小學(xué)高年級(jí)奧數(shù)自己教材和練習(xí)

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程

第1講速算與巧算

計(jì)算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過硬的計(jì)算本領(lǐng)。準(zhǔn)確、快速的計(jì)算

能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計(jì)算效率、節(jié)省計(jì)算時(shí)間，更可以鍛煉記

憶力，提高分析、判斷能力，促進(jìn)思維和智力的發(fā)展。

我們?cè)谌哪昙?jí)已經(jīng)講過一些四則運(yùn)算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的

基準(zhǔn)數(shù)法和乘法的補(bǔ)同與同補(bǔ)速算法。

為了更好的了解簡(jiǎn)便計(jì)算，我特地的編寫了一系列的計(jì)算公式，用字母表示如下：

加法交換律：a+b=b+a

力口法結(jié)合律：a+b+c=a+(b+c)

乘法交換律：axb=bxa

乘法結(jié)合律：axbxc=ax(bxc)

乘法分配律：axb+axc=ax(b+c)

加減法性質(zhì)：a-b-c=a-(b+c)

乘除法性質(zhì)：a+b+c=a+(bxc)

類似于等比等差數(shù)列的計(jì)算題目，此處暫時(shí)不做講解。后面會(huì)敘述！公式只是路而已，路對(duì)

了就是多加練習(xí)，說一千道一萬，不如納入到實(shí)踐中去練習(xí)一些題目。

例1：379+258+611+2010

分析：這個(gè)題目乍眼一看并沒有什么簡(jiǎn)便的方法，但是當(dāng)你仔細(xì)觀察你會(huì)發(fā)現(xiàn)，后第一項(xiàng)和

兩項(xiàng)他們之間有千絲萬縷的聯(lián)系，如果你沒有發(fā)現(xiàn)你不要害怕，也不要覺得自卑，那是因?yàn)?/p>

你的數(shù)感還不夠，等你認(rèn)真的學(xué)完這本書以后就會(huì)有大的進(jìn)步。

解379+258+611+2010

=379+258+(611+2010)

=379+258+2621

=(379+2621)+258

=3000+258

=3258(此題應(yīng)用了交換律和結(jié)合律)

例2：3822-466-356+1277-156-121

分析：這個(gè)題目有些長(zhǎng)，但是你可千萬不要被這個(gè)題目嚇住，孫子兵法：“知己知彼，百戰(zhàn)不

殆?！蹦阋欢ㄒ叫撵o氣的努力算下去，就是你沒有找到合適的方法也沒有關(guān)系，只要你算完

了，你就是英雄??！當(dāng)你算完你再看看這道題目的方法，你會(huì)覺得“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山

小”。

3822-466-356+1277-156-121

=3822-(466+356)+1277-(156+121)

=3822-822+1277-277

=(3822-822)+(1277-277)

=3000+1000

=4000(此處用到加減法性質(zhì)，多練習(xí)培養(yǎng)數(shù)感)

例319999+9999x9999

分析：這道題目有加法和乘法考慮使用乘法的分配律，但是直接運(yùn)用卻沒有法使用，只有拆

項(xiàng)，拆出可以使用的模式。

19999+9999x9999

=10000+9999+9999x9999

=9999+9999x9999+10000

=9999x(9999+1)+10000

=9999x10000+10000

=10000x(9999+1)

=100000000

例412345+125+8

=12345+(125x8)

=12345^1000

=12.345

例588x64=?

分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到

88x64

=(80+8)x(60+4)

=(80+8)x60+(80+8)x4

=80x60+8x60+80x4+8x4

=80x60+80x6+80x4+8x4

=80x(60+6+4)+8x4

=80x(60+10)+8x4

=8x(6+1)xl00+8x4o

于是，我們得到下面的速算式：

由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積，本例為8x4；積中從百位起前面

的數(shù)是“個(gè)位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個(gè)位與十位之和為10的因數(shù)”的十位數(shù)加1的乘

積,本例為8x(6+1)a

例677x91=?

解：由例3的解法得到

由上式看出，當(dāng)兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積是一位數(shù)時(shí)，應(yīng)在十位上補(bǔ)一個(gè)0,本例為7x1

=07。用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計(jì)算。

以上是簡(jiǎn)便計(jì)算，小數(shù)和整數(shù)同樣適用。下邊的計(jì)算題目另類，供你們欣賞。

求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如7x7=49(七七四十

九)。對(duì)于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了10?20的平方，而21?99的平方就不大

熟悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學(xué)們介紹一種方法一一

湊整補(bǔ)零法。所謂湊整補(bǔ)零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差，通過移多補(bǔ)少，將所

求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)整十?dāng)?shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方法。

例1求292和822的值。

解：292=29義29

=(29+1)x(29-1)+12

=30x28+1

=840+1

=841o

822=82x82

=(82-2)x(82+2)+22

=80x84+4

=6720+4

=6724o

由上例看出，因?yàn)?9比30少1,所以給29“補(bǔ)”1,這叫“補(bǔ)少”；因?yàn)?2比80多2,所

以從82中“移走”2,這叫“移多”。因?yàn)槭莾蓚€(gè)相同數(shù)相乘，所以對(duì)其中一個(gè)數(shù)“移多補(bǔ)少”后,

還需要在另一個(gè)數(shù)上“找齊”。本例中，給一個(gè)29補(bǔ)1,就要給另一個(gè)29減1；給一個(gè)82減

了2,就要給另一個(gè)82加上2。最后，還要加上“移多補(bǔ)少”的數(shù)的平方。

由湊整補(bǔ)零法計(jì)算352,得

35x35=40x30+52=1225o這與三年級(jí)學(xué)的個(gè)位數(shù)是5的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果相同。

這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。

例4求9932和20042的值。

解：9932=993x993

=(993+7)x(993-7)+72

=1000x986+49

=986000+49

=986049=

20042=2004x2004

=(2004-4)x(2004+4)+42

=2000x2008+16

=4016000+16

=4016016-

這幾道算式具有一個(gè)共同特點(diǎn)，兩個(gè)因數(shù)都是兩位數(shù)，一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)相同,

另一因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和為10o這類算式有非常簡(jiǎn)便的速算方法。

練習(xí)1

1.計(jì)算：

13+16+10+11+17+12+15+12+16+13+12?

