2025版高考數(shù)學一輪復習第八章立體幾何第3講空間點直線平面之間的位置關(guān)系配套課時作業(yè)理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第3講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系配套課時作業(yè)1．(2024·甘肅蘭州診斷)已知直線m，n和平面α，則m∥n的一個必要條件是()A．m∥α，n∥α B．m⊥α，n⊥αC．m∥α，n?α D．m，n與平面α成等角答案D解析A中，m，n可以都和平面垂直，必要性不成立；B中，m，n可以都和平面平行，必要性不成立；C中，n不肯定在平面內(nèi)，必要性不成立；D中，m，n平行，則m，n與α成的角肯定相等，但反之假如兩直線m，n與α成的角相等則不肯定平行，所以是必要不充分條件，故選D.2．(2024·黑龍江大慶模擬)有以下三種說法，其中正確的是()①若直線a與平面α相交，則α內(nèi)不存在與a平行的直線；②若直線b∥平面α，直線a與直線b垂直，則直線a不行能與α平行；③直線a，b滿意a∥b，則a平行于經(jīng)過b的任何平面．A．①② B．①③C．②③ D．①答案D解析對于①，若直線a與平面α相交，則α內(nèi)不存在與a平行的直線，是真命題，故①正確；對于②，若直線b∥平面α，直線a與直線b垂直，則直線a可能與α平行，故②錯誤；對于③，若直線a，b滿意a∥b，則直線a與直線b可能共面，故③錯誤．故選D.3．(2024·山東泰安模擬)有兩條不同的直線m，n與兩個不同的平面α，β，下列命題正確的是()A．m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m∥nC．m∥α，n⊥β，且α⊥β，則m∥nD．m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥n答案A解析對于A，由m⊥α，n∥β，且α∥β得m⊥n，故正確；對于B，由m⊥α，n⊥β，α⊥β得m⊥n，故錯誤；對于C，由m∥α，n⊥β，且α⊥β，得m∥n或m，n相交或異面，故錯誤；對于D，由m∥α，n∥β，且α∥β得m，n的關(guān)系可以是相交或平行或異面，故錯誤．故選A.4．已知a，b，c為三條不重合的直線，已知下列結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.其中正確的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案B解析解法一：在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，并且相交或異面時不肯定垂直，所以①②錯誤，③明顯成立．解法二：構(gòu)造長方體或正方體模型可快速推斷，①②錯誤，③正確．故選B.5．如圖，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過()A．點A B．點BC．點C但不過點M D．點C和點M答案D解析∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.依據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上．同理可知，點C也在γ與β的交線上．故選D.6．(2024·泉州模擬)設a，b是互不垂直的兩條異面直線，則下列命題成立的是()A．存在唯始終線l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯始終線l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a?α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a?α，且b⊥α答案C解析a，b是互不垂直的兩條異面直線，把它放入正方體中如圖，由圖可知A不正確；由l∥a，且l⊥b，可得a⊥b，與題設沖突，故B不正確；由a?α，且b⊥α，可得a⊥b，與題設沖突，D不正確．故選C.7．如圖，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是()答案C解析A，B中PQ綊RS，D中直線PQ與RS相交(或RP∥SQ)，即直線PQ與RS共面，均不滿意條件；C中的直線PQ與RS是兩條既不平行，又不相交的直線，即直線PQ與RS是異面直線．故選C.8．(2024·大連模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段C1D，BC的中點，則直線A1B與直線EFA．相交 B．異面C．平行 D．垂直答案A解析直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．9．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1A．A1C1∥平面ABCD B．AC1⊥C．AC1與CD成45°角 D．A1C1與B1答案C解析選項A，B，D明顯正確，對于選項C，CD∥C1D1，故∠AC1D1為AC1與CD所成角，易得tan∠AC1D1＝eq\r(2)≠1，C錯誤．故選C.10．一個正方體的綻開圖如圖所示，A，B，C，D為原正方體的頂點，則在原來的正方體中()A．AB∥CDB．AB與CD相交C．AB⊥CDD．AB與CD所成的角為60°答案D解析將綻開圖還原，得如圖所示正方體，易知AB與CD是異面直線，且它們所成的角為60°.故選D.11．(2024·天津模擬)如圖所示，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ與CB的延長線交于點M，RQ與DB的延長線交于點N，RP與DC的延長線交于點K.給出以下說法：①直線MN?平面PQR；②點K在直線MN上；③M，N，K，A四點共面．其中說法正確的是________．答案①②③解析由題意知，M∈PQ，N∈RQ，K∈RP，從而點M，N，K∈平面PQR.所以直線MN?平面PQR，故①正確．同理可得點M，N，K∈平面BCD.從而點M，N，K在平面PQR與平面BCD的交線上，即點K在直線MN上，故②正確．