湖北省省仙桃市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題（含解析）

湖北省省仙桃市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列求導(dǎo)正確的是（

）A． B．C． D．2．如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則（

）A．2 B．1 C． D．43．的展開式的第7項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B． C． D．4．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．5．學(xué)生甲從8門選修課中任意選擇3門，并從5種課外活動(dòng)小組中選擇2種，不同的選法種數(shù)為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．安排名歌手演出順序時(shí)，要求歌手甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，也不是最后一個(gè)出場(chǎng)，則共有安排方法（

）A．種 B．種 C．種 D．種8．函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．的展開式中，下列說法正確的是（

）A．展開式共10項(xiàng) B．含項(xiàng)的系數(shù)為2016C．無常數(shù)項(xiàng) D．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為51210．某學(xué)校高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有男生4人，女生3人，則下列說法正確的是（

）A．從中選2人，1人做正組長(zhǎng)，1人做副組長(zhǎng)，共有21種不同的選法B．從中選2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中男、女生各1人，共有12種不同的選法C．將這7名學(xué)生排成一排，3位女生排在一起的方法共有720種D．7名學(xué)生排成一排，已知4名男生已排好，現(xiàn)將3名女生插入隊(duì)伍中，則共有210種排法.11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)B．函數(shù)既存在最大值又存在最小值C．若當(dāng)時(shí)，，則的最大值為D．若方程有1個(gè)實(shí)根，則三、填空題（本大題共3小題）12．若，則13．的展開式中，的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)字作答）14．已知直線與曲線相切，則四、解答題（本大題共5小題）15．已知，.(1)求的值；(2)求的值；16．已知函數(shù)在處取得極值.(1)求實(shí)數(shù)，的值(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值17．（1）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）用二項(xiàng)式定理證明可以被100整除.18．已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若，求證：.19．已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案1．【答案】B【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，故D錯(cuò)誤.故選B.2．【答案】D【詳解】由題意可得：，所以.故選D.3．【答案】B【分析】由二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式求解．【詳解】的展開式的第7項(xiàng)為：，則第7項(xiàng)的系數(shù)為：.故選B.4．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，所以在點(diǎn)處，所以在點(diǎn)處的切線方程為，所以切線方程為.故選A.5．【答案】A【詳解】甲從8門選修課中任意選擇3門，共有種選法，從5種課外活動(dòng)小組中選擇2種，共有種選法，所以共有種選法.故選.6．【答案】D【詳解】因?yàn)?，由題意可得：在恒成立，可得在上恒成立，又因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，可得，可得，所以a的范圍為.故選D．7．【答案】C【詳解】安排名歌手演出順序時(shí)，要求歌手甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，也不是最后一個(gè)出場(chǎng)，則甲有種選擇，其余名歌手任意排列，所以，不同的安排方法種數(shù)為種.故選C.8．【答案】B【詳解】，則，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故選B.9．【答案】ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)AD：因?yàn)?，則展開式共10項(xiàng)，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故AD正確；對(duì)于BC：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，可得，則含項(xiàng)的系數(shù)為，故B正確；令，可得，則展開式中有常數(shù)項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；故選ABD.10．【答案】BCD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：從7個(gè)人中選2人，1人做正組長(zhǎng)，1人做副組長(zhǎng)選法共有種，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：從7個(gè)人中選2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中男、女生各1人選法共有種，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：選排3位女生有種情況，再把3位女生看成1個(gè)人與4個(gè)男生一起排列有種情況，共有種情況，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：7名學(xué)生排成一排，共有種情況，已知4名男生已排好，則需要把男生的順序排除，共有種情況，故D正確；故選BCD.11．【答案】AC【詳解】由題意可知：定義域?yàn)?，?duì)于選項(xiàng)A：令，則，解得，所以函數(shù)與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；則的極大值為，極小值為，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，可知函數(shù)有最小值，無最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)楹瘮?shù)有最小值，若當(dāng)時(shí)，，則，所以的最大值為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：方程有1個(gè)實(shí)根等價(jià)于與有1個(gè)不同交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知：，故D錯(cuò)誤.故選AC.12．【答案】7【詳解】因?yàn)?，則，可得，解得.13．【答案】【詳解】由題意可知：含的為，所以的系數(shù)為.14．【答案】【詳解】由題意可知：直線過定點(diǎn)，斜率為，因?yàn)?，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，則切線方程為，代入可得，解得，所以.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，令得?（2）因?yàn)椋?，令得，，令得，，上述兩個(gè)等式相減得，故.16．【答案】(1)，(2)最大值為，最小值為【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以，；（2）由（1）知，所以，令，得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值為，極大值為，又，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.17．【答案】（1）84；（2）證明見解析【詳解】（1）展開式的通項(xiàng)為：，，令得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為；（2）∵，∴能被100整除．18．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，故有極小值，無極大值.（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋瑒t，令，則，故在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以，存在，使得，即，即，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，因此，當(dāng)時(shí)，.19．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）由題意可知：的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，可知在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由得；由得；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解法一：（分離參數(shù)法）由已知得在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立，