2.計(jì)算下列各題：

(1)372；(2)532；(3)912；

3.計(jì)算下列各題：

(1)77x28；(2)66x55；

(3)33x19；(4)82x44；

(5)37x33；(6)46x99-

第2講高斯求和

德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯幼年(小學(xué)時(shí)期)時(shí)代聰明過人，上學(xué)時(shí)，有一天老師出了一道題

讓同學(xué)們計(jì)算：

1+2+3+4+...+99+100=?

老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么

算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：

1+100=2+99=3+98=...=49+52=50+51=

1?100正好可以分成這樣的50對(duì)數(shù)，每對(duì)數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算

為

(1+100)X100^2=5050o

小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡(jiǎn)單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”

的求和問題。

若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后

一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差。例

如：

(1)1,2,3,4,5,...?100；

(2)1,3,5,7,9,99；(3)8,15,22,29,36,71。

其中(1)是首項(xiàng)為1,末項(xiàng)為100,公差為1的等差數(shù)列；(2)是首項(xiàng)為1,末項(xiàng)為99,

公差為2的等差數(shù)列；(3)是首項(xiàng)為8,末項(xiàng)為71,公差為7的等差數(shù)列。

由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：

和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))x項(xiàng)數(shù)+2。

例11+2+3+…+1999=

分析與解：這串加數(shù)1,2,3,…，1999是等差數(shù)列，首項(xiàng)是1,末項(xiàng)是1999,共有1999個(gè)

數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得

原式=(1+1999)x19994-2=1999000c

注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個(gè)加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。

例211+12+13+...+31=

分析與解：這串加數(shù)11,12,13,…，31是等差數(shù)列，首項(xiàng)是11,末項(xiàng)是31,共有31-11

+1=21(項(xiàng))。

原式=(11+31)x21+2=441。

在利用等差數(shù)列求和公式時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)并不是一目了然的，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)首

項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系，可以得到

項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))+公差+1,

末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差x(項(xiàng)數(shù)-1)。

例33+7+11+...+99=

分析與解：3,7,11,…，99是公差為4的等差數(shù)列，

項(xiàng)數(shù)=(99-3)+4+1=25,

原式=(3+99)x25+2=1275。

利用等差數(shù)列求和公式及求項(xiàng)數(shù)和末項(xiàng)的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。

例4在下圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12厘米2,邊長(zhǎng)是1根火柴棍。問：(1)

最大三角形的面積是多少平方厘米？(2)整個(gè)圖形由多少根火柴棍擺成？

分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時(shí)，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表:

由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。

解：(1)最大三角形面積為

(1+3+5+...+15)xl2

=[(1+15)x8+2]X12

=768(平方厘米)。

2)火柴棍的數(shù)目為

3+6+9+…+24

=(3+24)x“2=108(根)。

答：最大三角形的面積是768厘米2,整個(gè)圖形由108根火柴擺成。

例5盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放

回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里……第十次

從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時(shí)盒子里共有多少只乒乓

球？

分析與解：一只球變成3只球，實(shí)際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2x2只

球……第十次多了2x10只球。因此拿了十次后，多了

2x1+2x2+...+2x10

=2x(1+2+...+10)

=2x55=110(只)。

加上原有的3只球，盒子里共有球110+3=113(只)。

綜合列式為：

(3-1)x(1+2+…+10)+3

=2x[(1+10)xlO+2]+3=113(只)。

練習(xí)3

1.計(jì)算下列各題：

(1)2+4+6+…+200；

(2)17+19+21+…+39；

(3)5+8+11+14+...+50；

(4)3+10+17+24+...+101o

2..時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘也敲一下。問：時(shí)鐘一晝

夜敲打多少次？

3.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。

4.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)大的數(shù)共有多少個(gè)？

第三講找規(guī)律(一)

我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)見過“找規(guī)律”這個(gè)題目，學(xué)習(xí)了如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)

律。這一講重點(diǎn)學(xué)習(xí)具有“周期性”變化規(guī)律的問題。什么是周期性變化規(guī)律呢？比如，一年

有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實(shí)累累

的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。年復(fù)一年，總是按照春、夏、秋、

冬四季變化，這就是周期性變化規(guī)律。再比如，數(shù)列0,1,2,0,1,2,0,1,2,0,…是

按照0,1,2三個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的，這也是周期性變化問題。

下面，我們通過一些例題作進(jìn)一步講解。

例1節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍(lán)燈、再接3盞黃燈，然后又

是5盞紅燈、4盞藍(lán)燈、3盞黃燈......這樣排下去。問：

(1)第100盞燈是什么顏色？

(2)前150盞彩燈中有多少盞藍(lán)燈？

分析與解：這是一個(gè)周期變化問題。彩燈按照5紅、4藍(lán)、3黃，每12盞燈一個(gè)周期循環(huán)出

現(xiàn)。

(1)100-12=8……4,所以第100盞燈是第9個(gè)周期的第4盞燈，是紅燈。

(2)150-12=12……6,前150盞燈共有12個(gè)周期零6盞燈，12個(gè)周期中有藍(lán)燈4x12=

48(盞)，最后的6盞燈中有1盞藍(lán)燈，所以共有藍(lán)燈48+1=49(盞)。

例2有一串?dāng)?shù)，任何相鄰的四個(gè)數(shù)之和都等于25。已知第1個(gè)數(shù)是3,第6個(gè)數(shù)是6,第11

個(gè)數(shù)是7。問：這串?dāng)?shù)中第24個(gè)數(shù)是幾？前77個(gè)數(shù)的和是多少？

分析與解：因?yàn)榈?,2,3,4個(gè)數(shù)的和等于第2,3,4,5個(gè)數(shù)的和，所以第1個(gè)數(shù)與第5

個(gè)數(shù)相同。進(jìn)一步可推知，第1,5,9,13,…個(gè)數(shù)都相同。

同理，第2,6,10,14,…個(gè)數(shù)都相同，第3,7,11,15,...個(gè)數(shù)都相同，第4,8,

12,16…個(gè)數(shù)都相同。

也就是說，這串?dāng)?shù)是按照每四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)的。所以，第2個(gè)數(shù)等于第6個(gè)

數(shù)，是6；第3個(gè)數(shù)等于第11個(gè)數(shù)，是7。前三個(gè)數(shù)依次是3,6,7,第四個(gè)數(shù)是

25-(3+6+7)=9-

這串?dāng)?shù)按照3,6,7,9的順序循環(huán)出現(xiàn)。第24個(gè)數(shù)與第4個(gè)數(shù)相同，是9。由77+4=

9……1知,前77個(gè)數(shù)是19個(gè)周期零1個(gè)數(shù),其和為25x19+3=478。

例3下面這串?dāng)?shù)的規(guī)律是：從第3個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)。問：這

串?dāng)?shù)中第88個(gè)數(shù)是幾？

628088640448...