因為A?直線MN，從而點M，N，K，A四點共面，故③正確．12．如圖是正四面體的平面綻開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．答案②③④解析將正四面體的平面綻開圖復原為正四面體A(B，C)－DEF，如圖：對于①，G，H分別為DE，BE的中點，則GH∥AD，而AD與EF異面，故GH與EF不平行，故①錯誤；對于②，BD與MN為異面直線，正確(假設BD與MN共面，則A，D，E，F(xiàn)四點共面，與ADEF為正四面體沖突，故假設不成立，故BD與MN異面)；對于③，依題意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF＝60°，故GH與MN成60°角，故③正確；對于④，連接GF，A點在平面DEF的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE與MN垂直，故④正確．綜上所述，正確命題的序號是②③④.13．下列如圖所示的正方體和正四面體中，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形是________(填全部滿意條件圖形的序號)．答案①②③解析易知①③中PS∥QR，所以四點共面．在②中構(gòu)造如圖所示的含點P，S，R，Q的正六邊形，易知四點共面．在④中，由點P，R，Q確定平面α，由圖象視察知點S在平面α外，因此四點不共面．綜上知，故填①②③.14.如圖，在三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別為AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是______．答案eq\f(7,8)解析如圖所示，連接DN，取線段DN的中點K，連接MK，CK.∵M為AD的中點，∴MK∥AN，∴∠KMC(或其補角)為異面直線AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點，由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2eq\r(2)，∴MK＝eq\r(2).在Rt△CKN中，CK＝eq\r(\r(2)2＋12)＝eq\r(3).在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝eq\f(\r(2)2＋2\r(2)2－\r(3)2,2×\r(2)×2\r(2))＝eq\f(7,8)，所以異面直線AN，CM所成的角的余弦值是eq\f(7,8).15．如圖所示，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點．(1)求證：AE與PB是異面直線；(2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱錐A－EBC的體積．解(1)證明：假設AE與PB共面，設平面為α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即為平面ABE，∴P∈平面ABE，這與P?平面ABE沖突，∴AE與PB是異面直線．(2)取BC的中點F，連接EF，AF，則EF∥PB，所以∠AEF或其補角就是異面直線AE和PB所成角．∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝eq\r(3)，AE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(2)，cos∠AEF＝eq\f(2＋2－3,2×\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,4)，∴異面直線AE和PB所成角的余弦值為eq\f(1,4).(3)因為E是PC的中點，所以E到平面ABC的距離為eq\f(1,2)PA＝1，VA－EBC＝VE－ABC＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(3)))×1＝eq\f(\r(3),3).16．(2024·黃石市第三中學月考)如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點．(1)求四棱錐O－ABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值．解(1)由已知可求得正方形ABCD的面積S＝4，所以四棱錐O－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)如圖，連接AC，設線段AC的中點為E，連接ME，DE.又M為OA中點，所以ME∥OC，則∠EMD(或其補角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知可得DE＝eq\r(2)，EM＝eq\r(3)，MD＝eq\r(5)，因為(eq\r(2))2＋(eq\r(3))2＝(eq\r(5))2，所以△DEM為直角三角形，所以tan∠EMD＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).所以異面直線OC與MD所成角的正切值為eq\f(\r(6),3).17．(2024·邯鄲一中模擬)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為2，A1在底面ABC內(nèi)的射影O為底面△ABC(1)連接BC1，求異面直線AA1與BC1所成角的大??；(2)連接A1C，A1B，求三棱錐C1－BCA1解(1)連接AO，并延長與BC交于點D，則D是BC邊的中點．∵點O是正△ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，∴BC⊥AD，BC⊥A1O.∵AD∩A1O＝O，∴BC⊥平面ADA1.∴BC⊥AA1.又AA1∥CC1，∴異面直線AA1與BC1所成的角為∠BC1C∵CC1⊥BC，即四邊形BCC1B1為正方形，∴異面直線AA1與BC1所成角的大小為eq\f(π,4).(2)∵三棱柱