2025屆高三數(shù)學(xué)“8+3+3”小題期末專項練（11）等差數(shù)列、等比數(shù)列（新高考地區(qū)專用）解析版

2025屆高三數(shù)學(xué)“8+3+3”小題期末專項練（11）等差數(shù)列、等比數(shù)列一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.不選、多選、錯選均不得分.1．記為等差數(shù)列的前n項和，若，則（）A.45 B.90 C.180 D.240【答案】B【解析】由得，，整理得，即，所以.故選：B2．“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充要【答案】A【解析】若數(shù)列等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，所以，，且對任意的，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，即“數(shù)列是等差數(shù)列”“數(shù)列為等比數(shù)列”；另一方面，若數(shù)列為等比數(shù)列，不妨取，則數(shù)列為等比數(shù)列，但無意義，即“數(shù)列是等差數(shù)列”“數(shù)列為等比數(shù)列”.因此，“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.3．已知正項遞增等比數(shù)列的前項的和為，若，，則（）A.121 B.364 C.728 D.1093【答案】B【解析】在正項遞增等比數(shù)列中，所以，又，所以或（舍去），設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以，所以.故選：B.4．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，，成等差數(shù)列，若，則（）A.或15 B.15 C.或 D.【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由數(shù)列為正項數(shù)列，則，由，，為等差數(shù)列，則，即，即，解得或（舍去），又，所以.故選：B5．已知是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，為其前n項和，且，則當(dāng)取最大值時，（）A.10 B.20 C.25 D.50【答案】D【解析】∵，∴，由已知，得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．此時數(shù)列為常數(shù)列5，所以，故選：D6．已知等比數(shù)列滿足，，記為其前項和，則（）A. B. C. D.7【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，依題意，，，即，∴，，解得或，∴，，或，，，∴.故選：A7．已知數(shù)列的前項和為，其中，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以．故選：C.8．設(shè)數(shù)列的前項和為，，，則下列說法正確的是（）A.是等差數(shù)列 B.，，成等差數(shù)列，公差為C.當(dāng)時，取得最大值 D.時，的最大值為32【答案】A【解析】由，可得：數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.則.所以對于選項A：當(dāng)時，；當(dāng)時，；.數(shù)列是等差數(shù)列，故選項A正確；對于選項B：，，，則，所以，，成等差數(shù)列，公差為，故選項B錯誤；對于選項C：，當(dāng)或時，最大，故選項C錯誤；對于選項D：令，得，，即滿足的最大正整數(shù)，故選項D錯誤.故選：A二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．已知數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若是等差數(shù)列，且，則B.若是等比數(shù)列，且，則C.若，則是等差數(shù)列D.若是公比大于1的等比數(shù)列，則【答案】AB【解析】對于A，若是等差數(shù)列，則，且，則，A正確；對于B，若等比數(shù)列，顯然時，否則，不成立，，且，則，B正確；對于C，若，則，，，，數(shù)列不是等差數(shù)列，C錯誤；對于D，若，則，，不滿足，D錯誤.故選：AB10．已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)最大B.使得成立的最小自然數(shù)C.D.中最小項為【答案】ABD【解析】因為，所以，由，所以，所以，所以.所以，當(dāng)時，最大，故A正確；由，，所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確；由，且，所以，即，故C錯誤；因為當(dāng)時，，，所以；當(dāng)時，，，所以；當(dāng)時，，，所以.且，，所以中最小項為，故D正確.故選：ABD.11．已知數(shù)列的前項和為則下列說法正確的是（）A.是等比數(shù)列B.C.中存在不相等的三項構(gòu)成等差數(shù)列D.若，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A，根據(jù)題意易知，所以是等比數(shù)列，以1為首項，3為公比，，故A正確；對于B，同理，，即所以是等比數(shù)列，以3為首項，3為公比，，則，故B正確；對于C，假設(shè)中存在不相等的三項構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)該三項為，則，即，因為，所以，則上式不成立，所以不存在，故C錯誤；對于D項，若n為奇數(shù)，則，，而由A項可知，遞增，所以，，則，若n為偶數(shù)，則，，同理由A項可知，遞增，所以，，則，而，則，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知數(shù)列滿足，，若，，則值為______.【答案】或【解析】因為，，所以數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q.由，，得，，所以.當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則.綜上，的值為或.故答案為：或13.《莊子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”.已知長度為的線段PQ，取PQ的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖1），該等邊三角形的面積為，再取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖2），圖2中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類推，則____________.【答案】##【解析】由題可得，，從第2個等邊三角形起，每個三角形的面積為前一個三角形面積的，故每個正三角形的面積可構(gòu)成一個以為首