專題04 幾何圖形初步（原卷版）

專題04幾何圖形初步知識(shí)點(diǎn)1：認(rèn)識(shí)平面圖形、立體圖形和圖形分類（1）幾何圖形：幾何圖形是數(shù)學(xué)研究的主要對象之一.物體的形狀、大小和位置關(guān)系是幾何研究的內(nèi)容.像長方體、圓柱、球、長方形、正方形、圓、線段、點(diǎn)、三角形、梯形……它們都是幾何圖形.（2）立體圖形：有些幾何體（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）各個(gè)部分都不在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形.（3）平面圖形：有些幾何圖形（如線段、角、三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形、圓等）的各部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形.知識(shí)點(diǎn)2：立體圖形的展開圖立體圖形的展開圖:有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形.這樣的平面圖形稱為立體圖形的展開圖.如正方體的展開圖有如下幾種情況：中間四個(gè)面，上下各一面:中間三個(gè)面，一二隔河見:中間兩個(gè)面，樓梯天天見:中間沒有面，兩兩連成線:知識(shí)點(diǎn)3：點(diǎn)、線、面、體點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形中最基本的圖形.線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線.面：包圍著體的是面，分為平面和曲面.體：幾何體也簡稱體.點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體.知識(shí)點(diǎn)4：直線、射線與線段的概念知識(shí)點(diǎn)5：基本事實(shí)1.經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線.2.兩點(diǎn)之間的線段中，線段最短，簡稱兩點(diǎn)間線段最短.知識(shí)點(diǎn)6：基本概念1.兩點(diǎn)間的距離：兩個(gè)端點(diǎn)之間的長度叫做兩點(diǎn)間的距離.2.線段的等分點(diǎn)：把一條線段平均分成兩份的點(diǎn)，叫做這個(gè)線段的中點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)7：雙中點(diǎn)模型C為線段AB上任意一點(diǎn)，M、N分別為AC、BC中點(diǎn)，則.知識(shí)點(diǎn)8：角的概念1． 角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．圖1圖2（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．注意：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號(hào)用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如∠1，∠2，∠3等；②用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等；③用一個(gè)大寫英文字母表示一個(gè)獨(dú)立（在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角）的角，如∠B，∠C等；④用三個(gè)大寫英文字母表示任一個(gè)角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等.注意：用三個(gè)大寫英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè).3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角．知識(shí)點(diǎn)9：角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″．知識(shí)點(diǎn)10：鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題．知識(shí)點(diǎn)11：方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正東、正西、正南、正北4個(gè)方向不需要用角度來表示．（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”．（3）在同一問題中觀測點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀測點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向．（4）圖中的點(diǎn)O是觀測點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)12：角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．知識(shí)點(diǎn)13：角的運(yùn)算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知識(shí)點(diǎn)14：余角和補(bǔ)角（1）余角：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么稱這兩個(gè)角互為余角，簡稱互余，也可以說其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.∠A+∠C=90°，∠A=90°-∠C，∠C的余角=90°-∠C，即∠A的余角=90°-∠A.（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角叫互為補(bǔ)角．其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角.∠A+∠C=180°，∠A=180°-∠C，∠C的補(bǔ)角=180°-∠C，即∠A的補(bǔ)角=180°-∠A.（3）補(bǔ)角的性質(zhì)：同角的補(bǔ)角相等.比如：∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，則∠C=∠B.等角的補(bǔ)角相等.比如：∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，∠A=∠D，則∠C=∠B.（4）余角的性質(zhì)：同角的余角相等.比如：∠A+∠B=90°，∠A+∠C=90°，則∠C=∠B.等角的余角相等.比如：∠A+∠B=90°，∠D+∠C=90°，∠A=∠D，則∠C=∠B.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：直線、射線、線段、角的相關(guān)概念【典例1】下列說法錯(cuò)誤的是（）A．直線和直線表示同一條直線 B．過一點(diǎn)能作無數(shù)條直線C．射線和射線表示不同射線 D．射線比直線短【變式1-1】把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程，其道理用幾何知識(shí)解釋正確的是()A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．垂線段最短C．線段的長度可以測量 D．兩點(diǎn)之間線段最短【變式1-2】下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)O在線段上 B．點(diǎn)B是直線的一個(gè)端點(diǎn)C．射線和射線是同一條射線 D．圖中共有3條線段【變式1-3】圖中直線、射線、線段能相交的是（

