入”中的內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生思考，得知：反過來把方程X2+6X+4=0化成（X+3）2-5=0

的形式，就可用前面所學(xué)的因式分解法或直接開平方法解。

2、怎樣把方程X2+6X+4=0化成（X+3/-5=0的形式呢？讓學(xué)生完成課本P.10的“做一

做”并引導(dǎo)學(xué)生歸納：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為“1”時，只要在二次項(xiàng)和一次項(xiàng)之后加上一次項(xiàng)系

數(shù)一半的平方，再減去這個數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在一個完全平方式里，這種做法叫作配

方.將方程一邊化為0,另一邊配方后就可以用因式分解法或直接開平方法解了，這樣解一

元二次方程的方法叫作配方法。

（四）講解例題

例1（課本P.11,例5）

［解］（1）X2+2X-3（觀察二次項(xiàng)系數(shù)是否為"I”）

=X2+2X+12-12-3（在一次項(xiàng)和二次項(xiàng)之后加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去

這個數(shù)，使它與原式相等）

=（X+1）2-4。（使含未知數(shù)的項(xiàng)在一個完全平方式里）

用同樣的方法講解（2）,讓學(xué)生熟悉上述過程，進(jìn)一步明確“配方”的意義。

例2引導(dǎo)學(xué)生完成P.11?P.12例6的填空。

(五)應(yīng)用新知

1、課本P.12,練習(xí)。

2、學(xué)生相互交流解題經(jīng)驗(yàn)。

(六)課堂小結(jié)

1、怎樣將二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的一元二次方程配方？

2、用配方法解一元二次方程的基本步驟是什么？

(七)思考與拓展

解方程：(1)X2-6X+10=0；(2)x2+x+=0；(3)x2-x-l=0o

4

說一說一元二次方程解的情況。

［解］(1)將方程的左邊配方，得(X-3)2+1=0,移項(xiàng)，得(X-3)2=-1,所以原方程無解。

(2)用配方法可解得X|=X2=-o￡

(3)用配方法可解得x產(chǎn)1-X=1+3

~2~~2

一元二次方程解的情況有三種「尢實(shí)數(shù)解，如方柱(1);有兩個相等的實(shí)數(shù)解，如方程(2)；

有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，如方程(3)。

課后作業(yè)

課本習(xí)題

教學(xué)后記：

第6課時配方法（2）

教學(xué)目標(biāo)

1、理解用配方法解一元二次方程的基本步驟。

2、會用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程。

3、進(jìn)一步體會化歸的思想方法。

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：會用配方法解一元二次方程.

難點(diǎn)：使一元二次方程中含未知數(shù)的項(xiàng)在一個完全平方式里。

教學(xué)過程

（-）復(fù)習(xí)引入

1、用配方法解方程x2+x-l=0,學(xué)生練習(xí)后再完成課本P.13的“做一做”.

2、用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的基本步驟是什么？

（二）創(chuàng)設(shè)情境

現(xiàn)在我們已經(jīng)會用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，而對于二次項(xiàng)系數(shù)不為1

的一元二次方程能不能用配方法解？

怎樣解這類方程：2X2-4X-6=0

（三）探究新知

讓學(xué)生議一議解方程2X2-4X-6=0的方法，然后總結(jié)得出：對于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一

元二次方程，可將方程兩邊同除以二次項(xiàng)的系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后按上一節(jié)課所

學(xué)的方法來解。讓學(xué)生進(jìn)一步體會化歸的思想。

（四）講解例題

1、展示課本P.14例8,按課本方式講解。

2、引導(dǎo)學(xué)生完成課本P.14例9的填空。

3、歸納用配方法解一元二次方程的基本步驟：首先將方程化為二次項(xiàng)系數(shù)是1的一般

形式；其次加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在一個完全平

方式里；最后將配方后的一元二次方程用因式分解法或直接開平方法來解。

（五）應(yīng)用新知

課本P.15,練習(xí)。

（六）課堂小結(jié)

1、用配方法解一元二次方程的基本步驟是什么?

2、配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它的重要性不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中，

在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，高中學(xué)習(xí)二次曲線時都要經(jīng)常用到。

3、配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的過程要進(jìn)行較繁瑣的運(yùn)算，在解

一元二次方程時，實(shí)際運(yùn)用較少。

4、按圖1—1的框圖小結(jié)前面所學(xué)解

一元二次方程的算法。

(七)思考與拓展

不解方程，只通過配方判定下列方程解的

情況。

(1)4X2+4X+1=0；(2)X2-2X-5=0；

(3)-X2+2X-5=0；

［解］把各方程分別配方得

⑴(x+1)2=0；

2

(2)(x-l)z=6；

(3)(X-1)2=-4

由此可得方程(1)有兩個相等的實(shí)數(shù)根，方程(2)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，方程(3)沒有實(shí)

數(shù)根。

點(diǎn)評：通過解答這三個問題，使學(xué)生能靈活運(yùn)用“配方法”，并強(qiáng)化學(xué)生對一元二次方

程解的三種情況的認(rèn)識。

布置作業(yè)

教學(xué)后記:

第7課時配方法(3)

教學(xué)內(nèi)容

間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題.

