2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)備考正多邊形和圓的綜合變式練

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)備考正多邊形和圓的綜合變式練1．如圖，正方形的邊長為2，經(jīng)過正方形上的點B，C，且與相切于點P．(1)正方形的內(nèi)切圓和外接圓的半徑分別為______，______；(2)求的半徑；(3)求圖中陰影部分的面積．（參考數(shù)據(jù)：，）2．已知正五邊形，請僅用無刻度的直尺作圖，并完成相應(yīng)的任務(wù)（保留作圖痕跡，不寫作法）．【初步感知】（1）如圖1，請直接寫出的度數(shù)；【實踐探究】（2）請在圖2中作出以為對角線的菱形，并證明你的結(jié)論；【拓展延伸】（3）請在圖2正五邊形的基礎(chǔ)上再設(shè)計一個新的正五邊形.（不需要證明）3．如圖，正五邊形內(nèi)接于中，連結(jié)，，，交于點．(1)若半徑為5，求弧的長；(2)求證：；(3)求證：點為的黃金分割點．4．如圖，有一個亭子，它的地基的平面示意圖如圖2所示，該地基的平面示意圖可以近似地看作是半徑為的圓內(nèi)接正六邊形，求這個正六邊形地基的周長．5．鮮艷的中華人民共和國國旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星，為了增強(qiáng)學(xué)生的國家榮譽(yù)感、民族自豪感等，延長正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個標(biāo)準(zhǔn)五角星，正五邊形的邊的延長線相交于點F，的平分線交于點P．(1)求證：；(2)若，求的長；(3)若，求的值（用含的代數(shù)式表示）．6．正方形的四個頂點都在上，E是上一動點．(1)若點E不與點A、D重合，請直接寫出的度數(shù)；(2)如圖2，若點E在上運(yùn)動（點E不與點B、C重合），連接，，，試探究線段，，的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)如圖3，若點E在上運(yùn)動，分別取、的中點M、N，連接，，交于點F，四邊形與四邊形關(guān)于直線對稱，連接，，當(dāng)正方形的邊長為2時，求面積的最小值．7．如圖，四邊形內(nèi)接于，為直徑，過點作于點，連接．

(1)求證：；(2)連接，若，，，求陰影部分的面積．8．如圖，正方形內(nèi)接于，在上取一點E，連接，．過點A作，交于點G，交于點F，連接，．

(1)求證：；(2)若，，求陰影部分的面積．9．如圖，⊙O的周長等于8πcm，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．(1)求圓心O到AF的距離；(2)求正六邊形ABCDEF的面積．10．如圖，已知正六邊形的中心為，半徑．(1)求正六邊形的邊長；(2)以為圓心，為半徑畫，求的長．（結(jié)果保留）11．如圖，正方形內(nèi)接于是的中點，連接.(1)求證：；(2)求證：；12．如圖，正方形內(nèi)接于，E是的中點，連接．

