導(dǎo)數(shù)專題02：利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問題+講義-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪沖刺

導(dǎo)數(shù)專題02：利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問題講義——高三數(shù)學(xué)2025屆三輪沖刺高頻考點(diǎn)復(fù)習(xí)整合一、核心考點(diǎn)概述恒成立問題：定義：若不等式fx≥gx（或等價(jià)轉(zhuǎn)化：fx≥gxfx≤gx能成立問題：定義：若存在x0使得fx0等價(jià)轉(zhuǎn)化：fx≥gxfx≤gx導(dǎo)數(shù)的作用：求最值：通過導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，確定極值點(diǎn)，進(jìn)而求出最值。分類討論：根據(jù)參數(shù)的取值范圍，分情況討論函數(shù)的性質(zhì)。二、6大題型精講題型1：分離參數(shù)法求恒成立問題步驟：將不等式中的參數(shù)分離到一側(cè)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題。利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍。例題1：已知fx=ex?ax?1，若f不等式化為a≤ex求導(dǎo)得g′x=exx??x在0,+∞上單調(diào)遞增，且?0=0limx→0題型2：等價(jià)轉(zhuǎn)化法求恒成立問題步驟：將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，直接求函數(shù)的最值。根據(jù)最值關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍。例題2：已知fx=x2?2ax+lnx，若f不等式化為2a≤x+求導(dǎo)得g′x=x2?x在0,12上單調(diào)遞減，在12,+∞上單調(diào)遞增，且limx→0+gx=?∞，limx→+∞題型3：雙變量恒成立問題步驟：將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)變量的函數(shù)，求該函數(shù)的最值。根據(jù)最值關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍。例題3：已知fx=?x2+ax+1，gx=不等式化為fxfx在[1,g′x=3x2+當(dāng)a≥?3e2時(shí)，gx在不等式化為?e2+題型4：存在性問題步驟：將不等式轉(zhuǎn)化為存在性問題，求函數(shù)的最大值或最小值。根據(jù)存在性條件確定參數(shù)的取值范圍。例題4：已知fx=lnx?ax，若存在x∈1,+∞不等式化為lnx?a求導(dǎo)得g′當(dāng)a≤0時(shí)，g′x>當(dāng)a>0時(shí)，gx在1若1a≤1（即a≥1），則g若1a>1（即0<a<1綜上，a≥題型5：恒成立與能成立的綜合問題步驟：分別分析恒成立和能成立的條件。結(jié)合兩者的關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍。例題5：已知fx=x2?2ax+1，gx=x2+axfx≥0恒成立?存在x0使得gx0≤0?結(jié)合兩者，無解。題型6：復(fù)雜函數(shù)的最值問題步驟：通過換元法或構(gòu)造新函數(shù)簡(jiǎn)化問題。利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)的最值。例題6：已知fx=ex?x2?ax，若對(duì)任意不等式化為a≤ex求導(dǎo)得g′x=x??x在?∞,0上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，且?gx在?∞,0和0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞故a≤三、解題策略與技巧分離參數(shù)法：適用于參數(shù)與變量可分離的不等式。需注意分離后的函數(shù)是否易于求最值。等價(jià)轉(zhuǎn)化法：適用于不等式可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題的情況。需準(zhǔn)確判斷函數(shù)的最值。分類討論法：適用于參數(shù)取值范圍影響函數(shù)性質(zhì)的情況。需合理劃分參數(shù)的取值范圍。換元法：適用于復(fù)雜函數(shù)，通過換元簡(jiǎn)化問題。需注意新變量的取值范圍。四、易錯(cuò)點(diǎn)剖析分離參數(shù)時(shí)忽略定義域：例如，分離參數(shù)后需考慮分母不為零的情況。求最值時(shí)忽略端點(diǎn)：例如，閉區(qū)間上的最值需比較端點(diǎn)值與極值。分類討論時(shí)漏解：例如，參數(shù)取值范圍劃分不完整。計(jì)算錯(cuò)誤：例如，求導(dǎo)時(shí)符號(hào)錯(cuò)誤或計(jì)算錯(cuò)誤。五、典型例題解析例1：已知fx=lnx?ax，若對(duì)任意x∈0,+∞不等式化為a≥lnx求導(dǎo)得g′x=1?lngx在0,e上單調(diào)遞增，在e故a≥例2：已知fx=ex?ax2，若存在x不等式化為a≥ex求導(dǎo)得g′x=exgx在0,2上單調(diào)遞減，在2故a≥六、強(qiáng)化訓(xùn)練恒成立問題：已知fx=x2?2ax+能成立問題：已知fx=lnx?ax，若存在x雙變量問題：已知fx=x2?ax+1，綜合問題：已知fx=ex?x2?