通過復(fù)習(xí)可直接化成x2=p(p>0)或(mx+n)2=p(p>0)的一元二次方程的解法，

引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：用配方法解一元二次方程的步驟.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與

技巧.

學(xué)習(xí)過程

一、復(fù)習(xí)反思

直接寫出下列方程的根：

(1)3x2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9

二、自主學(xué)習(xí)，解讀目標(biāo)

針對目標(biāo)自學(xué)教材31—34頁內(nèi)容，自學(xué)后要求能講清問題2方程的建立過程，會用例1解

決問題的方法解一元二次方程，并通過演練34頁練習(xí)題檢查自己是否達(dá)到自學(xué)要求，然后

在小組交流。

三、總結(jié)反思，鞏固提高

總結(jié)自己學(xué)習(xí)新知情況，解決疑難問題后，強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固提高：

鞏固訓(xùn)練：

1.將二次三項(xiàng)式x2Yx+l配方后得().

A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-3

2.已知1x2-8x+15=0,左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是().

A.x2-8x+(-4)2=31B.x2-8x+(-4)2=1

C.x2+8x+42=lD.x2-4x+4=-ll

3.方程x2+4x-5=0的解是

4.解下列關(guān)于x的方程

(1)x2+2x-35=0(2)2x2-4x-l=0

5.如圖，在寬為20m,長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂

直的道路，余下的六個相同的部分作為耕地，要使得耕地的面積為5000m2,道路的寬為多

少？

x~-x—2

的值為則的值為

應(yīng)用拓展6.代數(shù)式f-l0,X

7.如圖，在RtZ\ACB中，ZC=90°，AC=8m,CB=6m,點(diǎn)P、Q同時由A,B兩點(diǎn)出發(fā)

分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動，它們的速度都是lm/s,幾秒后APCQ的面積為Rt

△ACB面積的一半.

8.己知三角形兩邊長分別為2和4,第三邊是方程x2-4x+3=0的解，求這個三角形的周長.

9.如果x2-4x+y2+6y+正+2+13=0,求(xy)z的值.

教學(xué)后記:

第8課時配方法(4)

教學(xué)任務(wù)分析

教1、會用開平方法解形如X2=p或(mx+n)2=p(p20)的一元二次方程。

學(xué)2、能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果是否合理，并對其進(jìn)行取舍。

目

標(biāo)

教學(xué)過程

問題與情景師生活動設(shè)計(jì)意圖

一、知識回顧：第一題為口答

題，復(fù)習(xí)平方根，

1、求出或表示出下列各數(shù)的平方根。

旨在引出第二

9

(1)25(2)0.04(3)0(4)7(5)16(6)題，培養(yǎng)學(xué)生探

121究的興趣。

2、求出下列各式中的x.對與第2題要結(jié)

(1)X2=49(2)9X2=16(3)x2=6(4)x2=-合平方根的意

9義，看能否求取

X.的值

二、自主學(xué)習(xí)：

自學(xué)課本P30-—P31思考下列

問題：

1、教材問題1中由X2=25得

x=±5依據(jù)是什么？

老師點(diǎn)評：

2、問題1中所列的方程是一

1、同學(xué)們在交流中體會利用平學(xué)生通過自學(xué)經(jīng)

元二次方程嗎？有幾個根？

方根的意義來解一元二次方歷思考、討論、

它們都符合問題的實(shí)際意義程的方法。分析的過程，最

嗎？為什么？2、在自學(xué)的基礎(chǔ)上，教師要重終形成把一個一

點(diǎn)對問題4、及問題7點(diǎn)撥，元二次方程“降

3、請你總結(jié)一下問題1解方

幫助學(xué)生更好的理解、學(xué)習(xí)，次”，轉(zhuǎn)化為兩個

程的過程。

讓學(xué)生真正明白“降次”思一元一次方程.

4、在“問題1”解方程的過

想。我們把這種思想

程中，仔細(xì)體會(2x-l)2=5

3、形如x2=a(a20)得S稱為“降次轉(zhuǎn)化

與X2=25相同點(diǎn)是什么？結(jié)

思想”.

