全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題最小值是＿＿＿＿＿＿.數(shù)列的前n項(xiàng)和B=＿＿＿＿＿＿.3．函數(shù)的值域是＿＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿6.若正三棱錐的內(nèi)切球半徑為1，則其體積的最小值為＿＿＿＿＿＿.7.將1,2,,9隨機(jī)填入右圖正方形ABCD的九個(gè)格數(shù)，每列三數(shù)自上而下、自左而右順次成等差數(shù)列的概率p=____________.4}：＿＿＿＿＿＿以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將弓形AMB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度成弓形AMB，AA的中點(diǎn)為P，于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P，做O的兩條切線，切點(diǎn)為M,N，若直線MN在x,y軸上的截A∩B=⑦,就稱集合對(duì){A,B}是由M炮制成的一副“對(duì)聯(lián)”.(例如當(dāng)n=2時(shí)，由四元集{a,b,c,d}可炮制成三副“對(duì)聯(lián)”：{ab,cd}{ac,bd}，{ab,cd}{ad,bc}（2）對(duì)于一般的n≥2，求由2n元素集M所能炮制成的“對(duì)聯(lián)”數(shù)T(n).全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題答案4.4528證明角MFP=角PEN；再證角PNE=角MPF；然后證角MPN為直角1.（5分）已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，則“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件2.（5分）設(shè)全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，則CUA=()3.（5分）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的表面積是()A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm24.（5分）為了得到函數(shù)y=sin3x+cos3x的圖象，可以將函數(shù)y=N區(qū)cos3x的圖象()A.c≤3B.3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞97.（5分）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的圖象可能是8.（5分）記max{x，y}=，min{x，y}=，設(shè)，為平面向量，則9.（5分）已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅n≥3），從乙盒中隨機(jī)抽取i（i=1，2）個(gè)球放入甲盒中.（a）放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為ξi（i=1，2（b）放入i個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為pi（i=1，2）.則()A.p1＞p2，E(ξ1E(ξ2）B.p1＜p2，E(ξ1E(ξ2）（a98）|，k=1，2，3，則()A.I1＜I2＜I3B.I2＜I1＜I3C.I1＜I3＜I2D.I3＜I2＜I1二、填空題11.（4分）在某程序框圖如圖所示，當(dāng)輸入50時(shí)，則該程序運(yùn)算后輸出的結(jié)果是.13.（4分）當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足時(shí)，1≤ax+y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.14.（4分）在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無(wú)獎(jiǎng).將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有種（用數(shù)字作答）.15.（4分）設(shè)函數(shù)f（x）=，若f（f（a））≤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.16.（4分）設(shè)直線x-3y+m=0（m≠0）與雙曲線=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P（m，0）滿足|PA|=|PB|，則該17.（4分）如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°,則tanθ的最三、解答題（2）若sinA=，求ΔABC的面積.19.（14分）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an=（n∈N*）.若{an}為等比數(shù)列，且a1=2，b3=6+b2.(Ⅱ)設(shè)cn=（n∈N*）.記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn.（ii）求正整數(shù)k，使得對(duì)任意n∈N*均有Sk≥Sn.AB=CD=2，DE=BE=1，21.（15分）如圖，設(shè)橢圓Ca＞b＞0動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共22.（14分）已知函數(shù)f（x）=x3+3|x-a|（a∈R）.），），(Ⅱ)設(shè)b∈R，若[f（x）+b]2≤4對(duì)x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范圍.高考模擬題復(fù)習(xí)試卷習(xí)題資料高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（附詳細(xì)答案參考答案與試題解析1.（5分）已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，則“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，分別判斷“a=b=1”→“（a+bi）2=2i”與“a=b=1”?“（a+bi）2=2i”的真假，進(jìn)而根據(jù)充要條件的定義得到結(jié)論.【解答】解：當(dāng)“a=b=1”時(shí)，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分條件；故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要條件；綜上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要條件；故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件的定義，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.2.（5分）設(shè)全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，則CUA=()【分析】先化簡(jiǎn)集合A，結(jié)合全集，求得CUA.【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全集、補(bǔ)集的定義，求集合的補(bǔ)集，屬于基礎(chǔ)題.3.