沖刺2025年高考數(shù)學(xué)大題突破+限時(shí)集訓(xùn)（新高考專(zhuān)用）培優(yōu)專(zhuān)題03 立體幾何（6大題型）（解析版）

培優(yōu)專(zhuān)題03立體幾何題型1建系技巧強(qiáng)化一、空間直角坐標(biāo)系建立的模型(1)墻角模型：已知條件中有過(guò)一點(diǎn)兩兩垂直的三條直線，就是墻角模型．建系：以該點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以?xún)蓛纱怪钡娜龡l直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，當(dāng)然條件不明顯時(shí)，要先證明過(guò)一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直(即一個(gè)線面垂直面內(nèi)兩條線垂直)，這個(gè)過(guò)程不能省略．然后建系．(2)垂面模型：已知條件中有一條直線垂直于一個(gè)平面，就是墻角模型．情形１垂下(上)模型：直線豎直，平面水平，大部分題目都是這種類(lèi)型．如圖，此情形包括垂足在平面圖形的頂點(diǎn)處、垂足在平面圖形的邊上(中點(diǎn)多)和垂足在平面圖形的內(nèi)部三種情況．第一種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦軸，平面圖形的一邊為x軸或y軸，在平面圖形中，過(guò)原點(diǎn)作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸(其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn))建立空間直角坐標(biāo)系．如圖1-1第二種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦軸，垂足所在的一邊為x軸或y軸，在平面圖形中，過(guò)原點(diǎn)作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸(其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn))建立空間直角坐標(biāo)系．如圖1-2第三種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦軸，連接垂足與平面圖形的一頂點(diǎn)所在直線為為x軸或y軸，在平面圖形中，過(guò)原點(diǎn)作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸(其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn))建立空間直角坐標(biāo)系．如圖1-3圖1－1圖1－2圖1－3情形2垂左(右)模型：直線水平，平面豎直，這種類(lèi)型的題目很少．各種情況如圖，建系方法可類(lèi)比情形1．圖2－1圖2－2圖2－3情形3垂后(前)模型：直線水平，平面豎直，這種類(lèi)型的題目很少．各種情況如圖，建系方法可類(lèi)比情形1．圖3－1一、解答題1．（2025·陜西榆林·二模）如圖，已知斜三棱柱，平面平面，，，，，.(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）證法1，由，得，再由面面垂直的性質(zhì)可得平面，則，然后利用線面垂直的判定定理得平面，從而由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；證法2，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，則，，則為二面角的平面角，然后結(jié)合已知可得二面角為直二面角，從而可證得結(jié)論；證法3，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，可證得，，，所以以所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可；（2）解法1，以所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可，解法2，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】（1）證法1：因?yàn)樵谛比庵校?，且，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，且，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，、平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?證法2：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以為二面角的平面角，因?yàn)樵谛比庵?，，且，所以，所以二面角為直二面角，即平面和平面所成的角為，所以平面平?證法3：如圖1，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，由為的中位線，知.又因?yàn)椋?因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，，所以?xún)蓛纱怪?，所以以所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示，則，，，，，，，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，，由，，得，取，則，由，，得，取，則，則，所以，即平面平面.（2）解法1：如圖2，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，由為的中位線，知.又因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以，，所以?xún)蓛纱怪?，所以以所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示，則，，，，所以，，，由（1）知，平面，所以為平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，平面與平面所成角記為，由，，得，取，得，，所以平面和平面所成夾角的余弦值為.解法2：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以過(guò)點(diǎn)作平面的垂線必在平面內(nèi).又因?yàn)椋钥梢砸詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，，，所以，，，由?）知，平面，所以為平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，平面與平面所成角記為，由，，得，取，得，，所以平面和平面所成夾角的余弦值為.2．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，圓錐的底面直徑和母線的長(zhǎng)度均為2，是底面圓圓周上的一點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）法一：通過(guò)．，得到平面，即可求證；法二：通過(guò)，，得到平面，即可求證；法三：建系，由向量求證垂直；（2）法一，建系，求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；法二：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)與平面所成的角為，點(diǎn)到平面的距離為，則，由等體積求得，即可求解；【詳解】（1）法一：連接，因?yàn)闉橹睆?，所以，因?yàn)椋?，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．易知，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．法二：連接，因?yàn)?，，所以，所以．又，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕ㄈ哼B接，因?yàn)?，，所以，所以．又平面，故以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，所以，所以．（2）解法一：當(dāng)時(shí)，由于，所以，可得：，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，在底面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故．設(shè)平面的法向量為，故，即，令，可得：，則．設(shè)平面的法向量為，故，即，令，可得：，則．所以，故二面角的正弦值為．解法二