即直接開平方法。

合X2=25的解法，嘗試解

(2x-l)2=5。4、師生共同交流教材歸納中

x2=p或(mx+n)2=p(p20)為什

5、舉例說明，什么是一元二

么p20。

次方程的“降次”？

6、觀察方程x?+6x+9=2,請

你把它化為與方程(2x-l>=5

相同的形式

為_____________;

進(jìn)行降次(開平方)

得___________;方程的兩根

X1=_______X2=________0

由應(yīng)用直接開平方法解形

7、以上方程在形式和解法上

如x2=p(p20),那么X=±

有什么類似的地方，可歸納

轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平

為怎樣的步驟？

方法解形如(mx+n)2=p(p

20),那么mx+n=±J^,

達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的.

三、例題學(xué)習(xí)：

例：解下列方程

(1)(1+X)2-2=0牢牢把握通過根

(2)(2X+3)2+3=0教師最好書寫一個完整的據(jù)平方根的意義

解題過程，給學(xué)生以示范作解形如x2=n,知

(3)4X2-4X+1=0

用。在直接開平方時注意符識遷移到根據(jù)平

(4)9(X-1)2-4=0

號，這是易錯之處。方根的意義解形

如(x+m)2=n(n

20)的方程.

四、課堂練習(xí)：通過練習(xí)加深學(xué)

生對直接開平方

1、(教材P31練習(xí))解下列

法解一元二次方

方程：

(讓學(xué)生分組板演，教師點(diǎn)

程的方法。

(1)2x2-8=。評)

(2)9X2-5=3

(3)(X+6)2-9=0(4)3(X-1)2-6=0

2

(5)X-4X+4=5

(6)9X2+6X+1=4

五、布置作業(yè)1、教材P42習(xí)題22.2第1

題

六、總結(jié)反思：(針對學(xué)習(xí)目標(biāo))可由學(xué)生自己完成，教師作適當(dāng)補(bǔ)充。

1、用直接開平方解一元二次方程。

2、理解“降次”思想。

3、理解x2=p或(mx+n>=p(p2O)為什么p20。

4、對照目標(biāo)，自查完成情況。

教學(xué)后記:

第9課時配方法(5)

教學(xué)任務(wù)分析

教1、能說出用配方法解一元二次方程的基本步驟；知道“配方法”是一種常用的數(shù)學(xué)

學(xué)方法。

目2、會用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。

標(biāo)

教學(xué)過程

問題與情景師生活動設(shè)計(jì)意圖

一、溫故知新：

1、填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列各式成立，并總結(jié)其中的規(guī)律。

(1)x2+6x+___________=(x+3)2(2)X2+8X+

=(x+_____了

第一題為口

(3)x2-12x+=(x-_________)2(4)x2-5+答題，復(fù)習(xí)

=(X-______)2完全平方公

式，旨在引

(5)a2+2ab+_______=(a+_______)2(6)a2-2ab+_______

出配方法，

=(a-_______)2

培養(yǎng)學(xué)生探

2、用直接開平方法解方程：X2+6X+9=2

究的興趣。

二、自主學(xué)習(xí)：

自學(xué)課本P3L-P32思考下列

問題：

交流與點(diǎn)撥：

1、仔細(xì)觀察教材問題2,所列出

重點(diǎn)在第2個問題，可以互相交

的方程X2+6X-16=0利用直接

流框圖中的每一步，實(shí)際上也是

開平方法能解嗎？

第3個問題的討論，教師這時對

2、怎樣解方程X2+6X-16=0?看框圖中重點(diǎn)步驟作講解，特別是學(xué)生通過自

教材框圖，能理解框圖中的每兩邊加9是配方的關(guān)鍵，使之配學(xué)經(jīng)歷思

一步嗎？(同學(xué)之間可以交成完全平方式。利用a2±考、討論、

流、師生間也可交流。)6.分析的過

2ab+b2=(a±b)2o注意9=(2)2,

3、討論：在框圖中第二步為什么程，最終形

而6是方程一次項(xiàng)系數(shù)。所以得

方程兩邊加9?加其它數(shù)行成把一個一

出配方是方程兩邊加上一次項(xiàng)

