新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修一全冊導(dǎo)學(xué)案及答案

精選新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修一全

冊導(dǎo)學(xué)案及答案

§1.1.1集合的含義及其表示

［自學(xué)目標(biāo)］

1.認(rèn)識并理解集合的含義，知道常用數(shù)集及其記

法；

2.了解屬于關(guān)系和集合相等的意義，初步了解有

限集、無限集、空集的意義；

3.初步掌握集合的兩種表示方法一列舉法和描述

法,并能正確地表示一些簡單的集合.

［知識要點(diǎn)］

1.集合和元素

(1)如果。是集合A的元素,就說a屬于集合A,記

作aGA；

(2)如果.不是集合A的元素,就說，不屬于集合

A,記作a史A.

2.集合中元素的特性:確定性;無序性;互異性.

3.集合的表示方法:列舉法;描述法;Venn圖.

4.集合的分類:有限集;無限集；空集.

5.常用數(shù)集及其記法：自然數(shù)集記作w,正整數(shù)集

記作M或整數(shù)集記作Z,有理數(shù)集記作0,實(shí)

數(shù)集記作R.

［預(yù)習(xí)自測］

例1.以下的研究對象能否構(gòu)成一個(gè)集合?如果能,

-2-

采用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎舅?

(1)小于5的自然數(shù)；

(2)某班所有高個(gè)子的同學(xué)；

⑶不等式2x+l>7的整數(shù)解；

(4)所有大于。的負(fù)數(shù)；

(5)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，第一、三象限的平分線

上的所有點(diǎn).

分析：判斷某些對象能否構(gòu)成集合,主要是根據(jù)集

合的含義,檢查是否滿足集合元素確實(shí)定性.

例2.集合M=中的三個(gè)元素可構(gòu)成某一個(gè)三

角形的三邊的長,那么此三角形

一定是

()

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形

D.等腰三角形

-3-

例3,設(shè)aGN,beN,a+/?=2,A={(x,y)(x-4『+(^-6f)2=5。},假設(shè)

(3,2)GA,求"力的值.

分析：某元素屬于集合A,必具有集合A中元素的

性質(zhì)P,反過來，只要元素具有集合A中元素的性

質(zhì)P,就一定屬于集合A.

2

例4.M={2,a,b}fN=\2a,2,b},且〃=N,求實(shí)數(shù)al的值.

［課內(nèi)練習(xí)］

-4-

1.以下說法正確的選項(xiàng)是()

(A)所有著名的作家可以形成一個(gè)集合

(B)0與{o}的意義相同

(C)集合是有限集

(D)方程X?+2x+1=0的解集只有一個(gè)元素

2.?下勺個(gè)集合中，是空集的是

A?{x|x+3=3}

B.{(x,y)|y2=-x2,x,yeR}

C.{x|^2<0}D.{x\x2-x+l=0}

3.方程組{二言的解構(gòu)成的集合是

()

A.{(i,i)}B.{i,i}C.(1,1)

D.{i}.

4.A={-2,T,0］},L=Wx"},那么B=

5.假設(shè)A={-2,2,3,4}，5={x|x=f2,reA},用列舉法表示

B=

［歸納反思］

1.本課時(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容是集合的含義及其表示方

法，難點(diǎn)是元素與集合間的關(guān)系以及集合元素的

三個(gè)重要特性的正確使用；

2.根據(jù)元素的特征進(jìn)行分析，運(yùn)用集合中元素的

三個(gè)特性解決問題，叫做元素分析法。這是解決

有關(guān)集合問題的一種重要方法；

-5-

3.確定的對象才能構(gòu)成集合.可依據(jù)對象的特點(diǎn)

或個(gè)數(shù)的多少來表示集合,如個(gè)數(shù)較少的有限集

合可采用列舉法,而其它的一般采用描述法.

4?要特別注意數(shù)學(xué)語言、符號的標(biāo)準(zhǔn)使用.

［穩(wěn)固提高］

1.以下條件：①小于60的全體有理數(shù)；②某校

高一年級的所有學(xué)生；③與2相差很小的數(shù)；④

方程/=4的所有解。其中不可以表示集合的有

（）

A?1個(gè)B?2個(gè)C,3個(gè)D.4個(gè)

2.以下關(guān)系中表述正確的選項(xiàng)是

()

A.0?尤2=0}B.Oe{(O,O)}C,Oe0D.OeTV

3.以下表述中正確的選項(xiàng)是

----()

A.{0}=0B.{1，2}={2，1}C.{0=0D.OCN

4.集合AJT'-L/T},假設(shè)-3是集合A的一個(gè)元

素，那么〃的取值是(）

A.0B.-1C.1D.2

-6-

x=3+2y

5.方程組&+尸4的解的集合是

（）

A.｛（1）｝B.｛（-U）｝C.{（X，）'）I（I，T）}

D.｛T1｝

'2x+4>0

6.用列舉法表示不等式組?[1+221的整數(shù)解集合

為：____________________

7.設(shè)共x|x2-ar-=0x|f---X-6Z—0

,那么集合中所有

元素的和為：

8、用列舉法表示以下集合:

⑴{(x,y)|x+y=3,xeN,yeN}

9.A=｛1,2,V—5x+9｝,后｛3,x+ax+a\,如

果看｛1,2,3）,2￡B,求實(shí)數(shù)a的值.

-7-

10.設(shè)集合A={巾eZ，|〃K3},集合B={y|y—訓(xùn)，

c={(y)|y"TxeA}集合，試用列舉法分別寫出集

合A、B、C.

