湖北省孝感市一般高中協(xié)作體2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

湖北省孝感市一般高中協(xié)作體2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．2．現(xiàn)有3位同學(xué)參加校園文體活動(dòng)，分別從4個(gè)項(xiàng)目中任選一個(gè)參加，不同選法的種數(shù)是（

）A．24 B．12 C． D．3．“”是“成等比數(shù)列”的（

）條件.A．充要 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要4．若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．10 B．10或8 C．8 D．65．已知且，求（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差為且，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．時(shí)，最大 D．10．現(xiàn)有4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的盒子和4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的小球，要求把4個(gè)小球全部放進(jìn)盒子中，則（

）A．沒有空盒子的方法共有24種B．可以有空盒子的方法共有128種C．恰有1個(gè)盒子不放球的方法共有144種D．沒有空盒子且恰有一個(gè)小球放入自己編號(hào)的盒子的方法有8種11．已知函數(shù)，下列命題正確的有（

）A．可能有2個(gè)零點(diǎn)B．一定有極小值，且0是極小值點(diǎn)C．時(shí)，D．若存在極大值點(diǎn)，且，其中，則三、填空題（本大題共3小題）12．某工藝品如圖所示分成五個(gè)區(qū)域.現(xiàn)對(duì)此工藝品進(jìn)行著色，要求相鄰區(qū)域不能使用同一種顏色.現(xiàn)有5種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種（用數(shù)學(xué)作答）.13．已知兩個(gè)等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別是和，其中，則.14．已知函數(shù)，關(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)(1)求曲線在處的切線方程.(2)若直線過且與曲線相切，求直線的方程.16．已知數(shù)列滿足(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.17．有2件次品，4件正品混放在一起（這6件產(chǎn)品均不相同），現(xiàn)對(duì)這6件產(chǎn)品一一進(jìn)行檢測(cè)將其區(qū)分，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出4件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.(1)若恰在第1次檢測(cè)時(shí)，找到第一件次品，且第4次檢測(cè)時(shí)，才找到最后一件次品，則共有多少種不同的抽法？(2)一共抽取了5次，檢測(cè)結(jié)束，有多少種不同的抽法？(3)若至多檢測(cè)4次就能找到所有次品，則共有多少種不同的抽法？(4)若第1次抽到的是次品且第3次抽到的是正品，檢測(cè)結(jié)束時(shí)有多少種不同的抽法？（要求：解答過程要有必要的說明和步驟）18．已知兩個(gè)數(shù)列與，滿足，且(1)求證：是等差數(shù)列.(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和19．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性.(2)若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