分析與解：這串?dāng)?shù)看起來沒有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個(gè)相鄰數(shù)字與前面的某兩個(gè)相鄰

數(shù)字相同，那么根據(jù)這串?dāng)?shù)的構(gòu)成規(guī)律，這兩個(gè)相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個(gè)相鄰

數(shù)字后面的數(shù)字相同，也就是說將出現(xiàn)周期性變化。我們?cè)囍鴮⑦@串?dāng)?shù)再多寫出幾位：

當(dāng)寫出第21,22位(豎線右面的兩位)時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們與第1,2位數(shù)相同，所以這

串?dāng)?shù)按每20個(gè)數(shù)一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)。由88+20=4……8知，第88個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)相同，所以

第88個(gè)數(shù)是4。

從例3看出，周期性規(guī)律有時(shí)并不明顯，要找到它還真得動(dòng)點(diǎn)腦筋。

例4在下面的一串?dāng)?shù)中，從第五個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面四個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字。那么在

這串?dāng)?shù)中，能否出現(xiàn)相鄰的四個(gè)數(shù)是“2000”？

####7134...

分析與解：無休止地將這串?dāng)?shù)寫下去，顯然不是聰明的做法。按照例3的方法找到一周期，

因?yàn)檫@個(gè)周期很長(zhǎng)，所以也不是好方法。那么怎么辦呢？仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，這串?dāng)?shù)的前四個(gè)

數(shù)都是奇數(shù)，按照“每個(gè)數(shù)都是它前面四個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字”，如果不看具體數(shù)，只看數(shù)的

奇偶性，那么將這串?dāng)?shù)依次寫出來，得到

奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇...

可以看出，這串?dāng)?shù)是按照四個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)的，永遠(yuǎn)不會(huì)出現(xiàn)四個(gè)偶數(shù)

連在一起的情況，即不會(huì)出現(xiàn)“2000”。

例5A,B,C,D四個(gè)盒子中依次放有8,6,3,1個(gè)球。第1個(gè)小朋友找到放球最少的盒子,

然后從其它盒子中各取一個(gè)球放入這個(gè)盒子；第2個(gè)小朋友也找到放球最少的盒子，然后也

從其它盒子中各取一個(gè)球放入這個(gè)盒子……當(dāng)100位小朋友放完后，A,B,C,D四個(gè)盒子

中各放有幾個(gè)球？

分析與解：按照題意，前六位小朋友放過后，A,B,C,D四個(gè)盒子中的球數(shù)如下表：

可以看出，第6人放過后與第2人放過后四個(gè)盒子中球的情況相同，所以從第2人放過

后，每經(jīng)過4人，四個(gè)盒子中球的情況重復(fù)出現(xiàn)一次。

（100-1）+4=24.......3,

所以第100次后的情況與第4次（3+1=4）后的情況相同，A,B,C,D盒中依次有4,

6,3,5個(gè)球。

練習(xí)7

1.有一串很長(zhǎng)的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復(fù)

排列的。問：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？

2.將1,2,3,4,…除以3的余數(shù)依次排列起來，得到一個(gè)數(shù)列。求這個(gè)數(shù)列前100

個(gè)數(shù)的和。

3.有一串?dāng)?shù)，前兩個(gè)數(shù)是9和7,從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)是它前面兩個(gè)數(shù)乘積的個(gè)位數(shù)。

這串?dāng)?shù)中第100個(gè)數(shù)是幾？前100個(gè)數(shù)之和是多少？

4.有一列數(shù)，第一個(gè)數(shù)是6,以后每一個(gè)數(shù)都是它前面一個(gè)數(shù)與7的和的個(gè)位數(shù)。這列

數(shù)中第88個(gè)數(shù)是幾？

5.小明按1?3報(bào)數(shù)，小紅按1?4報(bào)數(shù)。兩人以同樣的速度同時(shí)開始報(bào)數(shù)，當(dāng)兩人都報(bào)

了100個(gè)數(shù)時(shí)，有多少次兩人報(bào)的數(shù)相同？

6.A,B,C,D四個(gè)盒子中依次放有9,6,3,0個(gè)小球。第1個(gè)小朋友找到放球最多

的盒子，從中拿出3個(gè)球放到其它盒子中各1個(gè)球；第2個(gè)小朋友也找到放球最多的盒子，

也從中拿出3個(gè)球放到其它盒子中各1個(gè)球......當(dāng)100個(gè)小朋友放完后，A,B,C,D四個(gè)

盒子中各放有幾個(gè)球？

第四講數(shù)字謎（一）

我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過一些簡(jiǎn)單的數(shù)字謎問題。這兩講除了復(fù)習(xí)鞏固學(xué)過的知識(shí)外，

