10.3 實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組 教學(xué)設(shè)計(jì) 2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

10.3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容

本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第十章"二元一次方程組"的10.3節(jié)"實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組"，主要內(nèi)容是通過(guò)建立二元一次方程組模型解決包含兩個(gè)未知量的實(shí)際問(wèn)題，包括運(yùn)輸成本核算、生產(chǎn)資源配置、工程進(jìn)度規(guī)劃等典型應(yīng)用場(chǎng)景。內(nèi)容解析

二元一次方程組是解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的重要工具，本節(jié)課在掌握解法的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)訓(xùn)練學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象數(shù)學(xué)模型的建模能力。通過(guò)分析題干中的關(guān)鍵信息，識(shí)別等量關(guān)系，建立方程組并求解，最終驗(yàn)證解的合理性。這種數(shù)學(xué)建模思想為后續(xù)學(xué)習(xí)分式方程、二次函數(shù)等復(fù)雜數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)，同時(shí)培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析和決策能力。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)

(1)能準(zhǔn)確識(shí)別實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系，建立二元一次方程組模型

(2)掌握"審→設(shè)→列→解→驗(yàn)→答"六步解題法，規(guī)范解題過(guò)程

(3)能針對(duì)不同應(yīng)用場(chǎng)景靈活選擇未知數(shù)設(shè)定方法2.目標(biāo)解析

通過(guò)典型例題的梯度訓(xùn)練，學(xué)生將形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模思維：首先從生活情境中提取關(guān)鍵數(shù)據(jù)，通過(guò)表格法梳理已知量和未知量的關(guān)系；其次根據(jù)數(shù)量關(guān)系（如總量相等、比例關(guān)系等）建立方程組；最后通過(guò)代入消元法或加減消元法求解。這種訓(xùn)練能顯著提升學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，為九年級(jí)學(xué)習(xí)二次函數(shù)應(yīng)用題積累經(jīng)驗(yàn)。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析抽象建模困難：學(xué)生難以從文字描述中提取有效數(shù)據(jù)，特別是隱含的等量關(guān)系（如"甲比乙多5噸"對(duì)應(yīng)x?變量設(shè)定誤區(qū)：部分學(xué)生會(huì)錯(cuò)誤設(shè)定多個(gè)未知數(shù)，導(dǎo)致方程組復(fù)雜度增加驗(yàn)證環(huán)節(jié)缺失：求解后不檢驗(yàn)解是否符合實(shí)際意義（如人數(shù)不能為負(fù)數(shù)）單位轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤：實(shí)際問(wèn)題中常涉及"元/噸"與"萬(wàn)元/t"等單位換算四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）情景引入問(wèn)題1

某奶茶店推出"買二送一"活動(dòng)，小明的班級(jí)用210元購(gòu)買了6杯奶茶，已知原價(jià)奶茶每杯比折扣奶茶貴5元，原價(jià)奶茶和折扣奶茶各買了多少杯？問(wèn)題2

實(shí)驗(yàn)室需要配置濃度為15%的鹽水溶液?，F(xiàn)有濃度10%和20%的兩種鹽水，應(yīng)各取多少升混合才能得到6升目標(biāo)溶液？問(wèn)題3

某快遞公司的運(yùn)費(fèi)計(jì)算，首重1kg內(nèi)收費(fèi)12元，續(xù)重每0.5kg收費(fèi)2元。小芳寄出兩個(gè)包裹共支付46元，且包裹A比包裹B多1.5kg，求兩個(gè)包裹的重量。設(shè)計(jì)意圖

通過(guò)生活化的購(gòu)物、實(shí)驗(yàn)、快遞場(chǎng)景引發(fā)興趣，滲透"數(shù)學(xué)源于生活"的理念。三個(gè)問(wèn)題分別對(duì)應(yīng)"和差問(wèn)題""混合問(wèn)題""分段計(jì)費(fèi)"三類典型應(yīng)用題，為后續(xù)建模做好鋪墊。（二）合作探究1探究1（改編自教材"養(yǎng)牛場(chǎng)飼料問(wèn)題"）

某生態(tài)農(nóng)場(chǎng)用秸稈加工飼料，第一批處理30捆玉米稈和15捆小麥稈，產(chǎn)出飼料675kg；第二批處理12捆玉米稈和5捆小麥稈，產(chǎn)出飼料940kg。每捆玉米稈和小麥稈的出料率各是多少？追問(wèn)

(1)題干中"處理"對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)中的什么運(yùn)算？

(2)如何用x,y分別表示兩種秸稈的出料率？分析

設(shè)每捆玉米稈出料x(chóng)kg，小麥稈出料ykg

建立方程組：

30x

解得：

x（三）鞏固練習(xí)1練習(xí)1

3本精裝書(shū)和5本平裝書(shū)總價(jià)180元，2本精裝書(shū)比3本平裝書(shū)貴30元。求每類書(shū)的價(jià)格。

解析

設(shè)精裝書(shū)x元，平裝書(shū)y元

建立方程組：

3x

解得：

x練習(xí)2

某校組織觀影活動(dòng)，若租用45座大巴車需要5輛且多15個(gè)座位；若租用60座大巴車則少1輛且多30個(gè)座位。求學(xué)生人數(shù)和計(jì)劃用車數(shù)。