嗎？元二次方程

系數(shù)一半的平方，從而配成完全

4、什么叫配方法？配方法的目配成完全平

平方式。

的是什么？方式形式來

5、配方的關(guān)鍵是什么？解方程的思

想

三、例題學(xué)習(xí)：交流與點(diǎn)撥：

例(教材P33例1)解下列方用配方法解一元二次方程的一

程：般步驟：

牢牢把握通

(1)X2-8X+I=0(1)將方程化成一般形式并把過配方將原

(2)2X2+1=-3X二次項(xiàng)系數(shù)化成1；(方程兩邊方程變?yōu)?/p>

都除以二次項(xiàng)系數(shù))(x+k)2=a的

(3)3X2-6X+4=0

形式方法。

(2)移項(xiàng)，使方程左邊只含有

教師要選擇例題書寫解題

二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)

過程，通過例題的學(xué)習(xí)讓學(xué)生

項(xiàng)。

仔細(xì)體會用配方法解方程的

一般步驟。(3)配方，方程兩邊都加上一

次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。

(4)原方程變?yōu)?x+k)2=a的形

式。

(5)如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可

用直接開平方法求取方程的解。

四、課堂練習(xí)：通過練習(xí)加

深學(xué)生用配

1、教材P34練習(xí)1（做在課

方法解一元

本上，學(xué)生口答）

對于第二題根據(jù)時間可以分兩

二次方程的

2、教材P34練習(xí)2組完成，學(xué)生板演，教師點(diǎn)評。

方法。

五、布置作業(yè)1、教材P42習(xí)題22.2第3題

六、總結(jié)反思：（針對學(xué)習(xí)目標(biāo)）可由學(xué)生自己完成，教師作適當(dāng)補(bǔ)充。

1、理解配方法解方程的含義。

2、要熟練配方法的技巧，來解一元二次方程，

3、掌握配方法解一元二次方程的一般步驟，并注意每一步的易錯點(diǎn)。

4、配方法解一元二次方程的解題思想：“降次”由二次降為一次。

第10課時配方法（6）

一、教學(xué)目標(biāo)：

（一）使學(xué)生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0,）可以轉(zhuǎn)化為適合于直接開平方法

的形式（x+m）2=n;

（二）記住配方的關(guān)鍵是“添加的常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”；

（三）在數(shù)學(xué)思想方法方面，使學(xué)生體會“轉(zhuǎn)化”的思想和掌握配方法。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握用配方法配一元二次方程。

難點(diǎn)：湊配成完全平方的方法與技巧。

三、教學(xué)指導(dǎo)：

1.從逆向思維啟發(fā)學(xué)生，關(guān)鍵在于把方程左邊構(gòu)造出一個完全平方式.

2.通過練習(xí)加深學(xué)生對“添一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”這句話的認(rèn)識和理解.

四、教學(xué)過程：

（一）復(fù)習(xí)

1.一元二次方程的一般形式是什么樣的?（注意a#0）

2.對于一元二次方程ax2=0（a翔）和ax2+c=0值知）,我們已經(jīng)學(xué)會了它們的解法。

例如解方程：（x-3『=4（讓學(xué)生說出過程）。

解：方程兩邊開方，得x-3=±2,移項(xiàng)，得x=3±2。

所以X,=5,X2=1.（并代回原方程檢驗(yàn)，是不是根）

3.其實(shí)（x-3）2=4展開、整理為一元二次方程。（把這個展開過程寫在黑板上）

（X-3）2=4,①

X2-6X+9=4,②

X2-6X+5=0.③

（二）新課

1.逆向思維

我們把上述由方程①一方程②一方程③的變形逆轉(zhuǎn)過來，可以發(fā)現(xiàn)，對于一個的一元二

次方程，不妨試試把它轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n的形式。這個轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是在方程左端構(gòu)造出一個

未知數(shù)的一次式的完全平方式（x+m）?。

2.通過觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

問：在x?+2x上添加一個什么數(shù)，能成為一個完全平方（x+?），（添一項(xiàng)+1）

即(X2+2X+1)=(X+1)2.

3.練習(xí)：填空：

X2+4X+()=(X+/；y2+6y+()=(y+)2.

算得X2+4X=2X-2,所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3,所以添3的平方。

總結(jié)規(guī)律：對于x?+px,再添上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，就能配出一個含未知數(shù)的一個次式的

完全平方式。即22.④

(讓學(xué)生對④式的右邊展開，體會括號內(nèi)第一項(xiàng)與第二項(xiàng)乘積的2倍，恰是左邊的一次項(xiàng)，

括號內(nèi)第二項(xiàng)的平方，恰是配方時所添的常數(shù)項(xiàng))

總結(jié)：左邊的常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。

問：如果左邊的一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，那么右邊括號里第二項(xiàng)的正負(fù)號怎么取?算理是什么?

4.鞏固練習(xí)(填空配方)

x2-bx+()=(x-/；x2-(m+n)x+()=(x-)2.

