示范教案(2.1-平面向量的實際背景及基本概念)

第二章平面向量本章教材分析1.豐富多彩的背景,引人入勝的內(nèi)容.教材首先從力、位移等量講清向量的實際背景以及研究向量的必要性,接著介紹了平面向量的有關(guān)知識.學生將了解向量豐富的實際背景,理解平面向量及其運算的意義,能用向量語言與方法表述和解決數(shù)學、物理中的一些問題,發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標表示的基礎,從學生熟知的功的概念出發(fā),引出了平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義,接著介紹了向量數(shù)量積的性質(zhì)、運算律及坐標表示.向量數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系了起來,這樣為解決有關(guān)的幾何問題提供了方便,特別能有效地解決線段的垂直問題.最后介紹了平面向量的應用.2.教學的最佳契機,全新的思維視角.向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”,這一概念是由物理學和工程技術(shù)抽象出來的.反過來,向量的理論和方法,又成為解決物理學和工程技術(shù)的重要工具,向量之所以有用,關(guān)鍵是它具有一套良好的運算性質(zhì),通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算,這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問題.這一章的內(nèi)容雖然概念多,但大都有其物理上的來源,雖然抽象,卻與圖形有著密切的聯(lián)系,向量應用的優(yōu)越性也是非常明顯的.全新的思維視角,恰當?shù)慕膛c學,使得向量不僅生動有趣,而且是培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神與能力的極佳契機.3.本章充分體現(xiàn)出新教材特點.以學生已有的物理知識和幾何內(nèi)容為背景,直觀介紹向量的內(nèi)容,注重向量運算與數(shù)的運算的對比,特別注意知識的發(fā)生過程.對概念、法則、公式、定理等的處理主要通過觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括得出結(jié)論.這一章中的一些例題,教科書不是先給出解法,而是先進行分析,探索出解題思路,再給出解法.解題后有的還總結(jié)出解決該題時運用的數(shù)學思想和數(shù)學方法,有的還讓學生進一步考慮相關(guān)的問題.對知識的處理,都盡量設計成讓學生自己觀察、比較、猜想、分析、歸納、類比、想象、抽象、概括的形式,從而培養(yǎng)學生的思維能力.向量的坐標實際上是把點與數(shù)聯(lián)系起來,進而可把曲線與方程聯(lián)系起來,這樣就可用代數(shù)方程研究幾何問題,同時也可以用幾何的觀點處理某些代數(shù)問題.4.本章教學約需12課時,具體分配如下,僅供參考.標題課時2.1平面向量的實際背景及基本概念1課時2.2向量的線性運算3課時2.3平面向量的基本定理及坐標表示2課時2.4平面向量的數(shù)量積2課時2.5平面向量的應用舉例2課時本章復習2課時2.1平面向量的實際背景及基本概念整體設計教學分析本節(jié)是本章的入門課,概念較多,但難度不大.學生可根據(jù)原有的位移、力等物理概念來學習向量的概念,結(jié)合圖形實物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念.由于向量來源于物理,并且兼具“數(shù)”和“形”的特點,所以它在物理和幾何中具有廣泛的應用,可通過幾個具體的例子說明它的應用.位移是物理中的基本量之一,也是幾何研究的重要對象.幾何中常用點表示位置,研究如何由一點的位置確定另外一點的位置.位移簡明地表示了點的位置之間的相對關(guān)系,它是向量的重要的物理模型.力是常見的物理量.重力、浮力、彈力等都是既有大小又有方向的量.物理中還有其他力,讓學生舉出物理學中力的其他一些實例,目的是要建立物理課中學過的位移、力及矢量等概念與向量之間的聯(lián)系,以此更加自然地引入向量概念,并建立學習向量的認知基礎.三維目標1.通過實例,利用平面向量的實際背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以及確定平面向量的兩個要素,搞清數(shù)量與向量的區(qū)別.2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判斷向量之間的關(guān)系,并會辨認圖形中的相等向量或作出與某一已知向量相等的向量.3.在教學過程中,應充分根據(jù)平面向量的兩個要素加以研究向量的關(guān)系,揭示向量可以平移這一特性.重點難點教學重點:理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念,會表示向量.教學難點:平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.(情境導入)如圖1,在同一時刻,老鼠由A向西北方向的C處逃竄,貓在B處向正東方向的D處追去,貓能否追到老鼠呢？學生馬上得出結(jié)論:追不上,貓的速度再快也沒用,因為方向錯了.教師適時設問:如何從數(shù)學的角度來揭示這個問題的本質(zhì)？由此展開新課.圖1思路2.兩列火車先后從同一站臺沿相反方向開出,各走了相同的路程,怎樣用數(shù)學式子表示這兩列火車的位移？從中國象棋中規(guī)定“馬”走日,象走“田”,讓學生在圖上畫出馬、象走過的路線引入也是一個不錯的選擇.推進新課新知探究提出問題①在物理課中,我們學過力的概念.請回顧一下力的三要素是什么？還有哪些量和力具有同樣特征呢?這些量的共同特征是什么？怎樣利用你所學的數(shù)學中的知識抽象這些具有共同特征的量呢？②新的概念是對這些具有共同特征的量的描述,應怎樣定義這樣的量呢？③數(shù)量與向量的區(qū)別在哪里？活動:教師指導學生閱讀教材,思考討論并解決上述問題,學生討論列舉與位移一樣的一些量.物體受到的重力是豎直向下的,物體的質(zhì)量越大,它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的,物體浸在液體中的體積越大它受到的浮力就越大；速度與加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的動量與矢量都有方向,且有大?。