第五章 5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)教學(xué)課件

5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)第五章三角函數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的含義.

③會(huì)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期、單調(diào)區(qū)間及最值.學(xué)習(xí)重難點(diǎn)

課堂導(dǎo)入問(wèn)題類比以往對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，你認(rèn)為應(yīng)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的哪些性質(zhì)?觀察它們的圖象，你能發(fā)現(xiàn)它們具有哪些性質(zhì)?

探究一周期性課堂探究函數(shù)的周期一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)__________，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x+T∈D，且_____________，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).__________叫做這個(gè)函數(shù)的周期.非零常數(shù)T

f(x＋T)＝f(x)

非零常數(shù)T

課堂探究

最小的正數(shù)

最小正周期

sinx

cosx

周期

2π

探究一周期性課堂探究

課堂探究解

(1)?x∈R，有3sin(x+2π)=3sinx.由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為2π.(2)令z=2x，由x∈R得z∈R，且y=cosz的周期為2π，即cos(z+2π)=cosz，于是cos(2x+2π)=cos2x，所以cos2(x+π)=cos2x，x∈R.由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為π.

課堂探究

由以上的解答過(guò)程，探究：這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)?

課堂探究歸納新知

探究二奇偶性課堂探究

思考：知道一個(gè)函數(shù)具有周期性和奇偶性，對(duì)研究它的圖象與性質(zhì)有什么幫助?奇函數(shù)偶函數(shù)課堂探究

奇

原點(diǎn)

偶

y軸

歸納新知課堂探究

【做一做】A課堂探究

【做一做】課堂探究類題通法判斷函數(shù)的奇偶性必須先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.如果是，再看f(x)與f(?x)的關(guān)系，進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性.如果不是，則該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù).判斷三角函數(shù)的奇偶性有時(shí)可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡(jiǎn)后再判斷.探究三單調(diào)性課堂探究

圖①1

x

πy

探究三單調(diào)性課堂探究sinx的值的變化情況如下表所示.x↗0↗↗π↗sinx?1010?1

↗↘↗↘增減1

x

πy

探究三單調(diào)性課堂探究

類似地，觀察余弦函數(shù)在一個(gè)周期區(qū)間(如[?π，π])上函數(shù)值的變化規(guī)律，將看到的函數(shù)值的變化情況填入下表.探究三單調(diào)性課堂探究x?π↗↗0↗↗πcosx?1010?1↗↗↘↘由此可得，余弦函數(shù)y=cosx，x∈[?π，π]，在區(qū)間_________上單調(diào)遞增，其值從?1增大到1；在區(qū)間_________上單調(diào)遞減，其值從1減小到?1.[?π，0][0，π]

x

π?πy探究三單調(diào)性課堂探究由余弦函數(shù)的周期性可得，余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間_____________________上都單調(diào)遞增，其值從?1增大到1；余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間_____________________上都單調(diào)遞減，其值從1減小到?1.[(2k?1)π，2kπ](k∈Z)[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)課堂探究

正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性歸納新知函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間單調(diào)遞減區(qū)間y=sinxy=cosx

[(2k?1)π，2kπ](k∈Z)[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

x=__________________時(shí)取得最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)

x=__________________時(shí)取得最小值?1；余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

x=__________________時(shí)取得最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)

x=__________________時(shí)取得最小值?1.探究四最大值與最小值課堂探究從上述對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性的討論中容易得到：

2kπ(k∈Z)2(k+1)π(k∈Z)課堂探究①正弦、余弦函數(shù)圖象上最大值處一般稱為波峰，最小值處稱為波谷.②正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都不是定義域上的單調(diào)函數(shù).③正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形.知識(shí)拓展課堂探究例2

下列函數(shù)有最大值、最小值嗎?如果有，請(qǐng)寫出取最大值、最小值時(shí)自變量x的集合，并求出最大值、最小值.(1)y=cosx+1，x∈R； (2)y=?3sin2x，x∈R.

課堂探究

例2

下列函數(shù)有最大值、最小值嗎?如果有，請(qǐng)寫出取最大值、最小值時(shí)自變量x的集合，并求出最大值、最小值.(1)y=cosx+1，x∈R； (2)y=?3sin2x，x∈R.課堂探究

分析可利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小.為此，先用誘導(dǎo)公式將已知角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，然后再比較大小.課堂探究

課堂探究

函數(shù)y=sinxy=cosx圖象定義域值域周期性奇偶性課堂探究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)對(duì)比RR

最小正周期為2π最小正周期為2π1

x

π?πy1

x

πy

奇函數(shù)偶函數(shù)課堂探究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)對(duì)比函數(shù)y=sinxy=cosx單調(diào)性在每一個(gè)閉區(qū)間

上都單調(diào)遞增，在每一個(gè)閉區(qū)間

上都單調(diào)遞減在每一個(gè)閉區(qū)間

上都單調(diào)遞增；在每一個(gè)閉區(qū)間

上都單調(diào)遞減最值當(dāng)x=

時(shí)取得最大值1，當(dāng)x=

時(shí)取得最小值?1當(dāng)x=

時(shí)取得最大值1，當(dāng)x=

時(shí)取得最小值?1對(duì)稱性對(duì)稱中心為

；對(duì)稱軸為直線

x=

.對(duì)稱中心為

；對(duì)稱軸為直線

x=

.

[(2k?1)π，2kπ](k∈Z)[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)

2kπ(k∈Z)(2k+1)π(k∈Z)

評(píng)價(jià)反饋解析

(1)舉反例，sin(40°+60°)≠sin40°，所以60°不是正弦函數(shù)y=sinx的一個(gè)周期.(2)根據(jù)周期函數(shù)的定義知，該說(shuō)法正確.(3)因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.√

××評(píng)價(jià)反饋

D評(píng)價(jià)反饋