2015年陜西高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

2015年高考陜西省理科數(shù)學(xué)真題一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2.某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（）A．167 B．137 C．123 D．933.如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（）A．5 B．6 C．8 D．104.二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為15，則（）A．4 B．5 C．6 D．75.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．6.“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要7.對任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是（）A． B．C． D．8.根據(jù)下邊的圖，當(dāng)輸入x為2006時，輸出的（）A．28 B．10 C．4 D．29.設(shè)，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是（）A． B． C． D．10.某企業(yè)生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額表所示，如果生產(chǎn)1噸甲乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（）A．12萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元11.設(shè)復(fù)數(shù)，若，則的概率（）A． B． C． D．12.對二次函數(shù)（a為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是（）A．-1是的零點(diǎn) B．1是的極值點(diǎn)C．3是的極值 D．點(diǎn)在曲線上二、填空題13.中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為14.若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的一個焦點(diǎn)，則p=15.設(shè)曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線與曲線上點(diǎn)p處的切線垂直，則p的坐標(biāo)為16.如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為三、解答題17.的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．向量與平行．求；若，求的面積．18.如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．證明：平面；若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．19.設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為，只與道路暢通狀況有關(guān)，對其容量為的樣本進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下：求的分布列與數(shù)學(xué)期望；劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率．20.已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的距離為．求橢圓的離心率；如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求橢圓的方程．21.設(shè)是等比數(shù)列，，，，的各項(xiàng)和，其中，，．證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)（記為），且；設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為，比較與的大小，并加以證明．22.如圖，切于點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，，垂足為．證明：；若，，求的直徑．23.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為．寫出的直角坐標(biāo)方程；為直線上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)綀A心的距離最小時，求的直角坐標(biāo)．2015年高考陜西省理科數(shù)學(xué)真題答案一、選擇題1.答案：A解析過程：由所以，選A2.答案：B解析過程：由圖可知該校女教師的人數(shù)為，選B3.答案：C解析過程：試題分析：由圖像得，當(dāng)時，求得，當(dāng)時，，選C4.答案：B解析過程：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)是，令得的系數(shù)是，因?yàn)榈南禂?shù)為，所以，即，解得：或，因?yàn)?，所以，選C5.答案：D解析過程：試題分析：由幾何體的三視圖可知該幾何體為圓柱的截去一半，所以該幾何體的表面積為，選6.答案：A解析過程：所以，選A7.答案：B解析過程：因?yàn)椋赃x項(xiàng)A正確；當(dāng)與方向相反時，不成立，所以選項(xiàng)B錯誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項(xiàng)C正確；所以選項(xiàng)D正確，選B8.答案：C解析過程：初始條件：；第1次運(yùn)行：；第2次運(yùn)行：；第3次運(yùn)行：；；第1003次運(yùn)行：；第1004次運(yùn)行：．不滿足條件，停止運(yùn)行，所以輸出的，故選 B．9.答案：B解析過程：，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以，故選C10.答案：D解析過程：設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為、噸，則利潤由題意可列，其表示如圖陰影部分區(qū)域：當(dāng)直線過點(diǎn)時，取得最大值，所以，故選D11.答案：D解析過程：如圖可求得，，陰影面積等于若，則的概率是，故選B．12.答案：A解析過程：假設(shè)選項(xiàng)A錯誤，則選項(xiàng)B、C、D正確，，因?yàn)?是的極值點(diǎn)，3是的極值，所以，，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，解得：，所以，，所以因?yàn)?，所以不是的零點(diǎn)，所以假設(shè)成立，選A二、填空題13.答案：5解析過程：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，則，所以，故該數(shù)列的首項(xiàng)為14.答案：解析過程：拋物線的準(zhǔn)線方程是，雙曲線的一個焦點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的一個焦點(diǎn)，所以，解得15.答案：（1,1）解析過程：因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，設(shè)的坐標(biāo)為（），則，因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，因?yàn)椋?，即，解得，因?yàn)?，所以，所以，即的坐?biāo)是16.答案：1.2解析過程：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：原始的最大流量是，設(shè)拋物線的方程為（），因?yàn)樵搾佄锞€過點(diǎn)，所以，解得，所以，即，所以當(dāng)前最大流量是，故原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值是三、解答題17.答案：（I）；（II）．解析過程：（I）因?yàn)?，所以，由正弦定理，得又，從而，由于，所?II)解法一：由余弦定理，得而得，即因?yàn)?，所?故ABC的面積為解法二：由正弦定理得，從而，又由，知，所以故所以的面積為18.答案：（I）證明見解析；（II）解析過程：（I）在圖1中，因?yàn)锳B=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn)，BAD=，所以BEAC即在圖2中，BE，BEOC從而BE平面又CDBE，所以CD平面.(II)由已知，平面平面BCDE，又由（1）知，BE，BEOC所以為二面角的平面角，所以.如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?所以得，.設(shè)平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為，則，得，取，，得，取，從而，即平面與平面夾角的余弦值為19.答案：T的分布列為：ET=32（分鐘）解析過程：（I）由統(tǒng)計結(jié)果可得T的頻率分步為（分鐘）25303540頻率0.20.30.40.1以頻率估計概率得T的分布列為253035400.20.30.40.1從而（分鐘）(II)設(shè)分別表示往、返所需時間，的取值相互獨(dú)立，且與T的分布列相同.設(shè)事件A表示“劉教授共用時間不超過120分鐘”，由于講座時間為50分鐘，所以事件A對應(yīng)于“劉教授在途中的時間不超過70分鐘”.解法一：.解法二：故.20.答案：解析過程：（I）過點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為，則原點(diǎn)O到直線的距離，由，得，解得離心率.(II)解法一：由（I）知，橢圓E的方程為.(1)依題意，圓心M(-2,1)是線段AB的中點(diǎn)，且.易知，AB不與x軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入(1)得設(shè)則由，得解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓E的方程為.解法二：由（I）知，橢圓E的方程為.(2)依題意，點(diǎn)A，B關(guān)于圓心M(-2,1)對稱，且.設(shè)則，，兩式相減并結(jié)合得.易知，AB不與x軸垂直，則，所以AB的斜率因此AB直線方程為，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得.故橢圓E的方程為.21.答案：（I）證明見解析；（II）當(dāng)時，，當(dāng)時，，證明見解析．解析過程：（I）則所以在內(nèi)至少存在一個零點(diǎn).又，故在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn).因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以，即，故.(II)解法一：由題設(shè)，設(shè)當(dāng)時,當(dāng)時,若,若,所以在上遞增，在上遞減，所以，即.綜上所述，當(dāng)時,；當(dāng)時解法二由題設(shè)，當(dāng)時,當(dāng)時,用數(shù)學(xué)歸納法可以證明.當(dāng)時,所以成立.假設(shè)時，不等式成立，即.那么，當(dāng)時，.又令，則所以當(dāng),,在上遞減；當(dāng),,在上遞增.所以，從而故.即，不等式也成立.所以，對于一切的整數(shù)，都有.解法三:由已知，記等差數(shù)列為,等比數(shù)列為,則，，所以,令當(dāng)時,,所以.當(dāng)時,而，所以，.若,,,當(dāng),,,從而在上遞減,在上遞增.所以，所以當(dāng)又,，故綜上所述，當(dāng)時,；當(dāng)時22.答案：見解析直徑為3解析過程：（Ⅰ）因?yàn)槭?/p>