還要學(xué)習(xí)一些新的內(nèi)容。

例1在下面算式等號(hào)左邊合適的地方添上括號(hào)，使等式成立：

5+7x8+12：4-2—20。

分析：等式右邊是20,而等式左邊算式中的7x8所得的積比20大得多。因此必須設(shè)法

使這個(gè)積縮小一定的倍數(shù)，化大為小。

從整個(gè)算式來看，7x8是4的倍數(shù)，12也是4的倍數(shù)，5不能被4整除，因此可在

7x8+12前后添上小括號(hào)，再除以4得17,5+17-2=20o

解：5+（7x8+12）4-4-2=20o

例2把1?9這九個(gè)數(shù)字填到下面的九個(gè)口里，組成三個(gè)等式（每個(gè)數(shù)字只能填一次）：

分析與解：如果從加法與減法兩個(gè)算式入手，那么會(huì)出現(xiàn)許多種情形。如果從乘法算式入手,

那么只有下面兩種可能：

2x3=6或2x4=8,

所以應(yīng)當(dāng)從乘法算式入手。

因?yàn)樵诩臃ㄋ闶健?□=口中，等號(hào)兩邊的數(shù)相等，所以加法算式中的三個(gè)口內(nèi)的三個(gè)數(shù)的

和是偶數(shù)；而減法算式□-口=可以變形為加法算式□=□+□,所以減法算式中的三個(gè)口內(nèi)的三個(gè)

數(shù)的和也是偶數(shù)。于是可知，原題加減法算式中的六個(gè)數(shù)的和應(yīng)該是偶數(shù)。

若乘法算式是2x4=8,則剩下的六個(gè)數(shù)1,3,5,6,7,9的和是奇數(shù)，不合題意；

若乘法算式是2x3=6,則剩下的六個(gè)數(shù)1,4,5,7,8,9可分為兩組：

4+5=9,8-7=1(或8-1=7)；

1+7=8,9-5=4(或9—4=5)。

所以答案為與

例3下面的算式是由1?9九個(gè)數(shù)字組成的，其中“7”已填好，請(qǐng)將其余各數(shù)填入口，使得等式

成立：

□□□+□□=□-□=口-7o

分析與解：因?yàn)樽蠖顺ㄊ阶拥纳瘫卮笥诘扔?,所以右端被減數(shù)只能填9,由此知左端被

除數(shù)的百位數(shù)只能填1,故中間減式有8-6,6-4,5-3和4-2四種可能。經(jīng)逐一驗(yàn)證，8-6,6-

4和4-2均無解，只有當(dāng)中間減式為5-3時(shí)有如下兩組解：

128+64=5-3=9-7,

或164+82=5-3=9-7。

例4將1?9九個(gè)數(shù)字分別填入下面四個(gè)算式的九個(gè)口中，使得四個(gè)等式都成立：

□+□=6,口'口=8,

口-口=6,口口-口=8。

分析與解：因?yàn)槊總€(gè)口中要填不同的數(shù)字，對(duì)于加式只有兩種填法：1+5或2+4；對(duì)于乘式

也只有兩種填法：1x8或2x4。加式與乘式的數(shù)字不能相同，搭配后只有兩種可能：

(1)加式為1+5,乘式為2x4；

(2)加式為2+4,乘式為1x8。

對(duì)于(1),還剩3,6,7,8,9五個(gè)數(shù)字未填，減式只能是9-3,此時(shí)除式無法滿足；

對(duì)于(2),還剩3,5,6,7,9五個(gè)數(shù)字未填，減式只能是9-3,此時(shí)除式可填56+7。

答案如下：

2+4=6,1x8=8,

9—3=6,56:7=8。

例2?例4都是對(duì)題目經(jīng)過初步分析后，將滿足題目條件的所有可能情況全部列舉出來,

再逐一試算，決定取舍。這種方法叫做枚舉法，也叫窮舉法或列舉法，它適用于只有幾種可

能情況的題目，如果可能的情況很多，那么就不宜用枚舉法。

例5從1?9這九個(gè)自然數(shù)中選出八個(gè)填入下式的八個(gè)。內(nèi)，使得算式的結(jié)果盡可能大：

[o^-ox(o+o)]-[oxo+o-o]o

分析與解：為使算式的結(jié)果盡可能大，應(yīng)當(dāng)使前一個(gè)中括號(hào)內(nèi)的結(jié)果盡量大，后一個(gè)中括號(hào)

內(nèi)的結(jié)果盡量小。為敘述方便，將原式改寫為：

[A+Bx(C+D)]-[EXF+G-H]O

通過分析，A,C,D,H應(yīng)盡可能大，且A應(yīng)最大，C,D次之，H再次之；B,E,F,

G應(yīng)盡可能小，且B應(yīng)最小，E,F次之，G再次之。于是得到A=9,C=8,D=7,H=6,B=l,

E=2,F=3,G=4,其中C與D,E與F的值可互換。將它們代入算式，得到

[9+1X(8+7)]-[2x3+4-6]=131o

練習(xí)9

1.在下面的算式里填上括號(hào)，使等式成立：

(1)4x6+24+6-5=15；

(2)4x6+24+6-5=35；

(3)4x6+24+6-5=48；

(4)4x6+24+6-5=0。

2.加上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)和括號(hào)，使下式成立：

12345=100o

3.把0?9這十個(gè)數(shù)字填到下面的口里，組成三個(gè)等式(每個(gè)數(shù)字只能填一次)：

口'口=|□口。

4.在下面的口里填上x,()等符號(hào)，使各個(gè)等式成立：

4口4口4口4=1,

4口4口4口4=3,

4口4口4口4=5,

4口4口4口4=9。

5.將2?7這六個(gè)數(shù)字分別填入下式的口中，使得等式成立：

□+口-口=口*口.口。

6.將1?9分別填入下式的九個(gè)□內(nèi)，使算式取得最大值：

□□□又□□□x□□口。

7.將1?8分別填入下式的八個(gè)口內(nèi)，使算式取得最小值：

□□、口口義口口、口口。

第五講數(shù)字謎(二)

例1把下面算式中缺少的數(shù)字補(bǔ)上：

分析與解：一個(gè)四位數(shù)減去一個(gè)三位數(shù)，差是一個(gè)兩位數(shù)，也就是說被減數(shù)與減數(shù)相差不到

100o四位數(shù)與三位數(shù)相差不到100,三位數(shù)必然大于900,四位數(shù)必然小于1100。由此我們

找出解決本題的突破口在百位數(shù)上。

(1)填百位與千位。由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差是兩位數(shù)，所以減數(shù)的

百位應(yīng)填9,被減數(shù)的千位應(yīng)填1,百位應(yīng)填0,且十位相減時(shí)必須向百位借1。

(2)填個(gè)位。由于被減數(shù)個(gè)位數(shù)字是0,差的個(gè)位數(shù)字是1,所以減數(shù)的個(gè)位數(shù)字是9o