-8-

1.1.2子集、全集、補(bǔ)集

［自學(xué)目標(biāo)］

L了解集合之間包含關(guān)系的意義.

2.理解子集、真子集的概念.

3.了解全集的意義,理解補(bǔ)集的概念.

［知識要點(diǎn)］

1.子集的概念：如果集合A中的任那一然素都

是集合B中的元素（假設(shè)““，那么憶”么稱

集合A為集合B的子集（subset）,記作或

還可以用Venn圖表示.

我們規(guī)定：。一.即空集是任何集合的子集.

根據(jù)子集的定義，容易得到:

⑴任何一個(gè)集合是它本身的子集,即A=

⑵子集具有傳遞性,即假設(shè)皿8且也C,那么他C.

2.真子集：如果AC且AM,這時(shí)集合A稱為集合B

的真子集（propersubset）.

記作隹AB

⑴規(guī)定：空集是任何非空集合的真子集.

⑵如摩A緊B,Bm。，那么Ac

-9-

3.兩個(gè)集合相等：如果與此A同時(shí)成立，那么

.中的元素是一樣的，即

4.全集：如果集合S包含有我們所要研究的各個(gè)

集合，這時(shí)S可以看作一個(gè)全集(Universalset),

全集通常記作U.

5.補(bǔ)集：設(shè)代s,由S中不屬于A的所有元素組成

的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集

(complementaryset),記作：(讀作A在S

中的補(bǔ)集)，即

^A={X|XGS,J1X^A).S廠、U/

補(bǔ)集的Venn圖表31一J

［預(yù)習(xí)自測］

例L判斷以下關(guān)系是否正確：

⑴⑷；(2){1，2,3}={3,2,1}.(3)0Q{0}.

0=

⑷。"。}；⑸OH。};(6){0}.

例2.設(shè)A={x|-1<X<3,XGZ},寫出A的所有子集.

-10-

例3.集合M={a,a+d,a+2d},N=[a,aq,aq-^,其中"0且"N,

求q和〃的值（用〃表示）.

2

例4.設(shè)全集”[2,3,a+2a-3}9A={|2a-l|,2）,QA={5},求實(shí)

數(shù)0的值.

例5.A={x|x<3},8={小<。}.

⑴假設(shè)8口，求”的取值范圍;

⑵假設(shè)AC,求“的取值范圍;

-11-

⑶假蟆“CRB,求a的取值范圍.

［課內(nèi)練習(xí)］

1.以下關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)為()

00e{0},②①JO},③{0,1}￡{[0,1)},④

{(a,6)}={(6,a)}

A}1⑶2(C〕3

⑶4

2.集合{246,8}的真子集的個(gè)數(shù)是()

(A)16(B)15(014

⑻13

3.集合A=｛正方形｝,8=｛矩形｝,C=｛平行四邊形｝,。=｛梯形｝，見R

么下面包含關(guān)系中不正確的選項(xiàng)是()

(A)AqB(B)BqC(C)

C三D(D)AcC

4.假設(shè)集合，那么匹.

-12-

5.M={x|-2Wx《5},N={x|a+l<x<2a-l}.

(I)假設(shè)M=N,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(II)假設(shè)M°N,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［歸納反思］

1.這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了集合之間包含關(guān)系及補(bǔ)集的

概念,重點(diǎn)理解子集、真子集,補(bǔ)集的概念,注意

空集與全集的相關(guān)知識,學(xué)會(huì)數(shù)軸表示數(shù)集.

2.深刻理解用集合語言表達(dá)的數(shù)學(xué)命題，并能準(zhǔn)

確地把它翻譯成相關(guān)的代數(shù)語言或幾何語言，

抓住集合語言向文字語言或圖形語言轉(zhuǎn)化是翻

開解題大門的鑰匙，解決集合問題時(shí)要注意充

分運(yùn)用數(shù)軸和韋恩圖，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的思想方

法的巨大威力。

［穩(wěn)固提高］

1.四個(gè)關(guān)系式：①0<={0}；②0w{0}；③0G{0}；?0={0}.

其中表述正確的選項(xiàng)是1］

-13-

A.①，②B.①，③C.①，④

D.②，④

2.假設(shè)U={x|x是三角形},P={x|x是直角三

角形},那么

A.{x|x是直角三角形}B.{x|x

是銳角三角形}

C.{x|x是鈍角三角形}D.{x|x

是銳角三角形或鈍角三角形}

3.以下四個(gè)命題：①。=網(wǎng)；②空集沒有子集；③

任何一個(gè)集合必有兩個(gè)子集；④空集是任何一個(gè)

集合的子集.其中正確的有

--------[]

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)

D.3個(gè)

4.滿足關(guān)系m2}=A{123,4,5}的集合A的個(gè)數(shù)是

--------------------------[]

A.5B.6C.7

D.8

5.假設(shè)x,y&RfA={(x,y)|y=x},8={(x,y)?=1},那么A,B的

-14-

關(guān)系是一-[]

A.緊4B與B.ABC.A=B

D.A^B

6.A={x|xW5,xeN},B~{x|1<X<6,XeN},那么G人

2

7.U={x|x-8x+15=0,xeR},那么u的所有子集是_

8.集合A={x\a<x<5}9B={x\x22),且滿足A=B,求

實(shí)數(shù)?的取值范圍.

9.集合P={x|x?+犬-6=0,x￡/?},S={xor+1=0,xeR},

假設(shè)SqP,求實(shí)數(shù)。的取值集合.