當(dāng)時(shí)，由于，所以，可得：，所以，可得：．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，易得．設(shè)與平面所成的角為，點(diǎn)到平面的距離為，則，因?yàn)?，所以，解得，所以，故二面角的正弦值為?．（24-25高三下·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）如圖，四棱錐中，四邊形是菱形，平面，，，，分別是線段和上的動(dòng)點(diǎn)，且，.(1)若，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值；(3)若直線與線段交于點(diǎn)，于點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先根據(jù)幾何關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的平行關(guān)系，即可求解；（2）首先求向量和平面的法向量，代入線面角的向量公式，即可求解；（3）設(shè)，利用空間向量基本定理以及三點(diǎn)共線的充要條件得出，利用向量模長(zhǎng)公式以及導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算最值即可.【詳解】（1）由于四邊形是菱形，且，取中點(diǎn)，則，即，又平面，故可以以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，由，，可知，，∴，易知，因?yàn)?，所以，得到，得?（2）由（1）知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，則.（3）設(shè)，，則，由于，，共線，不妨設(shè)，易知，又，則有，所以，則，則，即，記，則，令，得到，在上，在上，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取到極小值，此時(shí)的長(zhǎng)度最小，此時(shí).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵是關(guān)于為關(guān)于的函數(shù)，再一個(gè)關(guān)鍵是根據(jù)平面向量基本定理，得到.4．（24-25高三下·云南昆明·階段練習(xí)）如圖甲，在等腰直角中，，沿底邊的高與的中位線，分別將和折起到和的位置，如圖乙，折疊過(guò)程保持.(1)證明：四點(diǎn)共面；(2)求直線與平面所成角的正弦的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）根據(jù)條件證明與交于一點(diǎn)，即可證明四點(diǎn)共面；（2）首先由條件可證明平面，再以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，并表示點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法表示線面角，再根據(jù)三角函數(shù)求最值.【詳解】（1）證明：如圖，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，因?yàn)椤危?，所以，同理可得，，即，所以四點(diǎn)共面.（2）過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，不妨設(shè)，則，，，，因?yàn)?，，，平面，所以平面，又因?yàn)?，設(shè)，則，則，，設(shè)平面的法向量為，則令，得，設(shè)與平面所成的角為，則，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以直線與平面所成角正弦的最大值為.5．（2025·山東菏澤·一模）如圖，在四棱錐中，，，，，，，F(xiàn)為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若平面平面，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)M，連結(jié)，證明四邊形為平行四邊形即可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量與平面的法向量，利用空間向量求空間角即可.【詳解】（1）由，，，易求

取的中點(diǎn)M，連結(jié)，F(xiàn)為的中點(diǎn)所以，，所以，所以四邊形為平行四邊形.

所以，，又平面，平面所以平面

（2）由，，所以所以，又平面平面，所以平面以E為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)E與垂直的直線為軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，所以，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為

設(shè)與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為

6．（24-25高三下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，底面為等腰三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面平面，平面平面．

(1)求證：平面平面；(2)若，求該三棱錐外接球的體積；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平面平面，平面平面，可證得平面，從而得到，又，即可證得平面，再根據(jù)面面垂直的判定即可證出；（2）由的外接圓的圓心確定外接球球心的位置，然后利用球的幾何特征，再結(jié)合球的體積公式計(jì)算即可；（3）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB，BD分別為z軸，y軸，過(guò)點(diǎn)B與平面ABD垂直的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，借助平面夾角向量公式計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，在平面?nèi)過(guò)作交于，則平面.同理，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，在平面?nèi)過(guò)作交于，則平面.又因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，而平面平面，所以重合，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）如圖，因?yàn)槠矫?，取底面的外心為，，則，