晃锢韺W中存在著許多既有大小,又有方向的量.教師引導學生觀察思考這些量的共同特征,我們能否在數(shù)學學科中對這些量加以抽象,形成一種新的量.至此時機成熟,引入向量,并把那些只有大小,沒有方向的量,如年齡、身高、長度、面積、體積、質(zhì)量等稱為數(shù)量,物理學上稱為標量.顯然數(shù)量和向量的區(qū)別就在于方向問圖5分析:本例是一個簡單的實際問題,要求畫出有向線段表示位移,目的在于鞏固向量概念及其幾何表示.解:表示A地至B地的位移,且||≈232km;(AB長度×8000000÷100000)表示A地至C地的位移,且||≈296km.(AC長度×8000000÷100000)點評:位置是幾何學研究的重要內(nèi)容之一,幾何中常用點表示位置,研究如何由一點的位置確定另外一點的位置.如圖5,由A點確定B點、C點的位置.變式訓練一個人從A點出發(fā)沿東北方向走了100m到達B點,然后改變方向,沿南偏東15°方向又走了100m到達C點,求此人從C點走回A點的位移.圖6解:根據(jù)題意畫出示意圖,如圖6所示.||=100m,||=100m,∠ABC=45°+15°=60°,∴△ABC為正三角形.∴||=100m,即此人從C點返回A點所走的路程為100m.∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向為西偏北15°.故此人從C點走回A點的位移為沿西偏北15°方向100m.圖7例2判斷下列命題是否正確,若不正確,請簡述理由.(1)ABCD中,與是共線向量;(2)單位向量都相等.活動:教師引導學生畫出平行四邊形,如圖7.因為AB//CD,所以∥.由于上面已經(jīng)明確,單位向量只限制了大小,方向不確定,所以單位向量不一定相等,即單位向量模均相等且為1,但方向不確定.解:(1)正確;(2)不正確.點評:本題考查基本概念,對于單位向量、平行向量的概念特征及相互關(guān)系必須把握好.圖8例3如圖8,設O是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫出圖中所示向量與相等的量.活動:本例是結(jié)合正六邊形的一些幾何性質(zhì),讓學生鞏固相等向量和平行向量的概念,正六邊形是邊長等于半徑并且對邊互相平行的正多邊形,它既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,具有豐富的幾何性質(zhì).教科書中要求判斷與,與是否相等,是要通過長度相等方向相反的兩個向量的不等,讓學生從反面認識向量相等的概念.解:==;==;===.點評:向量相等是一個重要的概念,今后經(jīng)常用到.讓學生在訓練中明確,向量相等不僅大小相等,還要方向相同.變式訓練本例變式一:與向量長度相等的向量有多少個？(11個)本例變式二:是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？(存在)例4下列命題正確的是()A.a與b共線,b與c共線,則a與c也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C.向量a與b不共線,則a與b都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行活動:由于零向量與任一向量都共線,所以A不正確.由于數(shù)學中研究的向量是自由向量,所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上,而此時就構(gòu)不成四邊形,根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點,所以B不正確.向量的平行只要方向相同或相反即可,與起點是否相同無關(guān),所以D不正確.對于C,其條件以否定形式給出,所以可從其逆否命題來入手考慮,假若a與b不都是非零向量,即a與b至少有一個是零向量,而由零向量與任一向量都共線,可有a與b共線,不符合已知條件,所以有a與b都是非零向量,即只有C正確.答案:C點評:對于有關(guān)向量基本概念的考查,可以從概念特征入手,也可以從反面進行考慮.即要判斷一個結(jié)論不正確,只需舉一個反例即可.要啟發(fā)學生注意這兩方面的結(jié)合.變式訓練1.判斷:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)與零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)與任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若兩個向量在同一直線上,則這兩個向量一定是什么向量？(平行向量)(6)兩個非零向量相等當且僅當什么？(長度相等且方向相同)(7)共線向量一定在同一直線上嗎？(不一定)2.把一切單位平面向量歸結(jié)到共同的始點,那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是()A.一條線段B.一段圓弧C.兩個點D.一個圓答案:D3.將平行于一直線的所有單位向量的起點平移到同一始點,則這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是()A.一個點B.兩個點C.一個圓D.一條線段答案:B知能訓練課本本節(jié)練習.解答:1.通過具體的例子,讓學生動手畫兩個方向不同、大小不等的力(向量),圖略.2.||,||,這兩個向量的長度相等,但它們不等.點評:向量是既有大小,又有方向的量.長度相等的兩個向量未必是兩個相等的量.3.||=2,||=2.5,||=3,||=2.點評:方格紙是學生學習幾何、向量等內(nèi)容的好工具.在方格紙中,長度和角度非常容易表現(xiàn).建議在向量內(nèi)容的學習中把方格紙作為重要的學具.4.(1)它們的終點相同;(2)它們的終點不同.點評:方向相同的兩個向量,如果它們的起點相同,它們的終點只與長度有關(guān).課堂小結(jié)本節(jié)課從平面向量的物理背景和幾何背景入手,利用類比的方法,介紹了向量的兩種表示方法:幾何表示和字母表示,幾何表示為用向量處理幾何問題打下了基礎,字母表示則利于向量的運算；然后又介紹了向量的模、平行向量、共線向量、相等向量等重要概念,這些概念是進一步學習后續(xù)課程的基礎,必須要在理解的基礎上把握好.作業(yè)課本習題2.11、2.設計感想本節(jié)是平面向量的第一節(jié),顯然屬于“概念課”,概念的理解無疑是重點,但也是難點.本教案設計