10.M={xIX>0,XG/?}9N={xIX>6T,XG/?}

(1)假設(shè)M=N,求〃得取值范圍；

-15-

(2)假設(shè)M3N,求〃得取值范圍；

(3)假堂c/CRN，求,得取值范圍.

交集、并集

［自學(xué)目標(biāo)］

1.理解交集、并集的概念和意義

2.掌握了解區(qū)間的概念和表示方法

3.掌握有關(guān)集合的術(shù)語和符號

［知識要點(diǎn)］

1.交集定義：AAB={x|x￡A且x￡B}

運(yùn)算性質(zhì)：(l)AAB旦，AABcB

(2)ADA=A,AC16=6

(3)AAB=BAA

(4)AqBu>AAB=A

2.并集定義：AUB={x|x￡A或x￡B}

運(yùn)算性質(zhì)：(l)Aq(AUB),Be(AUB)(2)

AUA=A,AU4>=A

(3)AUB=BUA(4)AcB<=>

-16-

AUB=B

［預(yù)習(xí)自測］

1.設(shè)人=收除>一2},B={x|x<3},求APB和A

UB

2.全集U={x|x取不大于30的質(zhì)數(shù)},A、B是U

的兩個(gè)子集，且AACuB二

{5,13,23},CuAnB={ll,19,29},CuAnCuB={3,

7},求A,B.

3.設(shè)集合A={|a+l|,3,5},集合B={2a+1,a2+2a,

a2+2a—1}^AAB={2,3}時(shí)，

-17-

求AUB

[課內(nèi)練習(xí)]

1.設(shè)A=(-1,3],B=[2,4),求ACB

2.設(shè)A=(o,i],B={0},求AUB

3.在平面內(nèi)，設(shè)A、B、0為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，那

么以下集合表示什么圖形

(1){P|PA=PB}(2){P|PO=1}

4.設(shè)A={(x,y)|y=—4x+b},B={(x,y)|y=5x—3},

求ACB

-18-

5.設(shè)A={x|x=2k+l,k￡Z},B={x|x=2k—1,kw

Z},C={x|x=2k,kez},

求AGB,AUC,AUB

［歸納反思］

1.集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，可以借助數(shù)軸，還可

以借助文氏圖，它們都是數(shù)形結(jié)合思想的表達(dá)

2.分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想法，明確分類

討論思想，掌握分類討論思想方法。

［穩(wěn)固提高］

1.設(shè)全集U={a,b,c,d,e},N={b,d,e}集

合乂={ac,d},那么G(MUN)

等于___________________________________

2.設(shè)A={x|x<2},B={x|x>l},求APB和A

UB

-19-

3.集合A=[I,4),B=(-8㈤渡設(shè)AB,求實(shí)數(shù)a的

取值范圍

4.求滿足{1,3}UA={1,3,5}的集合A

5.設(shè)A={x|x?—x—2=0},B=(-2,2],求AGB

6、設(shè)A={(x,y)|4x+my=6},B={(x,y)|y=nx—3}

且APB={(1,2)},

那么m=n=

-20-

7、A={2,—1,x2—x+1},B={2y,—4,x+4},

C={—1,7}且AGB=C,求x,y的值

8、設(shè)集合A={x12x2+3px+2=0},B={x12x2+x+q=0},

其中p,q,xeR,且AGB={；}時(shí)，求p的值和

AUB

9、某車間有120人，其中乘電車上班的84人，

乘汽車上班的32人,兩車都乘的18人，求：

⑴只乘電車的人數(shù)⑵不乘電車的人數(shù)⑶

乘車的人數(shù)⑷只乘一種車的人數(shù)

-21-

10>設(shè)集合A={x|x2+2(a+1)x+a2—1=0},

B={x|X2+4X=0}

⑴假設(shè)AnB=A,求a的值

⑵假設(shè)AUB=A,求a的值

集合復(fù)習(xí)課

［自學(xué)目標(biāo)］

1.加深對集合關(guān)系運(yùn)算的認(rèn)識

2.對含字母的集合問題有一個(gè)初步的了解

［知識要點(diǎn)］

1.數(shù)軸在解集合題中應(yīng)用

2.假設(shè)集合中含有參數(shù)，需對參數(shù)進(jìn)行分類討論

［預(yù)習(xí)自測］

1.含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為卜,夕卜也可表示

為{“2,0+0,0},求/。。3+匕2期

-22-

2.集合A={x|x<>2},集合B={xi4x+p<O},當(dāng)A=8時(shí),

求實(shí)數(shù)P的取值范圍

3.全集1ML3,X3+3X2+2X}fA={1,I2X—1|},

假設(shè)GA={0},那么這樣的實(shí)數(shù)x是否存在，

假設(shè)存在，求出x的值，假設(shè)不存在，說明理

由

-23-

［課內(nèi)練習(xí)］

1.A={x|x<3},B={x|x<a}

(1)假設(shè)B旦，求a的取值范圍

⑵臂AqB,求a的取值范圍

(3)WCRACRB,求a的取值范圍

2.假設(shè)P={y|y=x'x￡R},Q={y|y=x2+l,x￡R},

那么PCIQ=

3.假設(shè)q{y|y=x?,x￡R},Q={(x,y)|y=x2,

xER}，為么PAQ=

4.滿足{a,b}Ac{a,b,c,d,e}的集合A

的個(gè)數(shù)是一____________

［歸納反思］

1.由條件給出的集合要明白它所表示的含義，即

元素是什么？

2.含參數(shù)問題需對參數(shù)進(jìn)行分類討論，討論時(shí)要

求既不重復(fù)也不遺漏。

-24-

［穩(wěn)固提高］

1.集合M={x|X3-2X2-X+2=0},那么以下各數(shù)中

不屬于M的一個(gè)是()