參考答案1．【答案】B【詳解】由題意可知題干數(shù)列是交替出現(xiàn)，故其通項(xiàng)公式可以寫成或利用三角函數(shù)來(lái)寫，對(duì)于A，的第一項(xiàng)為，不符合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，即為，對(duì)應(yīng)的余弦值為，符合題意，故B正確；對(duì)于C，的前兩項(xiàng)依次為，不符合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的第一項(xiàng)為，不符合題意，故D錯(cuò)誤；故選B.2．【答案】D【詳解】由題意可知每位同學(xué)均有4種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同選法的種數(shù)為.故選D.3．【答案】D【詳解】充分性：若，a或b為0時(shí)，，但此時(shí)不能構(gòu)成等比數(shù)列，充分性不成立；必要性：若成等比數(shù)列，則，即，必要性不成立.故選D.4．【答案】B【詳解】由組合數(shù)的性質(zhì)可知或，解得或.故選B.5．【答案】C【詳解】由，得，則，故.故選C6．【答案】A【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在上恒成立，又，所以問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，則，故，即，所以的最小值為：.故選A.7．【答案】C【詳解】因?yàn)楹愠闪ⅲ詳?shù)列是遞減數(shù)列，又?jǐn)?shù)列滿足，所以，，即，即，解得.故選C.8．【答案】B【詳解】由可得，設(shè)，，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，由可得，即，即，解得，所以不等式的解集為.故選B.9．【答案】ABD【詳解】在等差數(shù)列中，由，可得異號(hào)，若，由，則，不滿足題意，則，故A正確；由于，則數(shù)列為遞減數(shù)列，所以，故B正確；由于時(shí)，；時(shí)，，所以時(shí)，最大，故C錯(cuò)誤；又，，故D正確.故選ABD.10．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A：4個(gè)球全放4個(gè)盒中，沒有空盒子的放法共種，A正確；對(duì)于B：可以有空盒子，有4個(gè)球，每個(gè)球有4種放法，共種，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：恰有1個(gè)空盒子，說明另外3個(gè)盒子都有球，而球共4個(gè)，必然有1個(gè)盒子中放了2個(gè)球，先將4個(gè)盒中選1個(gè)作為空盒，再將4個(gè)球中選出2個(gè)球綁在一起，再排列共種，C正確；對(duì)于D：恰有一個(gè)小球放入自己編號(hào)的盒中，從4個(gè)盒4個(gè)球中選定一組標(biāo)號(hào)相同得球和盒子，另外3個(gè)球3個(gè)盒標(biāo)號(hào)不能對(duì)應(yīng)，則共種，故D正確．故選ACD.11．【答案】BD【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，為二次函數(shù)，由拋物線性質(zhì)可知存在極小值點(diǎn)，極小值為，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可求得導(dǎo)函數(shù)，令，得或，當(dāng)時(shí)，可求得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，故此時(shí)存在極小值點(diǎn)，極小值為，存在極大值點(diǎn)，極大值為；當(dāng)時(shí)，可求得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，故此時(shí)存在極小值點(diǎn)，極小值為，存在極大值點(diǎn)，極大值為；對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，而極小值為，所以只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵诤蜕蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而極大值為，極小值為，所以只有1個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由以上分析，不論取何值，一定有極小值，且0是極小值點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞減，又，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由上述分析可知，則，由題意知，即，此方程已有一根，故可因式分解為，解得與相異的根，則，故D正確；故選BD.12．【答案】420【詳解】第一類：先涂A，有5種情況，涂B，有4種情況，涂C，有3種情況，D與B同色，涂E，有3種情況，共有種.第二類：先涂A，有5種情況，涂B，有4種情況，涂C，有3種情況，D與B不同色，有2種情況，涂E，有2種情況，共有種.綜上共有420種.13．【答案】/2.2【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的性質(zhì)可知，同理，所以.14．【答案】【詳解】由題意得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，又時(shí)，，時(shí)，，可知函數(shù)的圖象如下圖所示，令，，由方程有三個(gè)不等的實(shí)根，即有兩個(gè)不等的實(shí)根，即有兩個(gè)不等的實(shí)根，且一個(gè)根小于0，另一個(gè)根在內(nèi)，令，，則有兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)為，則，所以不妨令，則，，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，則，，則所求的切線方程為：，即（2）由，設(shè)切點(diǎn)為，則，切線方程為：又在切線上，則，得.所以的方程為：，即16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題干條件，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，與已知式子相減得，因?yàn)?，所以，又也符合上式，故；?）由已知得，故.17．【答案】(1)24(2)384(3)90(4)168【詳解】（1）第1次和第4次為次品，第2，3次測(cè)試為正品：共有種.（2）一共抽取5次結(jié)束，則前4次有1次為次品剩下3次為正品，第5次是正品：種，前4次有1次為次品剩下3次為正品，第5次是次品：種，共有種（3）第1，2次測(cè)出次品結(jié)束：前2次有1次測(cè)出次品，第3次測(cè)出次品結(jié)束：前3次有1次測(cè)出次品，第4次測(cè)出次品結(jié)束：共有種-（4）①最終以正品結(jié)束，則共抽5次，則第1次為次品，其余均為正品，共有種；②最終以次品結(jié)束，則分三種情況：共抽4次，則第1，4次為次品，第2，3次為正品，共有種；共抽5次，則第1，5次為次品，第2，3，4次為正品，共有種；共抽6次，則第1，6次為次品，第2，3，4，5次為正品，共有種；共有：種18．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由知.則，，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，，相減得：，，得.19．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）的定義域?yàn)椋畹芒佼?dāng)時(shí)，恒成立，則無(wú)遞增區(qū)間，遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，，令，得，令得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和；