2022年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽(預(yù)賽)暨 2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽(B1卷)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1令a1=7t,d=-2t，從而2.在平面直角坐標(biāo)系中，圓Ω的方程為x2+y2-20x-22y-2022=0，則圓Ω的面積答案：2243π.解：易知Ω:(x-10)2+(y-11)2=2022+102+112=2243.3.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)擲兩次，則后一次所得點(diǎn)數(shù)不小于前一次所得點(diǎn)數(shù)的概率得點(diǎn)數(shù)為k時(shí)，第二次擲骰子所得點(diǎn)數(shù)不小于k的情況數(shù)為7-k.4.設(shè)a,β∈R，若tan(a+β)=2,tan(a+2β)=3，則tana的值為.解得tana=.5.設(shè)z0為復(fù)數(shù)，集合A={z0+ik|k∈Z}（i為虛數(shù)單位若A的所有元素之和為8+8i，則A的所有元素之積為.2答案：-65.k的值分別為1,i,-1,-i，故A={z0+1,z0+i,z0-1,z0-i}.由于A的所有元素之和為8+8i，即4z0=8+8i，故z0=2+2i.所以A的所有元素之積為(3+2i)×(2+3i)×(1+2i)×(2+i)=-65.中點(diǎn)分別為M,N，則異面直線BN與C1M所成的角的余弦值為解：連接AN，則AN||C1M，故異面直線BN與C1M所成的角為上ANBAMCBNBNC1A1C1B1不妨設(shè)正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2．在△ANB中，顯然有AB=2,，又由BB1丄平面A1B1C1知BB1丄B1N，故BN=由余弦定理得7.設(shè)實(shí)數(shù)k,l,m滿足：函數(shù)y=(x+1)(x2+kx+l)的圖像有對(duì)稱中心(1,0)，且與函數(shù)y=x3+m的圖像有公共點(diǎn)，則k+l+m的取值范圍是.解：記f(x)=(x+1)(x2+kx+l)．由y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，可知f(1)=0，又由f(-1)=0得f(3)=0，故f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)=(x+1)(x2-4x+3)，即k=-4,l=3.根據(jù)題意，方程(x+1)(x2+kx+l)=x3+m有實(shí)數(shù)解，即方程3x2+x+(m-3)=0有實(shí)數(shù)解，這等價(jià)于判別式△=1-12≥0，即m≤.名選手做一項(xiàng)調(diào)研，要求任意兩所學(xué)校被抽中的選手?jǐn)?shù)之和至少為1、至多為3，則不同的抽答案：837.解：將四所學(xué)校被抽中的選手?jǐn)?shù)從小到大依次記為a,b,c,d(a≤b≤c≤d)，則有a+b≥1,c+d≤3．故b≥1（否則a=b=0，矛盾）且c≤1（否則c+d≥2c≥4，矛盾于是必有b=c=1．此時(shí)a只能為0或1，d只能為1或2.乘法原理知有C×(C)3=108種抽選方式.當(dāng)(a,b,c,d)=(1,1,1,1)時(shí)，每所學(xué)三校各1名選手，共C×C×(C)3=324種抽選方式.3被抽中，再于第二所學(xué)校抽2名選手，剩下兩校各抽1名選手，有P×C×(C)2=324種抽選方式.綜上，滿足條件的抽選方式數(shù)為108+81+324+324=837.9.（本題滿分20分）解方程：lg10x=lg(x2)-1.解：顯然x>0．原方程等價(jià)于1+lgx=2lgx-1．……………5分當(dāng)lgx≤-1時(shí)，方程化為-(1+lgx)=-2lgx-1，即lgx=0，舍去．……………10分當(dāng)-1<lgx≤0時(shí)，方程化為1+lgx=-2lgx-1，即lgx=-得.……………15分當(dāng)lgx>0時(shí)，方程化為1+lgx=2lgx-1，即lgx=2，得x=100.綜上，原方程的解為或x=100．……………20分10.（本題滿分20分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，x軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B滿足OB-OA=2022，拋物線Γ:y2=4x上一點(diǎn)P滿足PA丄AB，過點(diǎn)P作Γ的切線l，記點(diǎn)B到直線l的距離為d．求d的最小值，并求出當(dāng)d取到最小值時(shí)數(shù)量積PA.PB的值.解：設(shè)A(t,0),B(t+2022,0)，t>0.由于PA丄AB，可設(shè)P(t,u)，其中P在Γ上，故u2=4t.切線l的方程為uy=2(x+t)，即2x-uy+2t=0．……………5分點(diǎn)B到直線l的距離為……………10分當(dāng)，即t=1009時(shí)，d取到最小值41010.2此時(shí)PA.PB=PA.(PA+AB)=PA=u2=4t=4036．……………20分并設(shè)S(a,b,c)能取到的最小值為m0.(1)證明：當(dāng)a,b,c均為正數(shù)時(shí)，S(a,b,c)>m0；(2)求所有非負(fù)實(shí)數(shù)組(x,y,z)，使得S(x,y,z)=m0.解：(1)不妨設(shè)c=min{a,b,c}>0，則將a,b,c同時(shí)減去c，得三個(gè)兩兩不同的非負(fù)實(shí)數(shù)a￠=a-c,b￠=b-c,c￠=0，此時(shí)40，從而S(a,b,c)>m0．……………10(2)設(shè)S(x,y,z)=m0．由(1)知x,y,z中有一個(gè)為零，不妨設(shè)z=0，則其中x,y為兩個(gè)不相等的正數(shù).假如x<y，則S<0，故S<m0，矛盾．所以x>y．設(shè)x=λy(λ>1)，則利用基本不等式得由輪換性，滿足條件的所有非負(fù)實(shí)數(shù)組(x,y,z)為(2t,t,0),(0,2t,t),(t,0,2t)，其中t>0.12.（本題滿分40分）對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，將形如na+2(n+1)b-2(n+2)c（a,b,c為正整數(shù)）的整數(shù)稱為“n-有趣數(shù)”.(1)判斷2022是否為2-有趣數(shù)，說明理由；(2)求所有正整數(shù)n，使得存在兩個(gè)n-有趣數(shù)互為相反數(shù).解：(1)由于211+2.31-2.42=2048+6-32=2022，故2022為2-有趣數(shù).(2)考慮n-有趣數(shù)na+2(n+1)b-2(n+2)c模n+1的余數(shù)，有na+2(n+1)b-2(n+2)c三(-1)a-2三-1,-3(mod(n+1)).若這些數(shù)中存在兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則或有(-1)+(-1)三0(mod(n+1))，或有(-1)+(-3)三0(mod(n+1))，或有(-3)+(-3)三0(mod(n+1))，從而n+1只可能為2,3,4,6，na+2(n+1)b-2(n+2)c三1+0-2三-1(mod4)，這樣的數(shù)中不存在兩個(gè)互為相反數(shù)．當(dāng)