A.—1B.1C.2

D.—2

2.設(shè)集合A={x|一1<XV2},B={x|x<a},假

設(shè)APB#6,那么a的取值范圍是()

A?aV2B.a>—2C.a>—1

D.-LWaW2

3.集合A、B各有12個(gè)元素，APB中有4個(gè)元

素，那么AUB中元素個(gè)數(shù)為

4.數(shù)集M={x11+打CN},N={x|,那

么它們之間的關(guān)系是

5.集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x一y=4},

那么集合MAN=________________

6.設(shè)集合A={x|x2-px+15=0},

B={x|x2—5x+q=0},假設(shè)AUB={2,3,5),那么

A=_________

B=________________

7.全集U=R,A={x|xW3},B={x|0WxW5},求

-25-

(GA)AB

8.集合A二{x|x2-3x+2=0},B={x|x2—mx+(m-

—1)=0},且BA,求實(shí)數(shù)m的值

9.A={x|x2+x—6=0},B={x|mx+l=0}，且AUB=A,

求實(shí)數(shù)m的取值范圍

-26-

10.集合A={x|—2<X<—1或x>0},集合

B={x|a《xWb},滿足ACB={x10VxW2},A

UB={x|x>—2},求a、b的值

§2.1.1函數(shù)的概念與圖象(1)

［自學(xué)目標(biāo)］

1.體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)

學(xué)模型，理解函數(shù)的概念；

2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素有定義域、值域與對應(yīng)法

那么；

［知識要點(diǎn)］

1?函數(shù)的定乂：y=

2.函數(shù)概念的三要素：定義域、值域與對應(yīng)法那

么.

3.函數(shù)的相等.

-27-

［預(yù)習(xí)自測］

例1.判斷以下對應(yīng)是否為函數(shù):

(1)x-^—,x^0,xe7?;

x

(2)x—y,里丁=x,尤￡N,ycR

補(bǔ)充：(1)A=R,B={xeR|x>0),/:x—>y=|x|)

(2)A-B=N,f-.x^y=|x-3|；

(3)A-{xeR|x>0},B=/?,/:尤―>y=±4；

[4)A={[0<xW6},8={x|0<x<3},/:xfy=4

分析：判斷是否為函數(shù)應(yīng)從定義入手，其關(guān)

鍵是是否為單值對應(yīng)，單值對應(yīng)的關(guān)鍵是元素對

應(yīng)的存在性和唯一性。

例2.以下各圖中表示函數(shù)的是

[]

-28-

例3.在以下各組函數(shù)中，f(x)與g(x)表示RI一函

[]

數(shù)的是------------------1

A./(%)=1,g(x)=x°B.y=xy=

C.y=3?y=(x+I)?D.f(x)=IX

1,g(X)=E

“一-6(x2o)

例4函數(shù)*)=求了(1)

及

x-i-5(x<0),

［課內(nèi)練習(xí)］

-29-

⑴⑵⑶(4)

1.以下圖象中表示函數(shù)y=f(x)關(guān)系的有

--------------------------------()

A.(1)(2)(4)B.(1)(2)

C.⑵⑶⑷D.⑴⑷

2.以下四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是

----------------------------------(

)

A.y=，4f-I2x+9和y=|3-2才B.y=/和？=

C.y=x^^y=y[x^D.y=x和y=(?)

3.以下四個(gè)命題

(1)f(X)=GH+Vi二有意義；

(2)/⑶表示的是含有、的代數(shù)式

(3)函數(shù)y=2x(x*)的圖象是一直線；

-30-

(4)函數(shù)y=F'^°的圖象是拋物線，其中正

一元,x<0

確的命題個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.0

4.f(x)=卜―，那么

l-x2(x<l)

f(";

5.f滿足+/1(勿,且f(2)=p,〃3)=逐

么/(72)=_________________________

［歸納反思］

1.本課時(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容是函數(shù)的定義與函數(shù)記號

"X)的意義，難點(diǎn)是函數(shù)概念的理解和正確應(yīng)用；

2.判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù)，是函數(shù)概念

的一個(gè)重要應(yīng)用，要能緊扣函數(shù)定義的三要素進(jìn)

行分析，從而正確地作出判斷.

［穩(wěn)固提高］

1.以下各圖中，可表示函數(shù)y=〃x)的圖象的只可

-31-

ABC

D

2.以下各項(xiàng)中表示同一函數(shù)的是

]

A.y=（x—l）。與y=]B.產(chǎn)產(chǎn),

—X3

y——2x

C.y=y=x-l,xeND.f（x）=2X-1與

g?）=2I

3.假設(shè)&）=x"（a為常數(shù)）,/（72）=3,那么

[]

A.-iB.1C.2D.-2

4.設(shè)y（x）=正乙#±1，那么收等于

X—1

[]

A.iB.-/wC.i

7w7w

D.f（x）

=

5.y（x）—%2+1,那么/⑵，/（X+1）=一

6?于（x）~x-l9xeZ且xe[-l,4]，那么/（x）的定義域

是_______________

值域是___________________

-32-

卜2-1蚱1)那么樗）=_________________________

7.f(x)~

8.設(shè)/(%)=?+1,求/{/"(0)]}的值

9.函數(shù)/(x)=lx+3,求使/(%)e(p4)的x的取值范圍

2o

10.假設(shè)f(x)=2x2+\9g(x)=x-l9求g"(x)]

