黑龍江省哈爾濱德強高級中學(xué)2024−2025學(xué)年高一下學(xué)期四月月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

黑龍江省哈爾濱德強高級中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期四月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知點，若點在軸上，且⊥，則點的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．2．已知向量，滿足，，且，則（）A．1 B． C． D．23．已知點，向量，向量，且，則（

）A． B． C． D．4．在中，為邊的中點.若，則（

）A． B．C． D．5．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則（

）A．1 B．-1 C．-2 D．26．在中，已知，且滿足，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形7．一扇中式實木仿古正方形花窗如圖所示，該窗有兩個正方形，將這兩個正方形（它們有共同的對稱中心與對稱軸）單獨拿出來放置于同一平面，如圖所示．已知分米，分米，點在正方形的四條邊上運動，當(dāng)取得最大值時，與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．在中，角所對的邊分別是，已知，且，當(dāng)取得最小值時，的最大內(nèi)角的余弦值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．已知向量，則下列選項正確的是（

）A． B．C．已知，若，則 D．與夾角的余弦值為10．下列命題中，正確的是（）A．在中，，則B．若，則為鈍角三角形C．若是等邊三角形，則，的夾角為D．在中，若，則必是等腰直角三角形11．設(shè)分別是的內(nèi)角的對邊，則下列條件中能確定為銳角的是（）A． B．C． D．12．在銳角中，角的對邊分別為，且滿足.則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．的取值范圍為 D．的取值范圍為三、填空題（本大題共4小題）13．在平行四邊形OACB中，已知，，O為坐標(biāo)原點，則頂點C的坐標(biāo)為.14．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則．15．已知為等腰三角形，且，則.16．平面向量兩兩不共線，滿足，且．若，則的最大值為．四、解答題（本大題共6小題）17．已知向量滿足．(1)若，求與的夾角；(2)若與共線，求的坐標(biāo)．18．已知向量，．(1)求；(2)若向量滿足，求向量；(3)在（2）的條件下，若，求實數(shù)的值.19．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知.(1)求角的大?。?2)若，的面積為，求的周長.20．在中，，，邊，上的點，滿足，，為中點．(1)設(shè)，求實數(shù)，的值；(2)若，求邊的長．21．如圖，在凸四邊形中，已知．(1)若，，求的值；(2)若，四邊形的面積為4，求的值．22．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，為內(nèi)一點.(1)證明：為等腰三角形；(2)若，，，求的最小值；(3)若，，，求的面積.

參考答案1．【答案】D【詳解】因為在軸上，所以可設(shè)，所以因為，所以，解得，故，故選D.2．【答案】A【詳解】由，，，兩邊平方可得，即，解得，則.故選A.3．【答案】D【詳解】設(shè)，因為向量，，則，，因為，所以，解得，∴.故.故選D.4．【答案】A【詳解】由圖可得，.故選A5．【答案】B【詳解】由題設(shè)知：，而得，∵，∴.故選B.6．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理得，再根據(jù)向量數(shù)量積得，則得到，即可判斷三角形形狀.【詳解】由題意得，即，由正弦定理得，即，則，因為，所以，又，所以,故，因為，所以．綜上可知三角形為等邊三角形．故選C.7．【答案】B【詳解】解：以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，則，，，，設(shè)與的夾角為，則，由投影的概念可得：當(dāng)與重合時，取得最大值，此時.故選B.8．【答案】C【分析】利用三角恒等變換結(jié)合正弦定理可得，再利用基本不等式求的最小值以及成立的條件，再根據(jù)余弦定理即可得結(jié)果.【詳解】因為，即，可得，即，由正弦定理可得，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，若取得最小值，則，此時最大角為角A，，所以的最大內(nèi)角的余弦值是.故選C.9．【答案】BC【詳解】對于A，易知，所以不垂直，即A錯誤；對于B，，可得，可得B正確；對于C，由且可得，解得，即C正確；對于D，設(shè)與的夾角為，所以，可得D錯誤.故選BC.10．【答案】AB【詳解】對于A中，設(shè)外接圓的半徑為，由，可得，所以，所以，所以A正確；對于B中，若，可得，即，因為，所以，所以為鈍角三角形，所以B正確；對于C中，若是等邊三角形，則的夾角為，所以C不正確；對于D中，因為，由正弦定理得，所以，則或，所以或，所以為等腰或直角三角形，所以D不正確.故選AB.11．【答案】AB【詳解】對于A選項：，即，故A正確；對于B選項：，，，，故B正確；對于C選項：，，，，．故C錯誤；對于D選項：，，，，故D錯誤．故選AB.12．【答案】ABD【詳解】由余弦定理得，，，所以，即，由正弦定理得，

①，又因為，所以

②，將②式代入①式可得，整理得，因為，所以，即，故A正確；在銳角中，，解得，故B正確；由，故C錯誤；又，，令，則，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，，，故D正確.故選.13．【答案】【詳解】設(shè)，因為，，則，，因為四邊形OACB為平行四邊形，所以，所以，則頂點C的坐標(biāo)為.14．【答案】/【詳解】在中，由及正弦定理，得，而，所以.15．【答案】/0.875【詳解】在中，令內(nèi)角所對邊分別為，由及正弦定理，得，顯然為底邊，否則不能構(gòu)成三角形，由余弦定理得.16．【答案】【詳解】不妨設(shè)由,由可得是的重心，由可得,由重心的性質(zhì)可得,,不妨設(shè),則，故由余弦定理可得，,所以記，平方可得,由于，所以，此時取最大值4，故的最大值為2，因此的最大值為.17．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，以及平面向量的夾角公式，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，以及向量模公式，即可求解．【詳解】（1），則，設(shè)與的夾角為，,，因為，，則，解得，故；（2）與共線，，則，由，故，解得，故或．18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因為向量，，所以.所以.（2）因為，所以.所以.（3）因為，由（2）知，.所以.所以即19．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理得，即，所以，因為，所以.（2）由（1）知，，所以，即，所以，又，即，所以的周長為.20．【答案】(1)，；(2)8.【詳解】（1）因為，，所以，，所以，又，且、不共線，所以，；（2）因為，所以，解得或（舍去），即邊的長為．21．【答案】(1)；(2)﹒【詳解】（1）在△中，∵，∴．在△中，由正弦定理得，，∴．∵，∴，∴．（2）在△、△中，由余弦定理得，，，從而①，由得，②，得，，∴．22．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）因為，由