(3)填十位。由于個(gè)位向十位借1,十位又向百位借1,所以被減數(shù)十位上的實(shí)際數(shù)值

是18,18分解成兩個(gè)一位數(shù)的和，只能是9與9,因此，減數(shù)與差的十位數(shù)字都是9。

所求算式如右式。

由例1看出，考慮減法算式時(shí)，借位是一個(gè)重要條件。

例2在下列各加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求出

這兩個(gè)算式：

分析與解：(1)這是一道四個(gè)數(shù)連加的算式，其特點(diǎn)是相同數(shù)位上的數(shù)字相同，且個(gè)

位與百位上的數(shù)字相同，即都是漢字“學(xué)”。

從個(gè)位相同數(shù)相加的情況來看，和的個(gè)位數(shù)字是8,有兩種可能情況：2+2+2+2=8與

7+7+7+7=28,即“學(xué)”=2或7。

如果“學(xué)”=2,那么要使三個(gè)“數(shù)”所代表的數(shù)字相加的和的個(gè)位數(shù)字為8,“數(shù)”只能代表

數(shù)字6。此時(shí)，百位上的和為“學(xué)”+“學(xué)”+1=2+2+1=5*。因此“學(xué)”力2。

如果“學(xué)”=7,那么要使三個(gè)“數(shù)”所代表的數(shù)字相加再加上個(gè)位進(jìn)位的2,和的個(gè)位數(shù)字

為8,“數(shù)”只能代表數(shù)字2。百位上兩個(gè)7相加要向千位進(jìn)位1,由此可得“我”代表數(shù)字3。

滿足條件的解如右式。

(2)由千位看出，“努”=4。由千、百、十、個(gè)位上都有“努”，5432-4444=988,可將豎

式簡(jiǎn)化為左下式。同理，由左下式看出，“力”=8,988-888=100,可將左下式簡(jiǎn)化為下中式，

從而求出“學(xué)”=9,“習(xí)”=1。

滿足條件的算式如右下式。

例2中的兩題形式類似，但題目特點(diǎn)并不相同，解法也不同，請(qǐng)同學(xué)們注意比較。

例3下面豎式中每個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求被乘數(shù)。

分析與解：由于個(gè)位上的“賽”x“賽”所得的積不再是“賽”，而是另一個(gè)數(shù)，所以“賽”的取值只

能是2,3,4,7,8,9?

下面采用逐一試驗(yàn)的方法求解。

(1)若“賽”=2,則“數(shù)”=4,積=444444。被乘數(shù)為444444+2=222222,而被乘數(shù)各個(gè)

數(shù)位上的數(shù)字各不相同，所以“賽”先。

(2)若“賽”=3,則“數(shù)”=9,仿(1)討論，也不行。

(3)若“賽”=4,則“數(shù)”=6,積=666666。666666+4得不到整數(shù)商,不合題意。

(4)若“賽”=7,則“數(shù)”=9,積=999999。被乘數(shù)為999999+7=142857,符合題意。

(5)若“賽”=8或9,仿上討論可知，不合題意。

所以，被乘數(shù)是142857。

例4在口內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下式的乘法豎式成立。

分析與解：為清楚起見，我們用A,B,C,D,…表示口內(nèi)應(yīng)填入的數(shù)字(見右上式)。

由被乘數(shù)大于500知，E=lo由于乘數(shù)的百位數(shù)與被乘數(shù)的乘積的末位數(shù)是5,故B,C

中必有一個(gè)是5。若C=5,則有

6口口x5=(600+口口)x5=3000+nn><5,

不可能等于口5口5,與題意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5,貝U

F=A=9,此時(shí)被乘數(shù)為695,無論C為何值，它與695的積不可能等于口5口5,與題意不符，

所以G=0,F=A=4。此時(shí)已求出被乘數(shù)是645,經(jīng)試驗(yàn)只有645x7滿足口5口5,所以C=7；最

后由B=5,G=0知D為偶數(shù)，經(jīng)試驗(yàn)知D=2。

右式為所求豎式。

此類乘法豎式題應(yīng)根據(jù)已給出的數(shù)字、乘法及加法的進(jìn)位情況，先填比較容易的未知數(shù),

再依次填其余未知數(shù)。有時(shí)某未知數(shù)有幾種可能取值，需逐一試驗(yàn)決定取舍。

例5在口內(nèi)填入適當(dāng)數(shù)字，使左下方的除法豎式成立。

分析與解：把左上式改寫成右上式。根據(jù)除法豎式的特點(diǎn)知，B=0,D=G=1,E=F=H=9,因

此除數(shù)應(yīng)是99的兩位數(shù)的約數(shù)，可能取值有H,33和99,再由商的個(gè)位數(shù)是5以及5與除

數(shù)的積是兩位數(shù)得到除數(shù)是11,進(jìn)而知A=C-9。至此，除數(shù)與商都已求出，其余未知數(shù)都

可填出（見右式）。

此類除法豎式應(yīng)根據(jù)除法豎式的特點(diǎn)，如商的空位補(bǔ)0、余數(shù)必須小于除數(shù)，以及空格

間的相互關(guān)系等求解，只要求出除數(shù)和商，問題就迎刃而解了。

例6把左下方除法算式中的*號(hào)換成數(shù)字，使之成為一個(gè)完整的式子（各*所表示的數(shù)字不一

定相同）。

分析與解：由上面的除法算式容易看出，商的十位數(shù)字“*”是0,即商為。

因?yàn)槌龜?shù)與8的積是兩位數(shù)，除數(shù)與商的千位數(shù)字的積是三位數(shù)，知商的千位數(shù)是9,

即商為9807□

因?yàn)椤俺龜?shù)x9”是三位數(shù)，所以除數(shù)N12；又因?yàn)椤俺龜?shù)x8”是兩位數(shù)，所以除數(shù)W12。推知

除數(shù)只能是12。被除數(shù)為9807x12=117684。

除法算式如上頁(yè)右式。

練習(xí)10

1.在下面各豎式的口內(nèi)填入合適的數(shù)字，使豎式成立：

2.右面的加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。問:

“小”代表什么數(shù)字？

3.在下列各算式中，不同的漢字代表不同的數(shù)字相同的漢字代表相同的數(shù)字。求出下

列各式：

4.在下列各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。這些

算式中各字母分別代表什么數(shù)字？

第六講歸一問題與歸總問題

在解答某些應(yīng)用題時(shí)，常常需要先找出“單一量”，然后以這個(gè)“單一量”為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)其

它條件求出結(jié)果。用這種解題思路解答的應(yīng)用題，稱為歸一問題。所謂“單一量”是指單位時(shí)

間的工作量、物品的單價(jià)、單位面積的產(chǎn)量、單位時(shí)間所走的路程等。

例1一種鋼軌，4根共重1900千克，現(xiàn)在有95000千克鋼，可以制造這種鋼軌多少根？（損

耗忽略不計(jì)）

分析：以一根鋼軌的重量為單一量。

（1）一根鋼軌重多少千克？

1900+4=475（千克）?

（2）95000千克能制造多少根鋼軌？

95000+475=200（根）。

解：95000+（1900+4）=200（根）。

答：可以制造200根鋼軌。

例2王家養(yǎng)了5頭奶牛，7天產(chǎn)牛奶630千克，照這樣計(jì)算，8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千

克？

分析：以1頭奶牛1天產(chǎn)的牛奶為單一量。

（1）1頭奶牛1天產(chǎn)奶多少千克？

630+5+7=18（千克）。

（2）8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千克？

18x8x15=2160（千克）o

解：（630+5+7）x8xl5=2160（千克）。

答：可產(chǎn)牛奶2160千克。

例3三臺(tái)同樣的磨面機(jī)2.5時(shí)可以磨面粉2400千克，8臺(tái)這樣的磨面機(jī)磨25600千克面粉需

要多少時(shí)間？

分析與解：以1臺(tái)磨面機(jī)1時(shí)磨的面粉為單一量。

（1）1臺(tái)磨面機(jī)1時(shí)磨面粉多少千克？

2400+3+2.5=320（千克）。

（2）8臺(tái)磨面機(jī)磨25600千克面粉需要多少小時(shí)？

25600+320+8=10（時(shí)）。

綜合列式為

25600+（2400+3+2.5）+8=10（時(shí)）。

例44輛大卡車運(yùn)沙土，7趟共運(yùn)走沙土336噸?，F(xiàn)在有沙土420噸，要求5趟運(yùn)完。問：需

要增加同樣的卡車多少輛？

分析與解：以1輛卡車1趟運(yùn)的沙土為單一量。

（1）1輛卡車1趟運(yùn)沙土多少噸？

336+4+7=12（噸）。

（2）5趟運(yùn)走420噸沙土需卡車多少輛？

420+12+5=7（輛）o

（3）需要增加多少輛卡車？

7-4=3（輛）。

綜合列式為

420+（336+4+7）+5-4=3（輛）。

與歸一問題類似的是歸總問題，歸一問題是找出“單一量”，而歸總問題是找出“總量”，

再根據(jù)其它條件求出結(jié)果。所謂“總量”是指總路程、總產(chǎn)量、工作總量、物品的總價(jià)等。

例5一項(xiàng)工程，8個(gè)人工作15時(shí)可以完成，如果12個(gè)人工作，那么多少小時(shí)可以完成？

分析：（1）工程總量相當(dāng)于1個(gè)人工作多少小時(shí)？

15x8=120（時(shí)）。

（2）12個(gè)人完成這項(xiàng)工程需要多少小時(shí)？

120X2=10（時(shí)）。

解：15x8^12=10（時(shí)）。

答：12人需10時(shí)完成。

例6一輛汽車從甲地開往乙地，每小時(shí)行60千米，5時(shí)到達(dá)。若要4時(shí)到達(dá)，則每小時(shí)需要

多行多少千米？

分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。

（1）從甲地到乙地的路程是多少千米？

60x5=300（千米）。

（2）4時(shí)到達(dá)，每小時(shí)需要行多少千米？

300+4=75（千米）。

（3）每小時(shí)多行多少千米？

75-60=15（千米）。

解：（60x5）+4——60=15（千米）o

答：每小時(shí)需要多行15千米。

例7修一條公路，原計(jì)劃60人工作，80天完成。現(xiàn)在工作20天后，又增加了30人，這樣

剩下的部分再用多少天可以完成？

分析：（1）修這條公路共需要多少個(gè)勞動(dòng)日（總量）？

60x80=4800（勞動(dòng)日）o

（2）60人工作20天后，還剩下多少勞動(dòng)日？

4800-60x20=3600（勞動(dòng)日）。

（3）剩下的工程增加30人后還需多少天完成？

3600+（60+30）=40（天）。

解：（60x80-60x20）+（60+30）=40（天）。

答:再用40天可以完成。

練習(xí)6

1.2臺(tái)拖拉機(jī)4時(shí)耕地20公頃，照這樣速度，5臺(tái)拖拉機(jī)6時(shí)可耕地多少公頃？

2.4臺(tái)織布機(jī)5時(shí)可以織布2600米，24臺(tái)織布機(jī)幾小時(shí)才能織布24960米？

3.一種幻燈機(jī)，5秒鐘可以放映80張片子。問：48秒鐘可以放映多少?gòu)埰樱?/p>

4.3臺(tái)抽水機(jī)8時(shí)灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺(tái)同樣的抽水機(jī)6時(shí)可以灌溉水

田多小公頃？

5.平整一塊土地，原計(jì)劃8人平整，每天工作7.5時(shí)，6天可以完成任務(wù)。由于急需播

種，要求5天完成，并且增加1人。問：每天要工作幾小時(shí)？

6.食堂管理員去農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)買雞蛋，原計(jì)劃按每千克3.00元買35千克。結(jié)果雞蛋價(jià)格下

調(diào)了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問：雞蛋價(jià)格下調(diào)后是每千克多少元？

7.鍋爐房按照每天4.5噸的用量?jī)?chǔ)備了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進(jìn)行了技