-33-

§2.1.1函數(shù)的概念與圖象(2)

［自學(xué)目標(biāo)］

掌握求函數(shù)定義域的方法以及步驟；

［知識要點(diǎn)］

1、函數(shù)定義域的求法：

(1)由函數(shù)的解析式確定函數(shù)的定義域；

⑵由實(shí)際問題確定的函數(shù)的定義域；

⑶不給出函數(shù)的解析式，而由小)的定義域確定

函數(shù)/［g(X)］的定義域。

［預(yù)習(xí)自測］

例L求以下函數(shù)的定義域：

(1)/(X)=>J\+X-X(2)FT(3)/(x)=—'-y(4)

x-Mi,2

f{x}—-x+----

2-x

分析：如果小)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)

集R；如果小)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分

母。。的實(shí)數(shù)的集合；如果/⑴是二次根式，那么函

-34-

數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的表達(dá)式20的實(shí)數(shù)的集

合。★注意定義域的表示可以是集合或區(qū)間。

例2.周長為/的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半

圓形的框架（如圖），假設(shè)矩光「、2x,

求此框架圍成的面積）與x的函…一一，并指

出其定義域

例3.假設(shè)函數(shù)廣/⑴的定義域?yàn)椋?口］

（1）求函數(shù)/（X+1）的定義域；

⑵求函數(shù)y=/（x+：4）+/（x-：4）的定義域。

-35-

[課內(nèi)練習(xí)]

1.函數(shù)/(、)=:的定義域

是---------------------------------------

()

A.(，》,0)B,(O,-H?)C.[o,+oo)D.R

2.函數(shù)f(x)的定義域是那么尸f(3-x)

的定義域是-----------------()

A[0,1]B[2,|]C[0,|]

D(—3)

3.函數(shù)〃x)=(i-xy+vn^的定乂域是：.

4.函數(shù)/(x)=lg(x-5)的定義域是

5.函數(shù)4)=3?+叫6+1)的定義域是_______

x-1

［歸納反思］

1.函數(shù)定義域是指受限制條件下的自變量的取

值；

2.求函數(shù)的定義域常常是歸結(jié)為解不等式和不

等式組；

［穩(wěn)固提高］

-36-

1.函數(shù)y=TTv+ki的定義域是

----------------------------[]

A.[-i,i]B?—oo,—i]u[i,+℃)C,[0,1]

D.{-1,1}

2.小)的定義域?yàn)閇-2,2],那么/(l-2x)的定義域?yàn)?/p>

[]

A.[-2,2]B.[-11]C.[-1,3]D.[-2,|]

222

3.函數(shù)y=*的定義域是

------------------------------------[

]

A?{x|x>0}B?1x|x<0|C?{x|xvO,xw-l}

D?1}

4.函數(shù)尸無亙的定義域是

X

5.函數(shù)/(%)=k+i|的定義域

是;值域

是O

6.函數(shù)k占的定義域

1-國

是：O

7.求以下函數(shù)的定義域

⑵1

12x+3y

(1)、=；(1-2x)(x+l)9⑶

-37-

Jl-x

y

x+5

8.假設(shè)函數(shù)小)的定義域?yàn)槊笠回?，那?/p>

b(x)=/(x)+/㈠)的定義域.

9.用長為30cm的鐵絲圍成矩形，試將矩形面積

S(加)表示為矩形一邊長水⑷的函數(shù)，并畫出函

數(shù)的圖象.

-38-

=2

10.函數(shù)f(x)ax+bx+c9假設(shè)/(0)=0,/(%+l)=/(x)+x+l,

求f（x）的表達(dá)式.

§2.1.1函數(shù)的概念與圖象（3）

［自學(xué)目標(biāo)］

掌握求函數(shù)值域的根本求法；

［知識要點(diǎn)］

函數(shù)值域的求法

函數(shù)的值域是由函數(shù)的定義域與對應(yīng)法那么確

定的，因此，要求函數(shù)的值域，一般要從函數(shù)的

定義域與對應(yīng)法那么入手分析，常用的方法有：

（1）觀察法；（2）圖象法；（3）配方法；（4）換

元法。

-39-

［預(yù)習(xí)自測］

例1.求以下函數(shù)的值域:

⑴y=2x+l,xe{l,2,3,4,5}；

(2)y=4x+1

(3)尸上

(5)y=—X?—2x+3變題：y=-x2-2x+3(-5x

-2)；

(6)y=尤+12犬-1

-40-

分析：求函數(shù)的值域，一種常用的方法就是將函

數(shù)的解析式作適當(dāng)?shù)淖冃?，通過觀察或利用熟知

的根本函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等）的值域,

從而逐步推出所求函數(shù)的值域（觀察法）；或者也

可以利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化求值域。

例2.假設(shè)函數(shù)y—x~-3x-4的定義域?yàn)閇0,知，值域?yàn)?/p>

[-^,-4],求,〃的取值范圍

4

[課堂練習(xí)]

1.函數(shù)y=/(x〉。)的值域?yàn)?)