過(guò)點(diǎn)做的平行線，在此線上取點(diǎn)，使得，則為三棱錐外接球的球心，分析可得外接球的半徑，所以三棱錐外接球的體積為．（3）如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB，BD分別為z軸，y軸，過(guò)點(diǎn)B與平面ABD垂直的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．題型2求線面角和線面角中的探索性問(wèn)題一、求直線與平面所成角1、垂線法求線面角（也稱(chēng)直接法）：（1）先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A向平面做垂線，確定垂足O；（2）連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；（3）把投影BO與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。3、公式法求線面角（也稱(chēng)等體積法）：用等體積法，求出斜線PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解。公式為：sinθ=?l，其中θ是斜線與平面所成的角，?是垂線段的長(zhǎng)，方法：已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S射影，平面和平面所成的二面角的大小為，則COSθ=S射影S.這個(gè)方法對(duì)于無(wú)棱二面角的求解很簡(jiǎn)便。4、直線與平面所成角：設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，直線與平面的夾角為.則.一、解答題1．（24-25高三下·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，三棱臺(tái)，，，平面平面，，，與相交于點(diǎn)，，且平面.(1)求三棱錐的體積；(2)分別在線段上，且平行，平面MNC與平面所成角為，與平面所成角為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，即可根據(jù)線線垂直求證平面，進(jìn)而根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，根據(jù)相似以及體積公式即可求解，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，根據(jù)空間角的向量法求解角，利用余弦的和角公式即可求解.【詳解】（1）由題意，平面平面，且平面平面，，平面，∴平面，平面，則，又，，平面ABC，則平面，連接，∵平面，平面，平面平面，∴，∵，∴，易知.∴三棱錐底面的面積，高，∴其體積為：.（2）由題意及（1）得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，則．由于平行，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，由，取，則，平面的一個(gè)法向量為，所以．又因?yàn)?，所以．．又，所以?．（24-25高三下·河北邯鄲·開(kāi)學(xué)考試）建筑學(xué)中常用體形系數(shù)表示建筑物與室外大氣接觸的外表面積與其所包圍的體積的比值，即，為建筑物暴露在空氣中的外表面積，為建筑物所包圍的體積，外表面積中，不包括地面的面積．某圓臺(tái)形建筑如圖所示，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，，為底面圓周上異于的點(diǎn)，且．

(1)若，求；(2)若，求直線與平面所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)圓臺(tái)O1O2的高為h，可得母線長(zhǎng)，根據(jù)圓臺(tái)的體積和表面積公式得出，由線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而得到，從而可得平行四邊形為菱形，即可求解；（2）由已知可得，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）設(shè)圓臺(tái)O1O2的高為h，則母線長(zhǎng)為，，，故，連接，，因?yàn)?，所以，由圓臺(tái)的性質(zhì)可知平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，又，所以平行四邊形為菱形，則，則，即h=，故；

（2）由①分析可得，解得，以，，所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令z=1，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的余弦值為.3．（24-25高三下·廣東·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，四邊形是直角梯形，，，，.(1)證明：平面平面.(2)線段上是否存在點(diǎn)E，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，或【分析】（1）取棱的中點(diǎn)O，連接，由題設(shè)條件結(jié)合勾股定理依次求出和，接著由線面垂直判定定理得證平面，再由面面垂直判定定理即可得證命題；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，求出向量和平面的法向量，根據(jù)線面角的向量法公式即可建立關(guān)于的方程，解方程即可得解.【詳解】（1）證明：取棱的中點(diǎn)O，連接，設(shè)，則，，因?yàn)槭堑冗吶切危襉是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?，所以，則.因?yàn)槠矫妫矫?，且，所以平?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）取棱CD的中點(diǎn)F，連接OF，則兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，則，，設(shè)，則，又，所以.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)直線與平面所成的角為，則，解得或，故當(dāng)或時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.4．（2025·山東淄博·一模）如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)在上，且．(1)點(diǎn)在線段上，且平面，證明：為線段的中點(diǎn)；(2)若平面與平面所成的角的余弦值為，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)的長(zhǎng)度為或【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，由線面平行的性質(zhì)定理證明，即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出直線的方向向量和平面的法向量，由線面角的向量公式即可得出答案.【詳解】（1）連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，又因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以為線段的中點(diǎn)；（2）連接，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫嫠云矫嬗忠驗(yàn)?，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，，所以，令，，所以，所以與平面所成的角的余弦值為，所以與平面所成的角的正弦值為，即，所以，化簡(jiǎn)可得：，解得：或，即或，所以或.題型3求二面角、平面與平面所成角及其探索性問(wèn)題一、求二面角、平面與平面所成角1、幾何法（1）定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線法）：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過(guò)該點(diǎn)作垂直于棱的射線．（2）三垂線法（面上一點(diǎn)雙垂線法）：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角（3）垂面法（空間一點(diǎn)垂面法）：過(guò)空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。（4）射影面積法求二面角2、向量法：若分別為平面的法向量，為平面的夾角，則.一、解答題1．（2025·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱臺(tái)中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，且直線與平面所成的角為.(1)證明：；(2)求平面與平面成角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，則由等腰梯形和等腰三角形的性質(zhì)可得，，由線面垂直的判定可得平面，從而可證得；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則可得平面，取上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，連接，得，所以分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則四邊形為等腰梯形，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?；?）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由（1）知，平面平面，則，又，平面，所以平面，則為直線與平面所成的角，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，則為等腰直角三角形，所以，在中，，則由余弦定理得，則，即，易得，在中，，，所以，所以，取上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，連接，則‖，因?yàn)?，所以，則分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，由于，所以，設(shè)平面的法向量為，由于，所以，，令，則，設(shè)平面的法向量為，由于，所以，令，則，所以，故平面與平面成角的余弦值為.2．（2025·黑龍江·一模）如圖所示，正三角形的邊長(zhǎng)為2，，，分別是各邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將，，分別沿，，折起，使得，，所在平面均與底面垂直.