術(shù)改造，每天能節(jié)約0.9噸煤。問：這些煤共可以供暖多少天？

第7講年齡問題

年齡問題是一類以“年齡為內(nèi)容”的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。

年齡問題的主要特點(diǎn)是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年

齡隨著歲月的變化，將增或減同一個(gè)自然數(shù)；二人年齡的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)而發(fā)生變

化，年齡增大，倍數(shù)變小。

根據(jù)題目的條件，我們常將年齡問題化為“差倍問題”、“和差問題”、“和倍問題”進(jìn)行求

解。

例1兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？

分析與解：兒子今年10歲，5年前的年齡為5歲，那么5年前母親的年齡為5x6=30（歲），

因此母親今年是

30+5=35（歲）。

例2今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？

分析與解：今年爸爸與兒子的年齡差為“48—20”歲，因?yàn)槎说哪挲g差不隨時(shí)間的變化而

改變，所以當(dāng)爸爸的年齡為兒子的5倍時(shí)，兩人的年齡差還是這個(gè)數(shù)，這樣就可以用“差倍問

題”的解法。當(dāng)爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時(shí)，兒子的年齡是

（48——20）+（5——1）=7（歲）。

由20—7=13（歲），推知13年前爸爸的年齡是兒子年齡的5倍。

例3兄弟二人的年齡相差5歲，兄3年后的年齡為弟4年前的3倍。問：兄、弟二人今年各

多少歲？

分析與解：根據(jù)題意，作示意圖如下：

由上圖可以看出，兄3年后的年齡比弟4年前的年齡大5+3+4=12（歲），由“差倍問

題”解得，弟4年前的年齡為（5+3+4）-（3-1）=6（歲）。由此得到

弟今年6+4=10（歲），

兄今年10+5=15（歲）。

例4今年兄弟二人年齡之和為55歲，哥哥某一年的歲數(shù)與弟弟今年的歲數(shù)相同，那一年哥哥

的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍，請(qǐng)問哥哥今年多少歲？

分析與解：在哥哥的歲數(shù)是弟弟的歲數(shù)2倍的那一年，若把弟弟歲數(shù)看成一份，那么哥哥的

歲數(shù)比弟弟多一份，哥哥與弟弟的年齡差是1份。又因?yàn)槟且荒旮绺鐨q數(shù)與今年弟弟歲數(shù)相

等，所以今年弟弟歲數(shù)為2份，今年哥哥歲數(shù)為2+1=3（份）（見下頁(yè)圖）。

由“和倍問題”解得，哥哥今年的歲數(shù)為

55+（3+2）x3=33（歲）。

例5哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等，哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和

為97歲，請(qǐng)問二人今年各多少歲？

分析與解：由“哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等”可知兄妹二人的年齡差為“4+5”

歲。由“哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲”，可知兄妹二人今年的年齡和為

“97——2——8”歲。由“和差問題”解得，

兄[（97------2------8）+（4+5）]+2=48（歲），

妹[（97------2------8）-（4+5）]+2=39（歲）。

例61994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年

齡之和的2倍。問：父親出生在哪一年？

分析與解：如果用1段線表示兄弟二人1994年的年齡和，則父親1994年的年齡要用4段線

來表示（見下頁(yè)圖）。

父親在2000年的年齡應(yīng)是4段線再加6歲，而兄弟二人在2000年的年齡之和是1段線

再加2x6=12（歲），它是父親年齡的一半，也就是2段線再加3歲。由

1段+12歲=2段+3歲，

推知1段是9歲。所以父親1994年的年齡是9x4=36（歲），他出生于

1994——36=1958（年）。

例7今年父親的年齡為兒子的年齡的4倍，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍。問:

父子今年各多少歲？

解法一：假設(shè)父親的年齡一直是兒子年齡的4倍，那么每過一年兒子增加一歲，父親就要增

加4歲。這樣，20年后兒子增加20歲，父親就要增加80歲，比兒子多增加了80—20=60

（歲）。

事實(shí)上，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍，根據(jù)剛才的假設(shè)，多增加的60歲，

正好相當(dāng)于20年后兒子年齡的（4——2=）2倍，因此，今年兒子的年齡為

（20x4-20）+（4—2）-20=10（歲），

父親今年的年齡為10x4=40（歲）。

解法二：如果用1段線表示兒子今年的年齡，那么父親今年的年齡要用4段線來表示（見下

圖）。

20年后，父親的年齡應(yīng)是4段線再加上20歲，而兒子的年齡應(yīng)是1段線再加上20歲，

是父親年齡的一半，也就是2段線再加上10歲。由

1段+20=2段+10,

求得1段是10歲，即兒子今年10歲，從而父親今年40歲。

例8今年?duì)敔?8歲，長(zhǎng)孫27歲，次孫23歲，三孫16歲。問：幾年后爺爺?shù)哪挲g等于三個(gè)

孫子年齡之和？

分析：今年三個(gè)孫子的年齡和為27+23+16=66（歲），爺爺比三個(gè)孫子的年齡和多

78——66=12（歲）。每過一年，爺爺增加一歲，而三個(gè)孫子的年齡和卻要增加1+1+1=3

（歲），比爺爺多增加3—1=2（歲）。因而只需求出12里面有幾個(gè)2即可。

解：［78—（27+23+16）尸（1+1+1-1）=6（年）。

答：6年后爺爺?shù)哪挲g等于三個(gè)孫子年齡的和。

練習(xí)7

1.父親比兒子大30歲，明年父親的年齡是兒子年齡的3倍，那么今年兒子幾歲？

2.王梅比舅舅小19歲，舅舅的年齡比王梅年齡的3倍多1歲。問：他們二人各幾歲？

3.小明今年9歲，父親39歲，再過多少年父親的年齡正好是小明年齡的2倍？

4.父親年齡是女兒的4倍，三年前父女年齡之和是49歲。問：父女兩人現(xiàn)在各多少歲？

5.一家三口人，三人年齡之和是74歲，媽媽比爸爸小2歲，媽媽的年齡是兒子年齡的

4倍。問：三人各是多少歲？

6.今年老師46歲，學(xué)生16歲，幾年后老師年齡的2倍與學(xué)生年齡的5倍相等？

7.已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡

之和為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。問：祖孫三人各多少歲？

8.小樂問劉老師今年有多少歲，劉老師說：“當(dāng)我像你這么大時(shí)，你才3歲；當(dāng)你像我這么

大時(shí)，我已經(jīng)42歲了?！蹦隳芩愠鰟⒗蠋熡卸嗌贇q嗎？

第8講雞兔同籠問題與假設(shè)法

雞兔同籠問題是按照題目的內(nèi)容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國(guó)古算題。

