知識解讀：拋物線

1/3拋物線知識解讀一、知識梳理1.拋物線的定義平面內(nèi)與一定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。拋物線定義可以從以下幾個方面理解、掌握。（1）拋物線定義還可敘述為“平面內(nèi)與一定點和一條定直線的距離的比等于1的軌跡叫做拋物線。”（2）定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”，一個動點，設為；一個定點，叫做拋物線的焦點；一條定直線，叫做拋物線的準線；一個定值，即點與點的距離和它到直線的距離之比等于1.（3）定點不在定直線上，否則動點的軌跡不是拋物線，而是過點垂直于直線的一條直線，如：到點和到直線的距離相等的點的軌跡方程為，軌跡是一條直線。2.拋物線的四種標準方程和幾何性質(zhì)標準方程圖形焦點坐標準線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點離心率對于拋物線的標準方程和性質(zhì)理解時注意以下幾點：（1）的幾何意義：焦參數(shù)是焦點到準線的距離，所以恒為正數(shù)；（2）準線與坐標軸的交點與拋物線焦點關(guān)于原點對稱。（3）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑。（4）拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線。二、知識深度分析1.解讀拋物線標準方程的結(jié)構(gòu)特征由于拋物線的焦點與其準線存在著四種不同的位置關(guān)系，故其標準方程有四種形式：、。相同點：①拋物線都過原點；②準線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上，且關(guān)于原點對稱。它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的，即。不同點：①圖形關(guān)于軸對稱時，為一次項，為二次項；圖形關(guān)于軸對稱時，為一次項，為二次項。②開口方向在軸（或軸）正向時，焦點在軸（或軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在軸（或軸）負向時，焦點在軸（或軸）負半軸時，方程右端取負號。2.關(guān)于拋物線的幾個結(jié)論設是過拋物線焦點的弦，過點的直線的傾斜角為，是拋物線上任意一點，則（1）以為直徑的圓必與準線相切；（2）兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值。即；（3）焦半徑（拋物線上一點與拋物線焦點的線段）為；（4）焦點弦；（5）焦點三角形面積為；（6）若點在拋物線或的內(nèi)部（含焦點區(qū)域），則或；（7）當增大時，也增大，故拋物線只位于半個平面內(nèi)，且無限延伸，但它不是雙曲線的一支，不存在漸近線。三、方法總結(jié)1.拋物線的標準方程有四種情況，求拋物線標準方程常用的方法是待定系數(shù)法或軌跡法，為避免開口不確定而討論帶來的麻煩，可設拋物線標準方程為或，若，則開口向右；若，則開口向左；若，則開口向上；若，則開口向下。2.拋物線定義的一個重要用途是用定義作轉(zhuǎn)化，即將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，它是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)，合理的轉(zhuǎn)化往往會帶來解題的簡捷，避免解繁瑣的方程組，起到事半功倍的作用。3.在研究拋物線問題時，應根據(jù)定形條件與定位條件，先畫出拋物線的大致草圖，然后結(jié)合方程具體研究，以避免因圖形模糊而出現(xiàn)的差錯。4.破解直線與拋物線位置關(guān)系思路是，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去一個變量得到關(guān)于另一個變量的一元二次方程，為避免繁雜運算，常用“設而不求”的方法，即先設出交點坐標，然后借助韋達定理去簡化運算，但要保證交點的存在性（即）。5.在解決拋物線與其相交弦的中點、斜率、軌跡等相關(guān)問題時，可先設出弦的端點坐標（用參數(shù)表示），代入拋物線方程，所得兩式相減后，再運用中點坐