A.[0,2]B.(0,2]C.(0,2)

D.[0,2)

2.函數(shù)y=2x-4x-3,0Wx/3的值域?yàn)?/p>

()

A(-3,3)B(-5,-3)C(-5,3)D

(-5,+8)

3.函數(shù)k二”卜4,一1]的最大值是

X

-41-

A.2B.-C.-i

2

D.-4

4.函數(shù)片1戶一2）的值域?yàn)?/p>

5.求函數(shù)y=x+VT右的定義域和值域

［歸納反思］

求函數(shù)的值域是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，方法靈活

多樣，初學(xué)時(shí)只要掌握幾種常用的方法，如觀察

法、圖象法、配方法、換元法等，在以后的學(xué)習(xí)

中還會(huì)有一些新的方法（例如運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、

配方法、分段討論法、不等式法等等），可以逐步

地深入和提高。

［穩(wěn)固提高］

1.函數(shù),=">1）的值域是

X

-42-

]

A.(-oo,o)u(o,+co)B.RC.[0,1)D.(1,+8)

走

2.以下函數(shù)中，值域是(0,+8)的是

------------------------------[]

A.y—>]x2-3x+lB.y—2x+l[x>0)C.y=x2+x+l

D.>=!

X

3.函數(shù)的值域是[-2,2],那么函數(shù)股小+1)的值

域是-------[]

A.[-1,3]B.[-3,1]C.[-2,2]

D.[T/]

4./(x)—x2—|A|,XG{±1,±2,±3}，那么/(x)的值域

是:...................................

5.函數(shù)y=x—2F7+2的值域

為:.

6.函數(shù)，=丁\的值域

x-2x+2

為:-

7.求以下函數(shù)的值域

(1)y->fx-l(2)y=-2x2-x-1(3)y=x2(-2<x<3)

(4)y=1-(5)y=2x-Jx-l(6)y—1+2A

x2+ll-3x

-43-

2

8.當(dāng)尤G[1,3]時(shí),求函數(shù)/(%)=2x—6x+c的值域

§2.1.1函數(shù)的概念與圖象(4)

［自學(xué)目標(biāo)］

1.會(huì)運(yùn)用描點(diǎn)法作出一些簡單函數(shù)的圖象，從

“形〃的角度進(jìn)一步加深對函數(shù)概念的理解；

2.通過對函數(shù)圖象的描繪和研究，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合

的意識，提高運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決數(shù)

學(xué)問題的能力.

［知識要點(diǎn)］

1.函數(shù)圖象的概念

將自變量的一個(gè)值％作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)

值"X。)作為縱坐標(biāo)，就得到坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)

(%/1)).當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域A中的每一個(gè)

值時(shí)，就得到一系列這樣的點(diǎn).所有這些點(diǎn)組成

-44-

的集合(點(diǎn)集)為{(%/(力)k叫,即{(x,y)|y=/(x),xe4},所

有這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)尸/(x)的圖象.

2.函數(shù)圖象的畫法

畫函數(shù)的圖象，常用描點(diǎn)法，其根本步驟是：

⑴列表；⑵描點(diǎn)；⑶連線.在畫圖過程中，一定

要注意函數(shù)的定義域和值域.

3.會(huì)作圖，會(huì)讀(用)圖

[預(yù)習(xí)自測]

例L畫出以下函數(shù)的圖象，并求值域：

=

(1)y3x-l,xe[1,2]；(2)y=

(-i),xe{0,1,2,3)；

⑶產(chǎn)田變題：y=\x-\\；(4)尸一一羽一2

例2.直線產(chǎn)3與函數(shù)尸-6x|圖象的交點(diǎn)個(gè)

-45-

數(shù)為()

(⑷4個(gè)⑶3個(gè)⑷2個(gè)

⑶1個(gè)

例3.以下圖中的A.B.C.D四個(gè)圖象中，用哪

三個(gè)分別描述以下三件事最適宜，并請你為剩下

的一個(gè)圖象寫出一件事。

離開家的距離(m)離

開家的距離血)

時(shí)間(min)

時(shí)間(min)

A

B

-46-

離開家的距離(m)

離開家的距離血)

ZA

時(shí)間(min)

時(shí)間(min)

C

D

(1)我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里

了，停下來想了一會(huì)還是返回家取了作業(yè)本再

上學(xué)；

(2)我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一

次交通堵塞，耽誤了一些時(shí)間；

(3)我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來為了

趕時(shí)間加快了速度。

［課堂練習(xí)］

-47-

1.以下四個(gè)圖像中，是函數(shù)圖像的是()

A、(1)B、⑴、⑶、⑷C、⑴、

(2)、(3)D、(3)、(4)

2.直線x=和函數(shù)>=八］的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

()

A至多一個(gè)B至少有一個(gè)C有且僅有一個(gè)

D有一個(gè)或兩個(gè)以上

olf/o_W

BCD

3.函數(shù)y=|x+l|+l的圖象是

()

4.某企業(yè)近幾年的年產(chǎn)值如圖，那么年增長率最

高的是()(年增長率二年增長值/年產(chǎn)值)

(萬元)

A)97年B)98年1000-

800二

D)600-

C)99年00年400-

200-

9697989900(年)

-48-

5.作出函數(shù)y=_2x_3(x<_1或x>2)的圖象;

［歸納反思］

1.根據(jù)函數(shù)的解析式畫函數(shù)的圖象，根本方法

是描點(diǎn)法，但值得指出的是：一要注意函數(shù)的

定義域，二要注意對函數(shù)解析式的特征加以分

析，充分利用函數(shù)的圖象提高作圖的速度和準(zhǔn)

確性；

2.函數(shù)的圖象是表示函數(shù)的一種方法，通過函

數(shù)的圖象可以直觀地表示X與y的對應(yīng)關(guān)系以及

兩個(gè)變量變化過程中的變化趨勢，以后我們會(huì)

經(jīng)常地運(yùn)用函數(shù)解析式與函數(shù)圖象兩者的有機(jī)

結(jié)合來研究函數(shù)的性質(zhì).