）A． B． C． D．【變式1-4】已知A、B、C三點(diǎn)，若過其中任意兩點(diǎn)畫一條直線，則畫出的不同直線（

）A．一定有三條 B．只能有一條C．可能有三條，也可能只有一條 D．以上結(jié)論都不對【典例2】下列說法中，正確的是（

）A．一個(gè)周角就是一條射線 B．平角是一條直線C．角的兩邊越長，角就越大 D．也可以表示為【變式2-1】如圖所示，圖中共有多少個(gè)小于平角的角（

）

A．10個(gè) B．9個(gè) C．8個(gè) D．4個(gè)【變式2-2】下列說法中，正確的是（

）A．兩條射線組成的圖形叫做角B．有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫做角C．角可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形D．角的邊越長，角越大【變式2-3】圖中角的個(gè)數(shù)是（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【變式2-4】如圖，下列說法正確的是（

）

A． B．圖中只有兩個(gè)角，即和C．與表示同一個(gè)角 D．與表示同一個(gè)角考點(diǎn)二：根據(jù)線段間的關(guān)系判斷結(jié)論【典例3】杭衢高鐵線上，要保證衢州、金華、義烏、諸暨、杭州每兩個(gè)城市之間都有高鐵可乘，需要印制不同的火車票（）A．20種 B．15種 C．10種 D．5種【變式3-1】如圖，在線段AD上有兩點(diǎn)B，C，則圖中共有_____條線段，若在車站A、D之間的線路中再設(shè)兩個(gè)站點(diǎn)B、C，則應(yīng)該共印刷_____種車票．A．3，3 B．3，6 C．6，6 D．6，12【變式3-2】將一段72cm長的繩子，從一端開始每3cm作一記號(hào)，每4cm也作一記號(hào)，然后從有記號(hào)的地方剪斷，則這段繩子共被剪成的段數(shù)為（）A．37 B．36 C．35 D．34【變式3-3】數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這個(gè)數(shù)軸上隨意畫出一條長為18厘米的線段AB，則線段AB蓋住的整點(diǎn)數(shù)是(

)A．17個(gè)或18個(gè) B．17個(gè)或19個(gè) C．18個(gè)或19個(gè) D．18個(gè)或20個(gè)【變式3-4】下列說法中，正確的是（

）A．在所有連接兩點(diǎn)的線中，直線最短B．線段與線段是不同的兩條線段C．如果點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，那么D．如果，那么點(diǎn)是線段的中點(diǎn)考點(diǎn)三：根據(jù)線段間的關(guān)系求線段的長度【典例4】如圖，線段，C是線段的中點(diǎn)，D是線段的中點(diǎn)．(1)求線段的長；(2)在線段上有一點(diǎn)E，，求的長．【變式4-1】如圖，線段，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．

(1)求線段的長度；(2)在上取一點(diǎn)N，使得．求的長．【變式4-2】如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，．(1)求的長；(2)若為的中點(diǎn)，求長．考點(diǎn)四：鐘表中的角度計(jì)算【典例5】在上午時(shí)，鐘表上的時(shí)針與分針的夾角是()A． B． C． D．【變式5-1】從分到分，時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度是（

）A． B． C． D．【變式5-2】實(shí)驗(yàn)中學(xué)上午時(shí)通常準(zhǔn)時(shí)上第三節(jié)課，此時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角是（