(1)求∠E的度數(shù)．(2)求證：．(3)若，則點E到的距離為．13．如圖，正六邊形內(nèi)接于，半徑為4．

(1)求點到的距離；(2)求正六邊形的面積．14．如圖，是正五邊形的外接圓，的半徑為，點在上（點不與點A，B重合）．

(1)直接寫出的度數(shù)__________；(2)連接，，得到扇形，將扇形圍成一個圓錐，求該圓錐的底面圓的半徑．15．如圖，、分別是的內(nèi)接正三角形、正方形、正五邊形的邊、上的點，且，連接、．(1)圖①中的度數(shù)是_____；(2)圖②中的度數(shù)是_____，圖③中的度數(shù)是_____；(3)若、分別是正邊形…的邊、上的點，且，連接、，則的度數(shù)是_____．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)備考正多邊形和圓的綜合變式練》參考答案1．(1)1，(2)1.25(3)【分析】此題主要考查了正多邊形和圓，內(nèi)心的性質(zhì)，扇形面積公式．（1）由正方形的邊長、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑正好組成一個直角三角形，從而求得它們的長度；（2）連接并延長，交于點E，連接．設(shè)的半徑為，在中，由勾股定理列式計算即可求解；（3）先求得，再利用扇形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過點O作于點B．∵正方形的邊長為2，∴，，，∴，∴，∴，即外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為1；故答案為：1，；（2）解：如圖，連接并延長，交于點E，連接．∵是的切線，∴，由正方形可得，∴，∵，∴，設(shè)的半徑為，則，在中，有，∴，解得；（3）解：由（2）知，∴，∵，∴，連接，∴，∴．2．（1）；（2）見解析；（3）見解析【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．（1）利用正五邊形與等腰三角形的性質(zhì)求解；（2）連接交于點M，四邊形即為所求；（3）各邊延長線的交組成的五邊形即為所求．【詳解】解：∵，∴；故答案為：；（2）如圖1所示，連接相交于點，菱形為所求圖形，證明：在正五邊形中，每個內(nèi)角都相等且等于，每條邊都相等，可得≌，從而∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，同理可證：.∴四邊形為平行四邊形，又，∴四邊形為菱形.（3）如圖，五邊形即為所求．3．(1)；(2)見解析；(3)見解析．【分析】（1）由五邊形是正五邊形，得到，，，，，，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，求得，得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，得到點為的黃金分割點．【詳解】（1）解：五邊形是正五邊形，，，，，，，四邊形是菱形，，同理可求：，，，弧的長；（2）證明：四邊形是菱形，，，同理，，，，，，，；（3）證明：四邊形是菱形，，，，同理，△△，，即，，解得（舍去負(fù)值）．點為的黃金分割點．【點睛】本題主要考查了正多邊形的判定及性質(zhì)和圓，相似三角形的判定及性質(zhì)，黃金分割，菱形的判定及性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和定理，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握正多邊形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．【分析】本題主要考查正多邊形與圓的綜合，掌握正多邊形的性質(zhì)，圓心角的計算，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，則是等邊三角形，由此即可求解．【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，，，∴是等邊三角形，，∴正六邊形的周長．5．(1)見解析；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得，從而利用平角定義可得，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理可得，然后利用角平分線的定義可得，從而可得，進(jìn)而可證，最后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算，即可解答；（2）設(shè)，利用（1）的結(jié)論可得：，從而可得，在利用（1）的結(jié)論可得：，從而可得，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，再利用線段的和差關(guān)系可得，最后利用（1）的結(jié)論可得：，從而可得，進(jìn)行計算即可解答；（3）連接，，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得，，從而可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，然后利用（1）的結(jié)論可得：，從而可證利用可證，從而可得的面積的面積，的面積的面積，進(jìn)而可求出五邊形的面積．【詳解】（1）證明：五邊形是正五邊形，，，，，平分，，，，，，；（2）解：設(shè)，由（1）可得：，，由（1）可得：，，，，，，，由（1）可得：，，解得：或（舍去），；（3）解：連接，，五邊形是正五邊形，，，，，，，，，，，由（1）可得：，，，，由（2）得：，，，的面積為，則△的面積為，的面積△的面積，的面積的面積，五邊形的面積的面積的面積的面積．【點睛】本題是相似形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正多邊形和圓，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．(1)或；(2)，理由見解析(3)1．【分析】（1）連接，求得，利用圓周角定理結(jié)合圓內(nèi)接四邊形即可求解；（2）在上截取，連接，，推出，，再證明是等腰直角三角形，據(jù)此得到；（3）根據(jù)對稱的性質(zhì)求得，，當(dāng)邊上的高最小時，面積取得最小值，則當(dāng)點與點A重合，此時點E與點D重合，所以邊上的高就是的長，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：連接，∵正方形，∴，當(dāng)點E在優(yōu)弧AD上時，，當(dāng)點E在劣弧AD上時，，綜上，的度數(shù)為或；（2），理由如下，在上截取，連接，∵，，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（3）解：∵正方形的邊長為2，點M、N是、的中點，∴，∵四邊形與四邊形關(guān)于直線對稱，∴，，∴當(dāng)邊上的高最小時，面積取得最小值，∴當(dāng)點與點A重合，此時點E與點D重合，∴邊上的高就是的長，∴面積的最小值為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得，結(jié)合，可推出，再根據(jù)直徑所對的圓周角為，可推出，得到，最后根據(jù)，得到，即可證明；（2）過點作于點，由，可得，推出是等邊三角形，得到，進(jìn)而得到，，推出，最后根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是的內(nèi)接四邊形，，又，，為的直徑，，，，，，；（2）如圖，過點作于點，，，，是等邊三角形，，，，，，．