解析

設(shè)學(xué)生n人，原計(jì)劃用車m輛

建立方程組：

45m

解得：

n（四）合作探究2探究2（教材"土地劃分問(wèn)題"拓展）

某生態(tài)園將長(zhǎng)200m、寬100m的矩形土地劃分為A、B兩區(qū)種植草莓和藍(lán)莓。已知草莓單位面積產(chǎn)量是藍(lán)莓的23驗(yàn)證

設(shè)A區(qū)長(zhǎng)為xm，B區(qū)長(zhǎng)為ym

由面積關(guān)系得：

x

由產(chǎn)量關(guān)系得：

2

解得：

x（五）典例分析例1（運(yùn)輸問(wèn)題綜合）

某物流公司用大、小貨車運(yùn)貨，2輛大車與3輛小車可運(yùn)15.5噸，5輛大車與6輛小車可運(yùn)35噸。現(xiàn)需要運(yùn)送45噸貨物，安排3輛大車和8輛小車能否一次運(yùn)完？解析

設(shè)大車載重x噸，小車載重y噸

建立方程組：

2x

解得：

x

檢驗(yàn)：3×設(shè)計(jì)意圖

通過(guò)真實(shí)物流場(chǎng)景，訓(xùn)練學(xué)生建立方程組、求解并驗(yàn)證實(shí)際可行性的完整思維鏈。（六）鞏固練習(xí)練習(xí)1

某景區(qū)門票，成人票比兒童票貴20元。3個(gè)成人帶2個(gè)兒童共花340元，求兩類票價(jià)。

解析

設(shè)成人票x元，則兒童票x?20元

3x

解得：

x練習(xí)2

實(shí)驗(yàn)室用含鹽8%和15%的兩種鹽水配制600g含鹽12%的鹽水，需各取多少克？

解析

設(shè)8%鹽水xg，15%鹽水yg

建立方程組：

x

解得：

x練習(xí)3

某工廠生產(chǎn)桌凳，3張桌子與2條凳子耗時(shí)7小時(shí)，1張桌子比2條凳子多用1小時(shí)。求單件產(chǎn)品耗時(shí)。

解析

設(shè)桌子x小時(shí)/張，凳子y小時(shí)/條

建立方程組：

3x

解得：

x設(shè)計(jì)意圖

通過(guò)階梯式練習(xí)，覆蓋"和差倍分""濃度配比""工程效率"等高頻考點(diǎn)，強(qiáng)化建模能力。（七）歸納總結(jié)問(wèn)題類型等量關(guān)系特征典型方程形式和差問(wèn)題明確給出兩個(gè)量的和或差x+y配套問(wèn)題部件數(shù)量成固定比例ax行程問(wèn)題速度×?xí)r間=路程v利潤(rùn)問(wèn)題售價(jià)=進(jìn)價(jià)×(1+利潤(rùn)率)p（八）感受中考(2023北京)社區(qū)采購(gòu)消毒液，若買20箱A型和10箱B型需1100元；若買25箱A型和15箱B型需1550元。求每箱價(jià)格。

解析

設(shè)A型x元/箱，B型y元/箱

建立方程組：

20x

解得：

x(2024重慶)甲、乙施工隊(duì)鋪設(shè)管道，甲隊(duì)每天比乙隊(duì)多鋪50米。合作5天完成2000米，求兩隊(duì)效率。

解析

設(shè)乙隊(duì)每天鋪x米

建立方程：

5

解得：

x(2023江蘇)書(shū)店銷售簡(jiǎn)裝書(shū)與精裝書(shū)，2本簡(jiǎn)裝與3本精裝收入160元，1本精裝比2本簡(jiǎn)裝貴10元。求單價(jià)。

解析

設(shè)簡(jiǎn)裝a元，精裝b元

建立方程組：

2a

解得：

a(2024浙江)學(xué)校用兩種貨車運(yùn)教材，3輛大車與4輛小車可運(yùn)550包，2輛大車比5輛小車多運(yùn)100包。求每車運(yùn)量。

解析

設(shè)大車m包/輛，小車n包/輛

建立方程組：

3m

解得：

m（九）小結(jié)梳理建模步驟實(shí)施要點(diǎn)易錯(cuò)警示審題圈畫(huà)數(shù)字和關(guān)系詞忽略單位統(tǒng)一設(shè)元優(yōu)先設(shè)直接未知量設(shè)定多個(gè)無(wú)關(guān)變量列方程根據(jù)等量關(guān)系逐條建立混淆"是"與"比...多"的關(guān)系解方程規(guī)范使用消元法計(jì)算符號(hào)錯(cuò)誤檢驗(yàn)代入原方程且驗(yàn)證實(shí)際意義漏檢非整數(shù)解合理性作答完整回答題目所有問(wèn)題答非所問(wèn)（十）布置作業(yè)必做題教材習(xí)題10.3第1、2、4題某超市促銷：買3瓶果汁和2盒牛奶花45元，買5瓶果汁