許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題來加以計(jì)算。

例1小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個(gè)，數(shù)腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少

只？

分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有2x16=32（只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假

設(shè)的情況多了44-32=12（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。如果我們以同樣

數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了2只。因此只要算

出12里面有幾個(gè)2,就可以求出兔的只數(shù)。

解:有兔（44-2x16）甯（4-2）=6（只），

有雞16-6=10（只）。

答：有6只兔，10只雞。

當(dāng)然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應(yīng)該有4x16=64（只）腳，但實(shí)際上有

44只腳，比假設(shè)的情況少了64—44=20（只）腳，這是因?yàn)榘央u當(dāng)作兔了。我們以雞去換兔,

每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了4-2=2（只）。因此只要算出20里面有幾個(gè)2,就可

以求出雞的只數(shù)。

有雞（4x16-44）+（4-2）=10（只），

有兔16——10=6（只）。

由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；

也可以先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。

例2100個(gè)和尚140個(gè)饃，大和尚1人分3個(gè)饃，小和尚1人分1個(gè)饃。問：大、小和尚各有

多少人？

分析與解：本題由中國(guó)古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作

雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。

假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個(gè)，比實(shí)際多300—140=160（個(gè)）?，F(xiàn)在以

小和尚去換大和尚，每換一個(gè)總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少3------1=2（個(gè)），因?yàn)?60+2=

80,故小和尚有80人，大和尚有

100-80=20（人）o

同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，同學(xué)們不妨自己試試。

在下面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法。

例3彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢

280元。問：兩種文化用品各買了多少套？

分析與解：我們?cè)O(shè)想有一只“怪雞”有1個(gè)頭11只腳，一種“怪兔”有1個(gè)頭19只腳，它們共

有16個(gè)頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問題了。

假設(shè)買了16套彩色文化用品，則共需19x16=304（元），比實(shí)際多304——280=24

（元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19—11=8（元），所以

買普通文化用品24+8=3（套），

買彩色文化用品16—3=13（套）。

例4雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？

分析：假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳

比兔腳多200只，而實(shí)際上只多20只，這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實(shí)際上多200—

20=180（只）。

現(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就

會(huì)減少4+2=6（只），而180+6=30,因此有兔子30只，雞100——30=70（只）。

解：有兔（2x100——20）+（2+4）=30（只），

有雞100——30=70（只）。

答：有雞70只，兔30只。

例5現(xiàn)有大、小油瓶共50個(gè)，每個(gè)大瓶可裝油4千克，每個(gè)小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶

共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個(gè)？

分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。

解：小瓶有（4x50-20）+（4+2）=30（個(gè)），

大瓶有50-30=20（個(gè)）。

答：有大瓶20個(gè)，小瓶30個(gè)。

例6一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小

卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？

分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。

利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因?yàn)槊枯v大卡車比每輛小卡車多裝

4噸，所以要剩下4x36=144（噸）。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）

小卡車。這樣每輛小卡車能裝144+9=16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。

解：4x36+（45-36）x45=720（噸）。

答：這批鋼材有720噸。

例7樂樂百貨商店委托搬運(yùn)站運(yùn)送500只花瓶，雙方商定每只運(yùn)費(fèi)0.24元，但如果發(fā)生損壞,

那么每打破一只不僅不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償1.26元，結(jié)果搬運(yùn)站共得運(yùn)費(fèi)115.5元。問：

搬運(yùn)過程中共打破了幾只花瓶？

分析：假設(shè)500只花瓶在搬運(yùn)過程中一只也沒有打破，那么應(yīng)得運(yùn)費(fèi)0.24x500=120

（元）。實(shí)際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬運(yùn)站每打破一只花瓶要損失

0.24+1.26=1.5（元）。因此共打破花瓶4.5+1.5=3（只）。

解：（0.24x500-115.5）4（0.24+1.26）=3（只）。

答：共打破3只花瓶。

例8小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。

已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？

分析與解：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了

12x（2+3）=60（下）。

可求出小樂每分鐘跳

（780——60）+（2+3+3）=90（下），

小樂一共跳了90義3=270（下），因此小喜比小樂共多跳

780------270x2=240（下）。

練習(xí)8

1.雞、兔共有頭100個(gè)，腳350只，雞、兔各有多少只？

2.學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個(gè)學(xué)生

進(jìn)行活動(dòng)。問：象棋與跳棋各有多少副？

3.班級(jí)購(gòu)買活頁(yè)簿與日記本合計(jì)32本，花錢74元。活頁(yè)簿每本1.9元，日記本每本

3.1元。問：買活頁(yè)簿、日記本各幾本？

4.龜、鶴共有100個(gè)頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只？

5.小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5

角。問：賀年卡、明信片各買了幾張？

6.一個(gè)工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植樹112棵,

平均每天植樹14棵。問：這幾天中共有幾個(gè)雨天？

7.振興小學(xué)六年級(jí)舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有20道試題。做對(duì)一題得5分，沒做或做錯(cuò)一題

都要扣3分。小建得了60分，那么他做對(duì)了幾道題？

8.有一批水果，用大筐80只可裝運(yùn)完，用小筐120只也可裝運(yùn)完。已知每只大筐比每

只小筐多裝運(yùn)20千克，那么這批水果有多少千克？

9.蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀。現(xiàn)有三種小蟲共

18只，有118條腿和20對(duì)翅膀。問：每種小蟲各有幾只？

10.雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳92只。問：雞、兔各幾只？

第9講盈虧問題與比較法（一）

人們?cè)诜謻|西的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)遇到剩余（盈）或不足（虧），根據(jù)分東西過程中的盈或

虧所編成的應(yīng)用題叫做盈虧問題。

例1小朋友分糖果，若每人分4粒則多9粒；若每人分5粒則少6粒。問：有多少個(gè)小朋友

分多少粒糖？

分析：由