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．8．(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖，連接，證明，再證明，，可得，結(jié)合，從而可得結(jié)論；（2）如圖，連接，，過作于，設(shè)，在上取Q，使，證明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵，則，

∴，∵正方形，∴，，∴，∴，∵，∴．（2）如圖，連接，，過作于，設(shè)，在上取Q，使，

∵O為正方形中心，∴，，而，∴，，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，而，∴，∴，∴，，而正方形的邊長，∴，解得：，∴，∵，，，∴，∴，而，∴．【點睛】本題考查的是正多邊形與圓，圓周角定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，含的直角三角形的性質(zhì)，扇形面積的計算，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．9．(1)2cm(2)24cm2【分析】（1）連接OC、OD，作OH⊥CD于H，根據(jù)圓的周長公式求出半徑，根據(jù)余弦的定義計算即可；（2）根據(jù)正六邊形的性質(zhì)、三角形的面積公式計算．【詳解】（1）解：（1）連接OC、OD，作OH⊥CD于H，∵⊙O的周長等于8πcm，∴半徑OC＝4cm，∵六邊形ABCDE是正六邊形，∴∠COD＝60°，∴∠COH＝30°，∴圓心O到CD的距離＝4×cos30°＝2，∴圓心O到AF的距離為2cm；（2）（2）正六邊形ABCDEF的面積＝×4×2×6＝24cm2．【點睛】本題考查的是正多邊形與圓、垂徑定理，掌握正六邊形的性質(zhì)、垂徑定理是解題的關(guān)鍵．10．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正六邊形的邊長與半徑相等即可解決問題；（2）由正六邊形的性質(zhì)和弧長公式即可得出結(jié)果；【詳解】（1）連接，∵六邊形為正六邊形∴，，，∴為等邊三角形，∴，即正六邊形的邊長為．（2）∵六邊形為正六邊形，∴，∴．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，弧長公式，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證明，即可得出．（2）連接，過點作交的延長線于．證明，推出，即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∴．∵是的中點，∴，∴，∴．（2）解：連接，過點作交的延長線于．∵四邊形是正方形，∴．∵，∴，∴．∵，∴．在和中，，∴，∴，∴，即．【點睛】本題考查正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．12．(1)(2)見解析(3)【分析】本題考查了正多邊形和圓，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識．（1）利用正方形和圓的關(guān)系，求得中心角的度數(shù)，再利用圓周角定理即可求解；（2）要證明，只要證明即可；（3）連接并延長交于點F，證明是線段的垂直平分線，再利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，，

∴∵正方形內(nèi)接于，∴，∴；（2）證明：∵四邊形是正方形，∴，∴．∵E是的中點，∴，∴，∴，∴；（3）解：連接并延長交于點F，

∵，，∴是線段的垂直平分線，∵，，∴，，∴，∴，即點E到的距離為，故答案為：．13．(1)圓心O到CD的距離；(2)正六邊形的面積為；【分析】本題考查的是正多邊形與圓、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握正六邊形的性質(zhì)、垂徑定理是解題的關(guān)鍵．（1）連接連接、，作于H，根據(jù)余弦的定義計算即可；（2）根據(jù)正六邊形的性質(zhì)、三角形的面積公式計算．【詳解】（1）解：連接、，作于H，

∵半徑，∵六邊形是正六邊形，∴，∴，∴圓心O到CD的距離，（2）正六邊形的面積．14．(1)或；(2)4cm或6cm.【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)弧長公式及圓周長公式即可得到結(jié)論.【詳解】（1）如圖，

連接，，是正五邊形的外接圓，，，，，故答案為：或；（2）

，，①當(dāng)時；的長度，該圓錐的底面圓的半徑為（cm），②當(dāng)時，的長度，該圓錐的底面圓的半徑為（cm），答：圓錐的底面圓的半徑為4cm或6cm.【點睛】本題考查了正多邊形與圓，弧長的計算，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理及弧長公式是解題的關(guān)鍵.15．(1)(2)，(3)【分析】此題考查的