5.用配方法解一元二次方程(先將左邊化為(x土)2形式)

例1解方程：X2-8X-9=0.

解：移項(xiàng)，得X2-8X=9,

兩邊都加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，

x2-8x+42=q+42,

配方，得(x-4)-=25,

解這個方程，得x-4=±5,

移項(xiàng)，得x=4±5.

即xl=9,x2=-l.

例2解方程：X2-8X-8=0.

解：原方程移項(xiàng)，像X2?8X=8,方程左邊配方添一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，方程右邊也添

一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方

X2-8X+(X-4)2=8+(-4)2,

2

(X，4)=24,

x-4=±26,

所以Xi=4+26,X2=4?26.

例3解方程：X2-8X+18=0.

解:移項(xiàng)，得X2-8X=-18.

方程兩邊都加(-4)2,得

x2-8x+(-4)2=-l8+(-4)2,

(X-4)2=-2.

因?yàn)槠椒讲荒苁秦?fù)數(shù)，x-4不存在，所以x不存在，即原方程無解.

例4解方程x2+2mx+2=0,并指出n?取什么值時，這個方程有解.

分析：由例3可見，在方程左邊配方后，方程右邊式子的值決定了此方程是否有解,

當(dāng)方程右邊式子的值是正數(shù)或零，此方程有解，當(dāng)方程右邊式子的值是負(fù)數(shù)，此方程無解.

解：移項(xiàng)，Wx2+2mx=-2.

配方，兩邊加n?,得

x2+2mx+m2=m2-2,

(x+m)2=m2-2,

當(dāng)m2-2K),即m一2時,

X+W=±J”12-2,

所以m2>2,原方程有解0=一加+」x2=Jm2-2.

例5解方程：3X2+2X-3=0.

提問：二次項(xiàng)系數(shù)不是1,怎么辦？

五、課堂練習(xí)

1.用配方法解方程：X2-4X-3=0.

2.用配方法解法程：2X2+5X-1=0.

六、小結(jié)

1.填空:X2+px+()=(x4-)2.

2.用語言說出對于x2+px添上什么，才能成為一個完全平方？

3.用配方法解一元二次方程的步驟是：

(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為1:

(2)移項(xiàng)，使方程左邊只有二次項(xiàng)及一次項(xiàng)；

(3)在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

(4)變形為(x+m、的形式，如果n>0,得x+m=±Vn>,x=-m士J”..所以

X|=-m+Jn、X2=-m-J”、

七、達(dá)標(biāo)檢測

用配方法解方程：

(l)x2-10x+24=0;(2)X2+2X-99=0;

(3)/+5丫+2=0;(4)3X2-1=4X;(5)ax2+x-2=0(a>0)；

第11課時配方法（7）

教學(xué)目標(biāo)

1、理解“配方”是一種常用的數(shù)學(xué)方法，在用配方法將一元二次方程變形的過程中，

讓學(xué)生進(jìn)一步體會化歸的思想方法。

2、會用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程。

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：會用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程。

難點(diǎn)：用配方法將一元二次方程變形成可用因式分解法或直接開平方法解的方程。

教學(xué)過程

（-）復(fù)習(xí)引入

1、a2±2ab+b2=?

2、用兩種方法解方程（x+3p5=0。

如何解方程x2+6x+4=0呢？

（-）創(chuàng)設(shè)情境

如何解方程x2+6x+4=0呢？

（三）探究新知

1、利用“復(fù)習(xí)引入”中的內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生思考，得知：反過來把方程X2+6X+4=0化成（X+3）2-5=0

的形式，就可用前面所學(xué)的因式分解法或直接開平方法解。

2、怎樣把方程X2+6X+4=0化成（X+3/-5=0的形式呢？讓學(xué)生完成課本P.10的“做一

做”并引導(dǎo)學(xué)生歸納：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為“1”時，只要在二次項(xiàng)和一次項(xiàng)之后加上一次項(xiàng)系

數(shù)一半的平方，再減去這個數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在一個完全平方式里，這種做法叫作配

方.將方程一邊化為0,另一邊配方后就可以用因式分解法或直接開平方法解了，這樣解一

元二次方程的方法叫作配方法。

（四）講解例題

例1（課本P.11,例5）

［解］（1）X2+2X-3（觀察二次項(xiàng)系數(shù)是否為"I”）

=X2+2X+12-12-3（在一次項(xiàng)和二次項(xiàng)之后加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去

這個數(shù)，使它與原式相等）

=（X+1）2-4。（使含未知數(shù)的項(xiàng)在一個完全平方式里）

用同樣的方法講解（2）,讓學(xué)生熟悉上述過程，進(jìn)