）A． B． C． D．【變式5-3】鐘表的指針在不停地轉(zhuǎn)動(dòng)，從3時(shí)到5時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了度．考點(diǎn)五：根據(jù)角與角之間的關(guān)系判斷結(jié)論【典例6】如圖，兩個(gè)直角和有公共頂點(diǎn)O，下列結(jié)論：①；②；③；④若平分，則平分；⑤的平分線與的平分線是同一條射線．其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式6-1】已知，，，則相等的兩個(gè)角是（

）A． B． C． D．無法確定【變式6-2】在下列說法中，正確的是（

）A．比較角的大小就是比較角的度數(shù)大小B．從角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線把這個(gè)角分成兩個(gè)角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線C．若，則OC是∠AOB的平分線D．用一個(gè)放大鏡能夠把一個(gè)圖形放大，也能夠把一個(gè)角的度數(shù)放大【變式6-3】如圖，為內(nèi)一條射線，下列條件中能確定平分的是（

）

A． B．C． D．考點(diǎn)六：根據(jù)角與角之間的關(guān)系求角度【典例7】如圖，已知是的角平分線，是的角平分線．（1）若，，求的度數(shù)；（2）若，且，求的度數(shù)．【變式7-1】已知：如圖，在內(nèi)部有（）．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，平分，平分，求的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)從的位置開始，繞著點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)秒時(shí)，使，求的值．【變式7-2】如圖，已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O，在∠COB的內(nèi)部作射線OE.（1）若∠AOC=36°，∠COE=90°，求∠BOE的度數(shù)；（2）若∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，求∠AOE的度數(shù).【變式7-3】如圖，在直線上，射線平分，射線在內(nèi)．

(1)若，求證：射線是的平分線；(2)若，，求的度數(shù)．考點(diǎn)七：線段中的分類討論思想問題【典例8】點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段上一點(diǎn)，，若線段，則．【變式8-1】點(diǎn)A、B、C在直線l上，線段，線段，則線段的長是（）A．10 B．2 C．2或5 D．10或2【變式8-2】已知線段，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，直線上有一點(diǎn)C，且，則線段．考點(diǎn)八：角度中的分類討論思想問題【典例9】將直角三角板的直角頂點(diǎn)O放在直線上，射線平分．(1)如圖，若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)；(3)將直角三角板繞頂點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【變式9-1】劉星對幾何中角平分線等興趣濃厚，請你和他一起探究下面問題吧，已知，射線，分別是和的角平分線．(1)如圖，若射線在的內(nèi)部，且，求的度數(shù)；(2)如圖，若射線在的內(nèi)部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則的度數(shù)；(3)若射線在的外部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)中，均指小于的角，其余條件不變，請借助圖探究的大小．過關(guān)檢測一、選擇題1．如圖，是一個(gè)圓柱體模型，若從這個(gè)圓柱的左邊向右看，則得到的平面圖形是（）A． B． C． D．2．如果一個(gè)角的補(bǔ)角是，那么這個(gè)角的余角是（

）A． B． C． D．3．如圖，將一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，點(diǎn)A、B分別落在點(diǎn)A′B′處，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．4．如圖所示，O是直線AB上的一點(diǎn)，∠AOC=∠FOE=90°，則圖中∠EOC與∠BOF的關(guān)系是（）A．相等 B．互余 C．互補(bǔ) D．互為鄰補(bǔ)角5．下列圖形中，能用∠ABC，∠B，∠1表示同一個(gè)角的是（

）A．B．C． D．6．如圖，已知是的平分線，則下列結(jié)論：①；②；③；④.其中正確的有（

）A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④7．如圖，通常我們描述點(diǎn)B和點(diǎn)C的方向,分別為(

)A．南偏東25°,北偏西60° B．東偏南65°,西偏北60°C．北偏東155°,南偏西120° D．西偏南115°,東偏北150°8．如圖，已知是直線上一點(diǎn)，，平分，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．9．在直線上取三點(diǎn)、、，使線段，，則線段的長為（

）A． B． C．或 D．或10．一副三角尺按如