［穩(wěn)固提高］

1.某學(xué)生離家去學(xué)校，由于怕遲到，所以一開始

就跑步，等跑累了再走作余下的路，在以

-49-

下圖中縱軸表示離學(xué)校距離，橫軸表示出發(fā)后的

時(shí)間，那么以下圖中較符合學(xué)生走法的是

0t0t0

t0t

ABC

D

2.某工廠八年來產(chǎn)品C(即c前t

年年產(chǎn)量之和)與時(shí)間t(年)的函

數(shù)如以下圖，以下四種說法：

(1)前三年中，產(chǎn)量增長的速度越來越快；

(2)前三年中，產(chǎn)量增長的速度越來越慢；

(3)第三年后，年產(chǎn)量保持不變；

(4)第三年后，年產(chǎn)量逐步增長.

其中說法正確的選項(xiàng)是

()

A.(2)與⑶B.⑵與⑷C.(1)

-50-

與⑶D.(1)與(4)

3.以下各圖象中，哪一個(gè)不可能是函數(shù)y=/(x)的圖

象v/()

A.B.

yy

X

c.

D.

4.函數(shù)y=kx+的圖象不通過第一象限，那么〃力

-51-

滿足-----------[]

A.k<Q,b>0B.k<0,b<0C.k>0,b<0D.k>0,b>0

5.函數(shù)y=ax?+Z?x+c與y=ax+b(ab0)的圖象只可能是

D.

7.函數(shù)y=3x-I(l<x.2)的圖象是

8.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,0)和(-2,1),那

么此函數(shù)的解析式為____________________

9.假設(shè)二次函數(shù)y=*+2皿”+3的圖象的對稱軸為

x=-2f刃B么m=.

10.在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出函數(shù),/-(%)=(x-1)2與

g(x)二,一1|的圖象

-52-

(1)問：產(chǎn)g(x)的圖象關(guān)于什么直線對稱？

(2)%)<%2<1,比擬大小:ga)g區(qū))

§2.1.2函數(shù)的表示方法

［自學(xué)目標(biāo)］

L了解表示函數(shù)有三種根本方法：圖象法、列表

法、解析法;理解函數(shù)關(guān)系的三種表示方法具有內(nèi)

在的聯(lián)系，在一定的條件下是可以互相轉(zhuǎn)化的.

2.了解求函數(shù)解析式的一些根本方法,會(huì)求一些

簡單函數(shù)的解析式.

3.了解簡單的分段函數(shù)的特點(diǎn)以及應(yīng)用.

［知識要點(diǎn)］

1.表示函數(shù)的方法,常用的有:解析法,列表法和

圖象法.

在表示函數(shù)的根本方法中，列表法就是直接列

表表示函數(shù)，圖象法就是直接作圖表示函數(shù),而解

析法是通過函數(shù)解析式表示函數(shù).

2.求函數(shù)的解析式,一般有三種情況

⑴根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)的關(guān)系式;

⑵函數(shù)的類型求函數(shù)的解析式；

⑶運(yùn)用換元法求函數(shù)的解析式；

-53-

3.分段函數(shù)

在定義域內(nèi)不同局部上,有不同的解析表達(dá)式的

函數(shù)通常叫做分段函數(shù)；

注意：

①分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),而不是幾個(gè)函數(shù)；

②分段函數(shù)的定義域是X的不同取值范圍的并集;

其值域是相應(yīng)的y的取值范圍的并集

［例題分析］

例L購置某種飲料x聽，所需錢數(shù)為y元.假

設(shè)每聽2元，試分別用解析法、列表法、圖

象法將y表示XQC{L2,3,4})成的函數(shù)，并指出

該函數(shù)的值域.

例2.(1)例x)是一次函數(shù),且f(f(x))=4x-L

求f(x)的表達(dá)式;

(2)f(2x-3)=<+x+l,求f(x)的表達(dá)式;

-54-

例3.畫出函數(shù)/(幻=國的圖象，并求〃-3),/⑶,

/(-I),/(I)，/(/(-2))

變題①作出函數(shù)/(x)=|x+l|/(x)=k-2］的圖象

變題②作出函數(shù)f(x)=|X+1|+|x-2|的圖

象

-55-

變題③求函數(shù)f(x)=|x+1|+|X-2|的值域

變題④作出函數(shù)f(x)=Ix+1|+|X-2|的圖

象，是否存在使得f(x0)=2也？

通過分類討論，將解析式化為不含有絕對值的式

子.

-2x+l,xv-1,

f(x)=|x+l|+|x-2|=h,-l<x<2,

2x-l,x>2

作出f(x)的圖象

由圖可知，/(x)的值域?yàn)椋?,+8),而20<3,故不存在

/，使/@)=2正

-56-

x+5,x<-l,

例4.函數(shù)/(%)=卜，

2x,x>1.

⑴求f(-3)、f[f(-3)]；⑵假設(shè)f(a)=

；，求a的值.

［課堂練習(xí)］

1.用長為30cm的鐵絲圍成矩形，試將矩形面積

S(田)表示為矩形一邊長x(cm)的函數(shù)，

并畫出函數(shù)的圖象.

