吉林省白山市第七中學2023−2024學年高一下學期期中考試 數(shù)學試題（含解析）

吉林省白山市第七中學2023?2024學年高一下學期期中考試數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．設點O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量C．共線向量 D．共起點的向量2．已知復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．3．若直線平面，則下列說法正確的是（

）A．l僅垂直平面內(nèi)的一條直線 B．l僅垂直平面內(nèi)與l相交的直線C．l僅垂直平面內(nèi)的兩條直線 D．l與平面內(nèi)的任意一條直線垂直4．工人師傅在檢測椅子的四個“腳”是否在同一個平面上時，只需連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格.工人師傅運用的數(shù)學原理是（

）A．兩條相交直線確定一個平面B．兩條平行直線確定一個平面C．四點確定一個平面D．直線及直線外一點確定一個平面5．在中，內(nèi)角的對邊分別為.已知，則此三角形（

）A．無解 B．有一解C．有兩解 D．解的個數(shù)不確定6．已知向量，，且，，，則（

）A．8 B．9 C． D．7．在中，角的對邊分別為，且，則為（

）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形8．如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別為，AB上的中點，且，P點是正方形內(nèi)的動點，若平面，則P點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題錯誤的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則10．已知是兩個不重合的平面，是兩條不重合的直線，則下列命題中是真命題的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么與所成的角和與所成的角相等11．如圖為清代官員夏日所用官帽、涼帽的形制，無檐，形如圓錐，俗稱喇叭式．材料多為藤、竹制成．外裹綾羅，多用白色，也有用湖色、黃色等．不同型號的官帽大小經(jīng)常用帽坡長（母線長）和帽底寬（底面圓的直徑長）兩個指標進行衡量．現(xiàn)有一個官帽，帽坡長，帽底寬，關于此官帽，下面說法正確的是（

）A．官帽軸截面（過頂點和底面中心的截面圖形）的頂角為B．過官帽頂點和官帽側(cè)面上任意兩條母線的截面三角形的最大面積為C．若此官帽頂點和底面圓上所有點都在同一個球上，則該球的表面積為D．此官帽放在平面上，可以蓋住的球（保持官帽不變形）的最大半徑為三、填空題（本大題共3小題）12．已知是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則復數(shù)z的模為.13．已知平面向量滿足，且，則向量與的夾角為.14．一個鋼筋混凝土預制件可看成一個長方體挖去一個底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體，其尺寸如圖所示（單位：米），澆制一個這樣的預制件需要立方米混凝土（鋼筋體積略去不計）．四、解答題（本大題共5小題）15．已知是虛數(shù)單位，復數(shù)，．(1)當復數(shù)為實數(shù)時，求的值；(2)當復數(shù)為純虛數(shù)時，求的值；16．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足.（1）求的值（2）若，求的值.17．如圖，在直三棱柱中，，側(cè)棱，分別是的中點.(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離.18．如圖，在菱形中，，是的中點，且．(1)求；(2)以為圓心，2為半徑作圓弧，點是弧上的一點，求的最小值．19．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，是棱上一點，且平面.(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案1．【答案】B【分析】根據(jù)正三角形的中心到三個頂點的距離相等，得到這三個向量的模長相等，即可判斷得解.【詳解】是正的中心，向量分別是以三角形的中心和頂點為起點和終點的向量，到三個頂點的距離相等，但向量，，不是相同向量，也不是共線向量，也不是起點相同的向量.故選B.2．【答案】A【分析】設，求得，根據(jù)題意求得的值，即可求解.【詳解】設，可得因為，所以解得，所以.故選A.3．【答案】D【詳解】因為若直線平面，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直．所以ABC錯誤，D正確，故選：D4．【答案】A【分析】利用平面的基本性質(zhì)求解.【詳解】由于連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格，所以工人師傅運用的數(shù)學原理是“兩條相交直線確定一個平面”.故選A.5．【答案】C【分析】利用正弦定理可求得的值，再根據(jù)對邊，得到內(nèi)角，可得角有兩個解.【詳解】由正弦定理可得，得，可得.因為對邊，所以內(nèi)角.又因為，所以或，故此三角形有兩解.故選C.6．【答案】C【詳解】解：因為，所以，所以故選：C7．【答案】A【詳解】在中，由余弦定理得，，，因為，所以，即，即，又因為，所以，所以為等腰三角形.故選：A8．【答案】C【詳解】如圖所示，取的中點，的中點為，連接，則∥，，且∥，，可得∥，且，可知四邊形是平行四邊形，則∥，且平面，平面，可得∥平面，同理可得：∥平面，且，平面，可知平面∥平面，又因為P點是正方形內(nèi)的動點，平面，所以點在線段上，由題意可知：，可得，所以P點的軌跡長度為.故選：C.9．【答案】CD【詳解】解：，故A對，因為，故，故B對,虛數(shù)不能比較大小，故C錯，設仍為虛數(shù)，不能與0比較大小，故D錯.故選：CD.10．【答案】BCD【詳解】對于A，可運用長方體舉反例證明其錯誤，如圖，不妨設為直線為直線，四邊形所在的平面為，四邊形所在的平面為，顯然這些直線和平面滿足題目條件，但不成立，A錯誤；對于B，證明如下：設過直線的某平面與平面相交于直線，則，由知，從而；B正確對于C，由平面與平面平行的定義知，如果，那么C正確；對于D，由平行的傳遞性及線面角的定義知，如果，那么與所成的角和與所成的角相等，D正確．故選：BCD．11．【答案】ACD【分析】對于A，作圓錐的軸截面圖，通過題中數(shù)據(jù)可求得；對于B，界面三角形的面積，根據(jù)正弦函數(shù)鵝值域即可判斷；對于C，設外接球的球心為O，，則，，再計算即可；對于D，設是內(nèi)切球的球心，則，可求得，再解三角形即可.【詳解】如圖所示，，，，，，所以正確；，所以最大面積應為，所以錯誤；設外接球的球心為，則，，，可見球心在延長線上，，所以C正確；設是內(nèi)切球的球心，則，，，得到最大半徑為，所以正確．故選ACD.12．【答案】【詳解】由，故答案為：13．【答案】150°【詳解】由，得，即，因為，所以，所以，又，所以向量與的夾角為150°.故答案為：150°14．【答案】324【分析】將預制件看成由一個長方體挖去一個底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體，可求得截面的面積，由柱體的體積公式即可求得預制件的體積.【詳解】將預制件看成由一個長方體挖去一個底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體．所以（平方米），設該預制件的高為h，則該預制件的體積（立方米）．故澆制一個這樣的預制件需要約324立方米的混凝土．故答案為：324.15．【答案】(1)或(2)【詳解】（1）為實數(shù)，，解得：或.（2）為純虛數(shù)，，解得：.16．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理可得結果；（2）先由三角恒等變換求得，再由正弦定理可得結果.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，所以；（2）由（1）知，所以，又，所以，由正弦定理得.17．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）證明：如圖，取的中點，連，且，且，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面.（2）解：取中點，連，且為直三棱柱，為直角三角形且，平面，平面，，由（1）知，為直三棱柱，為中點，，，，平面，平面，，，設點到平面的距離為，，，有，得，故點到平面的距離為.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，所以，所以，所以，又，所以．為等邊三角形，又是中點，，是直角三角形，，，，；（2）以為坐標原點，所在直線為軸，垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示．則，，設，所以，，所以，其中，，，故，故當時，取最小值，所以，此時．19．【答案