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文檔簡(jiǎn)介

第10章重積分及其應(yīng)用10.

4

重積分的應(yīng)用重積分可用來(lái)

空間立體的體積

重積分在計(jì)算空間曲面的面積和

計(jì)算平面區(qū)域的面積、10.4.1曲面的面積在第6章中我們?cè)枚ǚe分計(jì)算旋轉(zhuǎn)曲面的面積,面積的計(jì)算則需借助于二重積分.

而一般光滑曲面因而在曲面上

下面用微元法求曲面面積

每一點(diǎn)處都存在切平面和法線.

在區(qū)域D上任取微小區(qū)域dσ(其面積仍記為dσ),

過(guò)點(diǎn)M作曲面S的切平面,

該切平面被柱面截下切平面微元ΔΠ

可用ΔΠ近似代替ΔS,即

則ΔΠ與dσ的關(guān)系為

或可以證明

由此得到光滑曲面S的面積計(jì)算公式

類似地,當(dāng)曲面S的方程為x=x(y,z)時(shí),

其中

D'

和

D″分別是曲面S在坐標(biāo)面Oyz和Ozx上的投影區(qū)域.

例10-4-1

的面積S.解

它在坐標(biāo)面Oxy上的投影D是圓域x2+y2≤ax的部分;

因此所截下部分由公式②得到曲面S1的面積(仍記為S1)為

而上半球面的面積元素為

在第一象限

由對(duì)稱性可知所求面積為

它在點(diǎn)P(x,y)處的面密度為μ(x,y),設(shè)一薄板位于平面區(qū)域D上,且μ(x,y)是D上的連續(xù)函數(shù),現(xiàn)在來(lái)求薄板的重心G(xG,yG).

10.4.2

物體的重心dm關(guān)于y軸和x軸的靜力矩分別為

dMy=xμ(x,y)dσ,

于是,

整塊薄板關(guān)于y軸和x軸的靜力矩分別為

若平面薄板D的密度為常數(shù)μ,

體密度為μ(x,y,z)的空間物體Ω的重心G(xG,yG,zG)的坐標(biāo)為

若空間物體Ω的密度為常數(shù)μ,則由⑦式得到

例10-4-2

設(shè)均勻橢圓薄板解

求該薄板的重心坐標(biāo).

因此由公式⑥得*例10-4-3與該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)球體{(x,y,z)|x2+y2+z2≤2az}中任一點(diǎn)的密度解的距離成正比,求該球體的重心坐標(biāo).密度函數(shù)為其中k是比例常數(shù).因此它的重心G位于z軸上,

xG=yG=0,

由于該球體的質(zhì)量分布關(guān)于z軸對(duì)稱,即在

由此求得本節(jié)的重點(diǎn)是利用重積分來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題,所用的方法仍是第6章即若所求的量U對(duì)于平面區(qū)域D(或空間區(qū)域Ω)具有代數(shù)可加性,所介紹的定積分應(yīng)用中的微元法,U在相應(yīng)部分的微元可表示為

(或dU=f(x,y,z

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