-57-

2.假設(shè)f(f(x))=2x—l,其中f(x)為一次函數(shù),

求f(x)的解析式.

3.f(x-3)=JC+2x+1,求f(x+3)的表達(dá)式.

4.如圖,根據(jù)y=f(x)Ge#的圖

象,寫出尸f(x)的解析式.

［歸納反思］

1.函數(shù)關(guān)系的表示方法主要有三種:解析法，列

表法和圖象法.這三種表示方法各有優(yōu)缺點(diǎn),千

萬不能誤認(rèn)為只有解析式表示出來的對應(yīng)關(guān)系

-58-

才是函數(shù)；

2.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種常用的表示方法,

要求兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，一是要求出它們

之間的對應(yīng)法那么，二是要求出函數(shù)的定義域；

3.無論運(yùn)用哪種方法表示函數(shù),都不能忽略函數(shù)

的定義域;對于分段函數(shù),還必須注意在不同的

定義范圍內(nèi)，函數(shù)有不同的對應(yīng)關(guān)系,必須先分

段研究,再合并寫出函數(shù)的表達(dá)式.

［穩(wěn)固提高］

1.函數(shù)f(x)=|x+3］的圖象是

()

2./(2x)=2x+3,那么/(x)等于

-------()

A.x+-B.x+3C.-+3

22

-59-

D.2x+3

3.一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,0)以及(0,1),那么此一次

函數(shù)的解析式為-----()

A?y=-x+lB?y=x+\C?y=X-\

D.y=-x—\

x+2(x<-1)

4.函數(shù)y=/(*)=卜(-l<x<2)，且%)=3,那么實(shí)數(shù)〃的

2x(x>2)

值為--()

A.1B.1.5C,一百

D.百

5.假設(shè)函數(shù)g)=x2—nix+n,f(n)=m,/?⑴=-1,那么/(-5)=

6.某航空公司規(guī)定，乘機(jī)所攜帶，產(chǎn)

930....................../

行李的重量(依)與其運(yùn)費(fèi)(元)然「一

由如圖的一次函數(shù)圖象確定，那么T^^(k8)

乘客免費(fèi)可攜帶行李的最大重量

為___________________

7.畫出函數(shù)f(x)*「。，的圖象，

xx<0,

并求f(G+2)+f(省.2的值.

8.畫出以下函數(shù)的圖象

⑴y=x1—

入2+1,工式o

⑵y=

—2x,x>O

-60-

9.求函數(shù)y=l—I1—x|的圖象與x軸所圍成的

封閉圖形的面積.

10.如圖，在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一

點(diǎn)P,它沿著折線

BCDA由點(diǎn)B(起點(diǎn))向A(終點(diǎn))運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)

P運(yùn)動(dòng)的路程為X,

△APB的面積為y.DT------------

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表IJP示式，并

指出定義域；人匚二」B

(2)畫出尸f(x)的圖象.

-61-

函數(shù)的單調(diào)性（一）

［自學(xué)目標(biāo)］

1.掌握函數(shù)的單調(diào)性的概念

2.掌握函數(shù)單調(diào)性的證明方法與步驟

［知識要點(diǎn)］

1.會(huì)判斷簡單函數(shù)的單調(diào)性（1）直接法（2）

圖象法

2.會(huì)用定義證明簡單函數(shù)的單調(diào)性：（取值，作

差，變形，定號，判斷）

3.函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的聯(lián)系與區(qū)別

［預(yù)習(xí)自測］

1.畫出以下函數(shù)圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間：

2

（1）y=-x+2（2）y=—（x/0）

-62-

2.證明?。?一五在定義域上是減函數(shù)

3.討論函數(shù)廣一的單調(diào)性

［課內(nèi)練習(xí)］

-63-

1.判斷/)=/-］在(0,+8)上是增函數(shù)還是減

函數(shù)

2

2.判斷/(x)=-x+2x在(一8,0)上是增函數(shù)還是

減函數(shù)

3.以下函數(shù)中，在(0,2)上為增函數(shù)的是()

(A)y=-(B)y=2x-l(C)y=l-x

X

(D)y=(2x-i)2

4.函數(shù)y=i-l的單調(diào)遞區(qū)間為

X

5.證明函數(shù)f(x)=十+x在(；，+oo)上為減

函數(shù)

［歸納反思］

1.要學(xué)會(huì)從“數(shù)〃和“形〃兩方面去理解函數(shù)的

單調(diào)性

2.函數(shù)的單調(diào)性是對區(qū)間而言的，它反映的是函

數(shù)的局部性質(zhì)

［穩(wěn)固提高］

-64-

1.f(x)=(2k+lx+l在(-oo,+g)上是減函數(shù),

那么()

(A)k>l(B)k<l(C)k>-1(D

222

k<-l

2

2.在區(qū)間(0,+8)上不是增函數(shù)的是()

(A)y=2x+l(B)y=3/+1(C)y=-(D)

X

y=3x2+x+1

2

3.假設(shè)函數(shù)f(x)=X+2(a-1)x+2在區(qū)間(-oo,

4)上為增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的

取值范圍是()

(A)a<-3(B)a>-3(C)a<3(D)

a>3

4.如果函數(shù)f(x)是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，a是

實(shí)數(shù)，那么()

(A)f(/)>f(a+1)(B)f(a)<f

(3a)

(C)f口+a)>f(〃)⑴)f(〃—I)<

f(〃)

5.函數(shù)丫=4的單調(diào)減區(qū)間為

X+1

6.函數(shù)y=|x+l|+|2r|的增區(qū)間