（5分）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的表面積是()A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2【分析】幾何體是直三棱柱與直四棱柱的組合體，根據(jù)三視圖判斷直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與底面的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，判斷四棱柱的高與底面矩形的邊長(zhǎng)，把數(shù)據(jù)代入表面積公式計(jì)算.【解答】解：由三視圖知：幾何體是直三棱柱與直四棱柱的組合體，其中直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面是直角邊長(zhǎng)分別為3、4的直角三角形，四棱柱的高為6，底面為矩形，矩形的兩相鄰邊長(zhǎng)為3和4，:幾何體的表面積S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量是解題的關(guān)鍵.4.（5分）為了得到函數(shù)y=sin3x+cos3x的圖象，可以將函數(shù)y=cos3x的圖象()個(gè)單位個(gè)單位【分析】利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)已知函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后利用平移原則判斷選項(xiàng)即可.解：函數(shù)y=sin3x+cos3x=故只需將函數(shù)y=cos3x的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)以及三角函數(shù)的平移變換的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查.【分析】由題意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，項(xiàng)的系數(shù)，求和即可.【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展開式中，含x3y0的系數(shù)是：=20.f（3，0）:f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.A.c≤3B.3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞9解得，則f（x）=x3+6x2+11x+c，故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查方程組的解法及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.7.（5分）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的圖象可能是【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分當(dāng)0＜a＜1時(shí)和當(dāng)a＞1時(shí)兩種情況，討論函數(shù)f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的圖象，比照后可得答案.【解答】解：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的圖象為：），故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵.8.（5分）記max{x，y}=，min{x，y}=，設(shè)，為平面向量，則示以，為鄰邊所做平行四邊形的兩條對(duì)角線，再根據(jù)選項(xiàng)內(nèi)容逐一判斷.【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，取丄，則由圖形可知，根據(jù)勾股定理，結(jié)論不成立；|2}=||2=4，而不等式右邊=||2+||2=2，故C不成立，D選項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題在處理時(shí)要結(jié)合著向量加減法的幾何意義，將放在同一個(gè)平行四邊形中進(jìn)行比較判斷，在具體解題時(shí)，本題采用了排除法，對(duì)錯(cuò)誤選項(xiàng)進(jìn)行舉反例說(shuō)明，這是高考中做選擇題的常用方法，也不失為一種快速有效的方法，在高考選擇題的處理上，未必每一題都要寫出具體解答步驟，針對(duì)選擇題的特點(diǎn)，有時(shí)“排除法”，“確定法”，“特殊值”代入法等也許是一種更快速，更有效的方法.9.（5分）已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅n≥3），從乙盒中隨機(jī)抽取i（i=1，2）個(gè)球放入甲盒中.（a）放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為ξi（i=1，2（b）放入i個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為pi（i=1，2）.則()A.p1＞p2，E(ξ1E(ξ2）B.p1＜p2，E(ξ1E(ξ2）【分析】首先，這兩次先后從甲盒和乙盒中拿球是相互獨(dú)立的，然后分兩種情況：即當(dāng)ξ=1時(shí)，有可能從乙盒中拿出一個(gè)紅球放入甲盒，也可能是拿到一個(gè)藍(lán)球放入甲盒；ξ=2時(shí)，則從乙盒中拿出放入甲盒的球可能是兩藍(lán)球、一紅一藍(lán)、或者兩紅；最后利用概率公），,,所以P1＞P2；故選：A.【點(diǎn)評(píng)】正確理解ξi（i=1，2）的含義是解決本題的關(guān)鍵.此題也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解.（a98）|，k=1，2，3，則()A.I1＜I2＜I3B.I2＜I1＜I3C.I1＜I3＜I2D.I3＜I2＜I1由×=×<1，+故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出這三個(gè)數(shù)與1的關(guān)系，屬于難題.二、填空題11.（4分）在某程序框圖如圖所示，當(dāng)輸入50時(shí)，則該程序運(yùn)算后輸出的結(jié)果是6.【分析】根據(jù)框圖的流程模擬運(yùn)行程序，直到滿足條件S＞50，跳出循環(huán)體，確定輸出的i【解答】解：由程序框圖知：第一次循環(huán)S=1，i=2；第二次循環(huán)S=2×1+2=4，i=3；第三次循環(huán)S=2×4+3=11，i=4；滿足條件S＞50，跳出循環(huán)體，輸出i=6.故答案為：6.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程模擬運(yùn)行程序是解答此類問(wèn)題的常用方法.【分析】結(jié)合方差的計(jì)算公式可知，應(yīng)先求出P(ξ=1），P(ξ=2），根據(jù)已知條件結(jié)合分布列的性質(zhì)和期望的計(jì)算公式不難求得.【解答】解析：設(shè)P(ξ=1）=p，P(ξ=2）=q，則由已知得p+q=，解得所以.【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了分布列的性質(zhì)以及期望、方差的計(jì)算公式.13.