(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理和面面平行的判定定理證明即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，利用空間向量法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)闉檎切?，且，，分別是各邊的中點(diǎn)，

所以，，均為正三角形.分別取，，的中點(diǎn)，，，則，，，，又因?yàn)槠矫娴酌?，平面底面，平面，所以平面，同理可得平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可得平面，又，平面，平面，所以平面平?（2）由（1）可知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則令，得，，所以，易知平面的一個(gè)法向量為，所以，所以二面角的正弦值為.3．（2025·山東煙臺(tái)·一模）如圖，點(diǎn)在以為直徑的半圓的圓周上，，且平面，(1)求證：；(2)當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面夾角的余弦值為？【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)或.【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)有，由圓的性質(zhì)易得，再由線面垂直的判定和性質(zhì)證明結(jié)論；（2）若為的中點(diǎn)，即為半圓的圓心，作面，在面內(nèi)作，構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值，結(jié)合已知列方程求參數(shù)即可.【詳解】（1）由平面，平面，則，又點(diǎn)在以為直徑的半圓的圓周上，則，由且都在面內(nèi)，則面，由面，故；（2）若為的中點(diǎn)，即為半圓的圓心，作面，在面內(nèi)作，由，，則，故可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，由，故，可得，所以，，，若，分別為面、面的一個(gè)法向量，則，取，，，取，，所以，整理得，則，可得或.4．（2025·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，平面平面ABCD，，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，N為線段CD上一點(diǎn)．(1)若，證明：平面；(2)在線段CD上是否存在點(diǎn)N，使平面與平面MNB夾角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)N的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)【分析】（1）取線段的中點(diǎn)P，連接PM，PD，利用已知可證四邊形MNDP為平行四邊形，進(jìn)而可得，可證結(jié)論；（2）在平面中，作于O，可證，分別以，，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為，平面BMN的一個(gè)法向量為，利用向量法可求得，可得結(jié)論.【詳解】（1）取線段的中點(diǎn)P，連接PM，PD，因?yàn)镸P為梯形的中位線，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，且，所以，，所以四邊形MNDP為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）在平面中，作于O，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，且平面平面，所以平面ABCD，在正方形ABCD中，過(guò)O作AD的平行線交CD于點(diǎn)Q，則，分別以，，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，，所以，又因?yàn)椋?，則，，，，，設(shè)，，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，則，令，所以，又因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，所以，，設(shè)平面BMN的法向量為，所以，則，令，所以，又因?yàn)槠矫媾c平面MNB夾角的余弦值為，所以，整理得，所以，解得或，又因?yàn)?，所以，所以存在，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)．題型4求點(diǎn)到面(線)距離及其探索性問(wèn)題1、定義法（直接法）：找到或者作出過(guò)這一點(diǎn)且與平面垂直的直線，求出垂線段的長(zhǎng)度；2、等體積法：通過(guò)點(diǎn)面所在的三棱錐，利用體積相等求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)線距離；3、轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離，常見(jiàn)轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線上的點(diǎn)到面的距離．2、向量法求空間距離：（1）點(diǎn)面距：已知平面的法向量為,是平面內(nèi)的任一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作則平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（2）直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。（3）兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。一、解答題1．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn).

