《高等數(shù)學(xué)（上）》課件-2.3極限的運(yùn)算和兩個(gè)重要極限

第2章極限與連續(xù)2.3

極限的運(yùn)算和兩個(gè)重要極限2.3.1極限的四則運(yùn)算

則

且

=A±B;

定理2.3.1且

=A·B;

且

=Al.根據(jù)定理2.2.8的推論,證

(1)由于

f(x)±g(x)=(A±B)+[α(x)±β(x)],據(jù)定理2.2.9可知α(x)±β(x)是當(dāng)

x→x0時(shí)的無窮小量,

且等于A±B.(2)

由于f(x)·g(x)=A·B+A·β(x)+B·α(x)+α(x)·β(x),據(jù)定理2.2.9可知Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)是當(dāng)x→x0時(shí)的無窮小量,

且等于AB.

當(dāng)x→x0時(shí),(3)

由于

而B[B+β(x)]的極限為B2,

由于B2

>0,

例2-3-1

解

由極限運(yùn)算法則可得

=P(x0).例2-3-2

(其中P(x)和Q(x)為多項(xiàng)式函數(shù))解為有理分式函數(shù),

且Q(x0)≠0,

因?yàn)?/p>

所以

=R(x0).例2-3-3

設(shè)a0≠0,b0≠0,m、n為正整數(shù),

證當(dāng)m=n時(shí),

分子分母同除以

xn,得到

證明故有

從而由極限相除法則得

得到：分式的分子部分極限為0,

分母部分極限為b0,因此所求分式的極限為0.

由于

因此

=∞.例2-3-4

因而不能直接利用極限相減法則.

因?yàn)?

解

于是依據(jù)極限相除法則,有

例2-3-5

因而不能直接利用極限相減法則.

得

解

于是可得

證

有不等式sinx<x<tanx.因?yàn)閟inx>0,用sinx去除上述不等式,得到

2.3.2兩個(gè)重要極限

有

例2-3-6

例2-3-7

解

解

例2-3-8

解

因此由極限的迫斂性證得

就變?yōu)閥→+∞的情形.此時(shí)又有

綜上所述,得②式成立,即

并注意到

x→∞等價(jià)于

α→0,得

例2-3-9

解例2-3-10

解例2-3-11

解

或

注意

在應(yīng)用時(shí)可以用某個(gè)x的函數(shù)φ(x)代替x,或φ(x)→∞即可只要φ(x)→0(見例2-3-7和例2-3-10).已知當(dāng)x→0時(shí),

即當(dāng)

x→0時(shí),它們的極限都是零.現(xiàn)在來考察它們的比值當(dāng)x→0時(shí)的極限:

2.3.3無窮小量的比較

設(shè)α(x)、β(x)是同一自變量變化過程中的無窮小量,定義2.3.1

則稱α(x)是比β(x)高階的無窮小量,

稱α(x)是與β(x)同階的無窮小量;

稱α(x)是與β(x)等價(jià)的無窮小量,記作α(x)~β(x);

(k>0),則稱α(x)是關(guān)于β(x)的k階無窮小量;

則稱α(x)是比β(x)低價(jià)的無窮小量.由定義知,α(x)是比β(x)高階的無窮小量等價(jià)于β(x)是比α(x)低階的無窮小量.對(duì)具體的無窮小量進(jìn)行比較時(shí),需要指出自變量的變化過程.注意

例如,sinx與

x是當(dāng)

x→0時(shí)的等價(jià)無窮小量,即sinx~x

(x→0).

當(dāng)

x→0時(shí)tanx與

x也是等價(jià)的無窮小量,即tanx~x

(x→0).又如,由于

因此,

或者說,

即

又如,高階的無窮小量,因此,

例2-3-12

證明:當(dāng)

x→0時(shí),x~arcsinx.

且

x→0時(shí),

證

例2-3-13

證

前面這些等價(jià)無窮小量非常有用,請(qǐng)務(wù)必記住.除此以外,還有l(wèi)n(1+x)~x(x→0),另外,上述等價(jià)無窮小量中的

x也可以換成

x的函數(shù)

φ(x),

只要在自變量x的變化過程中

φ(x)→0即可,于是有

…設(shè)α、α1、β、β1都是同一自變量變化過程中的無窮小量,定理2.3.2且

α~α1,

β~β1,則

證因?yàn)?/p>

右邊三乘積因子的極限都存在,所以

求下列極限:例2-3-14

解(1)因?yàn)閟in2x~2x,所以

tan3x~x3(x→0),

(2)

所以

求極限時(shí),若用

那就出現(xiàn)了錯(cuò)誤的結(jié)論因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí),sinx~x,

兩個(gè)無窮大量也可以進(jìn)行比較.與無窮小量相類似,例如,若

則稱α(x)為當(dāng)

x→x0時(shí)

與

β(x)同階的無窮大量.設(shè)α(x)、β(x)是當(dāng)

x→x0時(shí)的無窮大量,本節(jié)討論函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則和兩個(gè)重要極限,在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容時(shí),

只有在極限

(當(dāng)進(jìn)行商的極限運(yùn)算時(shí)還要求分母的極限不等于0)的條件下,

才能進(jìn)行極限的四則運(yùn)算.否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤,或者無法計(jì)算下去.一定要注意:如對(duì)于例2-3-4中的極限,如果直接按差的運(yùn)算法則去做,將出現(xiàn)∞-∞的情形.

例如

但是它們的比

當(dāng)x→0時(shí)的極限不存在因此,(也不是無窮大),這兩個(gè)無窮小量無法進(jìn)行階的比較.(4)在求