（4分）當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足時(shí)，1≤ax+y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【分析】由約束條件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，結(jié)合可行域內(nèi)特殊點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)滿足不等式列不等式組，求解不等式組得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答】解：由約束條件作可行域如圖，,解得C（1.,解得B（2，1）.:實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解法二：令z=ax+y，綜上所述即：1≤a≤;故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了不等式組得解法，是中檔題.14.（4分）在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無(wú)獎(jiǎng).將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有60種（用數(shù)字作答）.【分析】分類討論，一、二、三等獎(jiǎng)，三個(gè)人獲得；一、二、三等獎(jiǎng)，有1人獲得2張，1【解答】解：分類討論，一、二、三等獎(jiǎng)，三個(gè)人獲得，共有=24種；共有24+36=60種.故答案為：60.【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.（4分）設(shè)函數(shù)f（x）=，若f（f（a））≤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【分析】畫出函數(shù)f（x）的圖象，由f（f（a））≤2，可得f（a）≥-2，數(shù)形結(jié)合求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答】解：∵函數(shù)f（x）=，它的圖象如圖所示：））【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，其它不等式的解法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.16.（4分）設(shè)直線x-3y+m=0（m≠0）與雙曲線=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線（m，0）滿足|PA|=|PB|，可得=-3，從而可求【解答】解：雙曲線（a＞0，b＞0）的兩條漸近線方程為y=±x，則:AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(,),:=-3，:a=2b，:=b，:e==.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的離心率，考查直線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.17.（4分）如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°,則tanθ的最數(shù)的性質(zhì)，分類討論，即可得出結(jié)論.:BC=20m，,求出PP′，AP′，利用函由∠BCM=30°,得PP′=CP′tan30°=在直角ΔABP′中，AP′=:tanθ=?，:x=0時(shí)，取得最大值為=.若P′在CB的延長(zhǎng)線上，PP′=CP′tan30°=（20+x在直角ΔABP′中，AP′=，:tanθ=?，令y=，則y′=0可得x=時(shí)，函數(shù)取得最大值，故答案為：故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.三、解答題（2）若sinA=，求△ABC的面積.【分析】（1）利用倍角公式、兩角和差的正弦公式可得，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π),可得，即可得出.（2）利用正弦定理可得a，利用兩角和差的正弦公式可得sinB，再利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出.【解答】解：（1）由題意得，:由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π),:；:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理、倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.19.（14分）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an=且a1=2，b3=6+b2.（n∈N*）.若{an}為等比數(shù)列，(Ⅱ)設(shè)cn=（n∈N*）.記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn.（ii）求正整數(shù)k，使得對(duì)任意n∈N*均有Sk≥Sn.【分析】(Ⅰ)先利用前n項(xiàng)積與前（n-1）項(xiàng)積的關(guān)系，得到等比數(shù)列{an}的第三項(xiàng)的值，結(jié)合首項(xiàng)的值，求出通項(xiàng)an，然后現(xiàn)利用條件求出通項(xiàng)bn；(Ⅱ)（i）利用數(shù)列特征進(jìn)行分組求和，一組用等比數(shù)列求和公式，另一組用裂項(xiàng)法求和，得出本小題結(jié)論；（ii）本小題可以采用猜想的方法，得到結(jié)論，再加以證明.【解答】解：(Ⅰ)∵a1a2a3…an=,G9"∴a3=8.∵{an}為等比數(shù)列，且a1=2，∴（n∈N*）.,∴bn=n（n+1n∈N*）.(Ⅱ)（(Ⅱ)（i）∵cn=∴Sn=c1+c2+c3+…+cn而得綜上，對(duì)任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k=4.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式，還考查了分組求和法、裂項(xiàng)求和法和猜想證明的思想，證明可以用二項(xiàng)式定理，還可以用數(shù)學(xué)歸納法.本題計(jì)算量較大，思維層次高，要求學(xué)生有較高的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.本題屬于難題.AB=CD=2，DE=BE=1，【分析】(Ⅰ)依題意，易證AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD；(Ⅱ)作BF⊥AD，與AD交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG∥DE，與AE交cos∠BFG==，從而可求得答案.【解答】證明：(Ⅰ)在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=又平面ABC⊥平面BCDE，從而AC⊥所以AC⊥DE，又DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD；(Ⅱ)作BF⊥AD，與AD交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG∥DE，與AE交在ΔABE，ΔABG中，利用余弦定理分別可得cos∠BAE=，BG=.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力.22.（14分）已知函數(shù)f（x）=x3+3|x-a|（a∈R）.），），(Ⅱ)設(shè)b∈R，若[f（x）+b]2≤4對(duì)x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范圍.【分析】(Ⅰ)利用分段函數(shù)，結(jié)合[-1，1]，分類討論，即可求M（a）-m（ax∈