(1)證明：.(2)求直線與平面所成角的正弦值.(3)設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，求的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）由題意可知平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，進(jìn)而得到，在矩形中，由題意可得，由線面垂直判定定理及性質(zhì)即可證得；（2）取的中點(diǎn)，連接，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求線面角的正弦值；（3）利用空間向量求出和，即可求出.【詳解】（1）連接，，

因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槔庵比庵?，所以面，平面，所以平面平面，又平面平面，面，則平面，又平面，所以，在矩形中，，為的中點(diǎn)，所以，所以，故，又，面，面，所以平面，又平面，所以.（2）取的中點(diǎn)，連接，由（1）及題意易知，，兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

由，，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，又，，則即令，則.設(shè)直線與平面所成的角為，又，則，故直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）知平面的一個(gè)法向量為，，，所以點(diǎn)到平面的距離為，又，直線的一個(gè)單位方向向量為，則，，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以.2．（2025·湖南岳陽(yáng)·一模）如圖，在四棱錐中，平面底面，底面為平行四邊形，為邊的中點(diǎn)，.

(1)求證：；(2)已知二面角的平面角等于，則在線段上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為，若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，為中點(diǎn)【分析】（1）由余弦定理可求得，進(jìn)而可得，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，可證.（2）法一，取的中點(diǎn)，可證底面，設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得到平面的距離為，且，利用等體積法求解即可.法二，取的中點(diǎn)，可證兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得平面的法向量，平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求，設(shè)，利用點(diǎn)到面的距離可求，可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，為邊的中點(diǎn)，所以，又在中，，由余弦定理可得，即，則，又為平行四邊形，所以，則，又平面底面，平面底面，所以平面，又平面，所以.（2）法一：取的中點(diǎn)，又，

所以，又平面底面，所以底面，所以，而，所以即為二面角的平面角，，又為直角三角形，，所以，設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得到平面的距離為，且，為直角三角形，，，又，解得，即為中點(diǎn).法二：取的中點(diǎn)，又，

