2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章空間幾何體1.3.1柱體錐體臺體的表面積與體積課時作業(yè)含解析新人教A版必修2

PAGEPAGE11.3.1柱體、錐體、臺體的表面積與體積A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．若圓錐的正視圖是正三角形，則它的側(cè)面積是底面積的(C)A.eq\r(2)倍 B．3倍C．2倍 D．5倍[解析]設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則由題意知，l＝2r，于是S側(cè)＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2.故選C.2．(2024·全國卷Ⅲ理，3)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(A)[解析]視察圖形可知，俯視圖為，故答案為A.3．(2024·大連海灣高級中學(xué)高一檢測)圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為(A)A．eq\f(3,4)π B．eq\f(3,4)C．eq\f(4,3)π D．eq\f(4,3)[解析]球的半徑為1，圓柱的高的一半為eq\f(1,2)，設(shè)圓柱底面半徑為R，∴R2＋(eq\f(1,2))2＝12，∴R2＝eq\f(3,4)，故圓柱的體積為πR2·h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3,4)π.4．(2024·本溪一中高一期末)已知某幾何體的三視圖如圖所示，主視圖和左視圖是腰長為a的等腰直角三角形，俯視圖是邊長為a的正方形，則該幾何體的體積為(A)A．eq\f(1,6)a3 B．eq\f(1,3)a3C．eq\f(1,2)a3 D．eq\f(2,3)a3[解析]由三視圖可得幾何體為三棱錐，底面為等腰直角三角形，底面面積為eq\f(1,2)a2，三棱錐的高也為a，故三棱錐體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,6)a3.5．如圖，點M，N分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中點，用過點A，M，N和點D，N，C1的兩個截面截去正方體的兩個角后得到的幾何體的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖依次為(B)A．①③④ B．②③④C．①②③ D．②④③[解析]由三視圖性質(zhì)可得B.6．(2024·浙江卷，3)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(C)A．2 B．4C．6 D．8[解析]依據(jù)三視圖可得幾何體為一個直四棱柱，高為2，底面為直角梯形，上下底分別為1,2，梯形的高為2，因此幾何體的體積為eq\f(1,2)×(1＋2)×2×2＝6.選C.二、填空題7．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正三角形，則該幾何體的表面積為_24＋2eq\r(3)_.[解析]該幾何體是三棱柱，且兩個底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面是全等的矩形，且矩形的長是4，寬是2，所以該幾何體的表面積為2×(eq\f(1,2)×2×eq\r(3))＋3×(4×2)＝24＋2eq\r(3).8．(2024·天津卷文，12)已知四棱錐的底面是邊長為eq\r(2)的正方形，側(cè)棱長均為eq\r(5).若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_eq\f(π,4)_.[解析]如圖所示，在四棱錐V－ABCD中，O為正方形ABCD的中心，也是圓柱下底面的中心，由四棱錐底面邊長為eq\r(2)，可得OC＝1.設(shè)M為VC的中點，過點M作MO1∥OC交OV于點O1，則O1即為圓柱上底面的中心．∴O1M＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(1,2)，O1O＝eq\f(1,2)VO.∵VO＝eq\r(VC2－OC2)＝2，∴O1O＝1.可得V圓柱＝π·O1M2·O1O＝π×(eq\f(1,2))2×1＝eq\f(π,4).三、解答題9．如圖所示的幾何體是一棱長為4cm的正方體，若在其中一個面的中心位置上，挖一個直徑為2cm、深為1cm的圓柱形的洞，求挖洞后幾何體的表面積是多少？(π取3.14)[解析]正方體的表面積為4×4×6＝96(cm2)，圓柱的側(cè)面積為2π×1×1≈6.28(cm2)，則挖洞后幾何體的表面積約為96＋6.28＝102.28(cm2)．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．(2024·浙江，3)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(A)A．eq\f(π,2)＋1 B．eq\f(π,2)＋3C．eq\f(3π,2)＋1 D．eq\f(3π,2)＋3[解析]由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個底面為直角邊長是eq\r(2)的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體，∴該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)π×12×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×3＝eq\f(π,2)＋1.故選A.2．(2024·永春一中高一期末)已知某個幾何體的三視圖如圖(主視圖中的弧線是半圓)，依據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個幾何體的體積是(B)A．8＋eq\f(2π,3)cm3 B．8＋πcm3C．12＋eq\f(2π,3)cm3 D．12＋πcm3[解析]由三視圖可知幾何體上半部分是半圓柱，下半部分是正方體，故此幾何體體積為V＝eq\f(π×12,2)×2＋2×2×2＝8＋π(cm3)．3．(2024·全國卷Ⅰ理，7)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如下圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(B)A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2[解析]依據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處，所以所求的最短路徑的長度為eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，故選B.4．(2024·全國卷Ⅰ理，7)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為(B)A．10 B．12C．14 D．16[解析]視察三視圖可知該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長為2.三棱錐的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，高為2，如圖所示．因此該多面體各個面中有2個梯形，且這兩個梯形全等，梯形的上底長為2，下底長為4，高為2，故這些梯形的面積之和為2×eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝12.故選B.二、填空題5．已知圓柱OO′的母線l＝4cm，全面積為42πcm2，則圓柱OO′的底面半徑r＝_3__cm.[解析]圓柱OO′的側(cè)面積為2πrl＝8πr(cm2)，兩底面積為2×πr2＝2πr2(cm2)，∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，∴圓柱的底面半徑為3cm.6．已知斜三棱柱的三視圖如圖所示，該斜三棱柱的體積為_2__.[解析]由三視圖可知，斜三棱柱的底面三角形的底邊長為2，高為1，斜三棱柱的高為2，故斜三棱柱的體積為V＝eq\f(1,2)×2×1×2＝2.7．(2024·全國卷Ⅲ文，16)學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD－A1B1C1D1挖去四棱錐O－EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_118.8__g.[解析]由題知挖去的四棱錐的底面是一個菱形，對角線長分別為6cm和4cm，故V挖去的四棱錐＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×6×3＝12(cm3)．又V長方體＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的體積為V長方體－V挖去的四棱錐＝144－12＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g)．三、解答題8．如圖在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為eq\r(3)的圓柱，求圓柱的表面積．[解析]設(shè)圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，表面積為S.則R＝OC＝2，AC＝4，AO＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).如圖所示易知△AEB∽△AOC，∴eq\f(AE,AO)＝eq\f(EB,OC)，即eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(r,2)，∴r＝1，S底＝2πr2＝2π，S側(cè)＝2πr·h＝2eq\r(3)π.∴S＝S底＋S側(cè)＝2π＋2eq\r(3)π＝(2＋2eq\r(3))π.9．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，截下一個棱錐C－A1DD1，求棱錐C－A1DD1的體積與剩余部分的體積之比．[解析]設(shè)矩形ADD1A1的面積為