所以，又平面底面，所以底面，又，所以，所以?xún)蓛纱怪?如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系：，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，又平面的一個(gè)法向量為，則，得，即.則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)，則，則，解得，即為中點(diǎn).3．（24-25高三上·湖北·期末）如圖在多面體中，四邊形是菱形，，平面，，(1)若為中點(diǎn)，證明：平面(2)在棱上有一點(diǎn)，且到平面的距離為，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用幾何關(guān)系得到，，即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解點(diǎn)，面之間的距離，即可求解的位置，再利用向量法求解面，面之間的夾角.【詳解】（1）證明：連接交于，連接，是菱形，，且是的中點(diǎn)，且，，，且，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，，又因?yàn)?，且、平面，平面，平面，又平面，，四邊形是菱形，，，，為中點(diǎn)，，又因?yàn)?，且、平面，平面；?），平面，平面且，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得到，，故平面的一個(gè)法向量為，在棱上，設(shè)，點(diǎn)到平面的距離，，故，又，，設(shè)平面的法向量為，，取，得y2，z2，故平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，，綜上，二面角的正弦值為4．（2024高三上·福建廈門(mén)·期中）如圖，在四棱錐中，，底面為直角梯形，，，，為線段上一點(diǎn).(1)若，求證：平面；(2)若，，異面直線與成角，二面角的余弦值為，在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離為，若存在請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)線段上存在點(diǎn)，為靠近或靠近的三等分點(diǎn)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，通過(guò)證明四邊形為平行四邊形得出，然后利用線面平行的判定定理即可得出結(jié)論；（2）證明出平面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，并以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法結(jié)合二面角的余弦值為，求出的值，再利用空間中點(diǎn)到直線的距離公式即可得出結(jié)論.【詳解】（1）（1）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，∵，∴，∴，∴，∵，∴，所以四邊形為平行四邊形，則，∵平面，平面，∴平面；（2）由異面直線與成角，即，∵，，∴平面，∵，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為，、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，可得平面的一個(gè)法向量為，由于二面角的余弦值為，則，解得，則，假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離為，設(shè)，∴，則，∴，，∴點(diǎn)到直線的距離為，解得或，所以線段上存在點(diǎn)，為靠近或靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，使得點(diǎn)到直線的距離為.5．（24-25高三上·遼寧·階段練習(xí)）如圖，在四棱臺(tái)中，平面平面.(1)求證：；(2)求平面與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）連接，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得四邊形為平行四邊形可得答案；（2）做交與點(diǎn)，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的一個(gè)法向量，由二面角的向量求法可得答案；（3）求出平面的一個(gè)法向量、點(diǎn)到平面的距離，設(shè)，根據(jù)與共線得，再由點(diǎn)到平面的距離求出，最后再求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）連接，因?yàn)椋?，所以，所以四點(diǎn)在同一平面上，又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以，可得四邊形為平行四邊形，所以；?）因?yàn)?，，，，所以四邊形是等腰梯形，做交與點(diǎn)，可得，所以，且，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)向量為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，得，所以，設(shè)向量為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，得，所以，，設(shè)平面與平面所成角的為，所以；（3）由（2）建立的空間直角坐標(biāo)系，得，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，得，所以，則點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)，則，因?yàn)榕c共線，，可得，，所以點(diǎn)到平面的距離為，解得，或（舍去），此時(shí)，，所以點(diǎn)到平面的距離.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用向量共線求出點(diǎn)的坐標(biāo).題型5翻折問(wèn)題一、翻折問(wèn)題的兩個(gè)解題策略1、確定翻折前后變與不變的關(guān)系：畫(huà)好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決2、確定翻折后關(guān)鍵點(diǎn)的位置：所謂的關(guān)鍵點(diǎn)，是指翻折過(guò)程中運(yùn)動(dòng)變化的點(diǎn)．因?yàn)檫@些點(diǎn)的位置移動(dòng)，會(huì)帶動(dòng)與其相關(guān)的其他的點(diǎn)、線、面的關(guān)系變化，以及其他點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化．只有分析清楚關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，才能以此為參照點(diǎn)，確定其他點(diǎn)、線、面的位置，進(jìn)而進(jìn)行有關(guān)的證明與計(jì)算一、解答題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在中，B=90°，AB=4，BC=2，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿著DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，連接PB，PC，得到四棱錐P-BCED，如圖2所示，設(shè)平面平面PBC=l.(1)求證：平面PBD；(2)若點(diǎn)B到平面PDE的距離為，求平面PEC與平面PBD夾角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理、線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理進(jìn)行證明.（2）利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理以及空間向量、平面與平面的夾角公式進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所?因?yàn)镈，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，所以，所以DE⊥BD，DE⊥PD.又BD，平面PBD，，所以DE⊥平面PBD.因?yàn)?，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.又平面PDE，平面平面，所以，所以平面PBD.（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為F.由（1）可知，平面PDE⊥平面PBD.又平面平面PBD=PD，所以BF⊥平面PDE，所以點(diǎn)B到平面PDE的距離即為BF的長(zhǎng)，則.在中，，所以.又BD=PD=2，所以是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.取BD的中點(diǎn)O，連接OP，則，.由（1）可知，DE⊥平面PBD.又平面PBD，所以DE⊥OP.又，BD，平面BCED，所以O(shè)P⊥平面BCED.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB，DE所在直線分別為x軸、y軸，且以過(guò)點(diǎn)D與OP平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以，，.設(shè)平面PEC的法向量為，則令，得，，所以是平面PEC的一個(gè)法向量.易知是平面PBD的一個(gè)法向量，所以，所以平面與平面夾角的正弦值為.2．（24-25高三上·廣西河池·階段練習(xí)）如圖1，平面圖形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，點(diǎn)是中點(diǎn)，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．(1)當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；(2)在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)（不與，重合），求二面角的余弦值的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得點(diǎn)到平面的距離.（2）設(shè)，求得點(diǎn)坐標(biāo)，表示出二面角的余弦值，再求其范圍.【詳解】（1）∵，，∴．點(diǎn)是中點(diǎn)，，∴，結(jié)合折疊前后圖形的關(guān)系可知，∵二面角為直二面角，則側(cè)面底面，側(cè)面底面，∴平面，易知，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，則，，，，，∴，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，則為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離．（2）設(shè)點(diǎn)滿足（）．∵，∴，∴，∴．設(shè)平面的法向量為，又∵，，∴，取，則，，取為平面的一個(gè)法向量．易知平面的一個(gè)法向量為，二面角的余弦值為，由，所以，則，所以二面角的余弦值的取值范圍為.3．（23-24高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖：等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，，．將三角形沿著折起，使之成為四棱錐．點(diǎn)滿足，點(diǎn)在棱上，滿足．且．(1)求到平面的距離；(2)求面與面夾角的余弦值；(3)點(diǎn)在面的正射影為點(diǎn)，求與平面夾角的正弦值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，利用勾股定理證得，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得解；（2）分別求出兩平面的法向量，求出兩法向量夾角的余弦值，即可得解；（3）先確定點(diǎn)的位置，再利用向量法求解即可.【詳解】（1）在中，，由余弦定理得，所以，所以，即，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，因?yàn)椋?，解得，則，故，所以，設(shè)，由，得，解得，即，所以到平面的距離為；（2），設(shè)平面得法向量為，則有，可取，設(shè)平面得法向量為，則有，可取，則，所以面與面夾角的余弦值為；（3）因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)辄c(diǎn)在面的正射影為點(diǎn)，所以平面，所以，所以在上，，則，故，則，則，所以與平面夾角的正弦值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.題型6立體幾何中的新定義問(wèn)題面對(duì)新情景、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與已知的立體幾何知識(shí)相結(jié)合。明確解題目標(biāo)后，靈活運(yùn)用基本定理和性質(zhì)，如平行、垂直的判定與性質(zhì)，以及空間角、距離的計(jì)算公式。在解題過(guò)程中，合理構(gòu)造輔助線和面，以揭示隱藏的空間關(guān)系，簡(jiǎn)化問(wèn)題。對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，可嘗試建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行計(jì)算和證明。同時(shí)，要善于將空間問(wèn)題平面化，通過(guò)截面、投影等方式轉(zhuǎn)化求解對(duì)象。最后，解題后要進(jìn)行驗(yàn)證和反思，確保結(jié)論的正確性，并總結(jié)所使用的方法和技巧，以便在未來(lái)遇到類(lèi)似問(wèn)題時(shí)能夠迅速應(yīng)對(duì)一、解答題1．（24-25高三上·江西上饒·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，定義：過(guò)點(diǎn)，且方向向量為的直線的點(diǎn)方向式方程為；過(guò)點(diǎn)，且法向量為的平面的點(diǎn)法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．(1)已知直線的點(diǎn)方向式方程為，平面的一般式方程為，求直線與平面所成角的余弦值；(2)已知平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，若，證明：；(3)已知斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)給出的結(jié)論，得到直線的方向向量和平面的法向量，利用空間向量求直線與平面所成的角的余弦值.（2）求平面與交線的方向向量和平面的法向量，利用向量的方法，證明直線與平面平行.（3）分別求平面與平面的法向量，利用空間向量求平面角的余弦值.【詳解】（1）由直線的點(diǎn)方向式方程為可知直線的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為由平面的一般式方程為可知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，所以有，所以，即直線與平面所成角的余弦值為．（2）由平面可知平面的一個(gè)法向量為，由平面可知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)兩平面交線的方向向量為，則，令，則，可得，由平面可知平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，即，且，所以．?）因平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，可得，設(shè)側(cè)面所在平面的法向量為則，令，解得，可得，由平面可知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的交線（即直線）的方向向量為，則，令，則，，可得，由平面可知平面的一個(gè)法向量為，由，則，解得，即，故平面與平面夾角的余弦值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于理解題中給出的結(jié)論，并能利用結(jié)論解決問(wèn)題.2．（24-25高三下·甘肅白銀·階段練習(xí)）空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫(huà)空間的彎曲性，規(guī)定：①多面體頂點(diǎn)的曲率等于減去多面體在該點(diǎn)處所有面角之和；②多面體的總曲率等于多面體所有頂點(diǎn)的曲率之和，多面體各頂點(diǎn)的平均曲率等于它的總曲率與頂點(diǎn)數(shù)之商，其中多面體的面的內(nèi)角叫作多面體的面角，角度用弧度制．例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．(1)如圖1，已知四棱錐的底面ABCD為菱形，，O為BD的中點(diǎn)，且平面ABCD，．①求該四棱錐在頂點(diǎn)P處的曲率的余弦值；②求二面角的平面角的正弦值；(2)瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他對(duì)簡(jiǎn)單多面體進(jìn)行研究后，提出了著名的歐拉定理：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E與面數(shù)F滿足．請(qǐng)運(yùn)用歐拉定理解決下列問(wèn)題：碳60（）具有超導(dǎo)特性、抗化學(xué)腐蝕性