2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課件(山東省專用)17 第一部分 第三章 第四節(jié) 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第四節(jié)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)第一部分基礎(chǔ)復(fù)習(xí)·突破核心第三章函數(shù)鏈接教材基礎(chǔ)過關(guān)考點一二次函數(shù)的概念一般的，形如_______________(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)．y＝ax2＋bx＋c考點二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與性質(zhì)

a>0a<0圖象開口方向向__向__頂點坐標(biāo)

上下

a>0a<0對稱軸直線x＝______增減性最值

減小增大增大減小小大2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與系數(shù)的關(guān)系a決定拋物線的開口方向及開口大?。寒?dāng)a＞0時，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下a，b左右c決定拋物線與____交點的位置：當(dāng)c＞0時，拋物線與y軸的交點在______上；當(dāng)c＝0時，拋物線經(jīng)過____；當(dāng)c＜0時，拋物線與y軸的交點在______上b2－4ac決定拋物線與____的交點個數(shù)：當(dāng)b2－4ac＞0時，拋物線與x軸有__個交點；當(dāng)b2－4ac＝0時，拋物線與x軸有__個交點；當(dāng)b2－4ac＜0時，拋物線與x軸__交點y軸正半軸原點負半軸x軸21無考點三二次函數(shù)的表達式與平移1．二次函數(shù)的表達式(1)一般式：______________(a，b，c為常數(shù)，a≠0)．(2)頂點式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，其中二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是______，對稱軸是________．(3)交點式：若已知拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為(x1，0)，(x2，0)，則拋物線的表達式為y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．y＝ax2＋bx＋c(h，k)直線x＝h2．拋物線的平移拋物線平移前后的形狀不變，開口方向和大小都不變，拋物線平移前后的頂點遵循“左__右__，上__下__”的規(guī)律．加減加減考點四二次函數(shù)與一元二次方程及不等式1．二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．當(dāng)Δ＝b2－4ac__0時，方程有兩個不等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝b2－4ac__0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝b2－4ac__0時，方程無實數(shù)根．>

＝<

2．二次函數(shù)與不等式拋物線y＝ax2＋bx＋c在x軸上方部分點的縱坐標(biāo)都為正，所對應(yīng)的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x軸下方部分點的縱坐標(biāo)均為負，所對應(yīng)的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．

√

2．(魯教版九上P84做一做改編)已知函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k，其中a＜0，h＞0，k＜0，則下列圖象正確的是(

)√D

[∵y＝a(x－h(huán))2＋k，a＜0，∴圖象開口向下，A、B選項錯誤；∵對稱軸為直線x＝h＞0，頂點坐標(biāo)(h，k)，k＜0，∴C選項錯誤，D選項正確．故選D．]3．二次函數(shù)y＝2x2＋3x＋1的圖象與x軸交點的個數(shù)為(

)A．0 B．1C．2 D．1或2√C

[∵b2－4ac＝32－4×2×1＝1＞0，∴二次函數(shù)y＝2x2＋3x＋1的圖象與x軸有兩個不同的交點．故選C．]4．(魯教版九上P93例3改編)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，當(dāng)x＝－1時，y＝10；當(dāng)x＝1時，y＝4；當(dāng)x＝2時，y＝7．則y與x之間的關(guān)系是________________．

y＝2x2－3x＋55．若A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)為二次函數(shù)y＝x2＋4x－5圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是_________________．y2＜y1＜y3

[∵A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)為二次函數(shù)y＝x2＋4x－5圖象上的三點，∴y1＝1－4－5＝－8，y2＝4－8－5＝－9，y3＝1＋4－5＝0，∵－9＜－8＜0，∴y2＜y1＜y3．]y2＜y1＜y3考點突破對點演練

√

∵圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)是2，∴c＝2，∴a－b＋2＜0，∴b－a＞2，故④錯誤．故選B．]

[對點演練]1．(2020·泰安)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋b(a≠0)與一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象可能是(

)√C

[對于A，∵二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在y軸右側(cè)，∴a＞0，b＜0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、三、四象限，且與二次函數(shù)圖象交于y軸負半軸的同一點，故A錯誤；對于B，∵二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在y軸左側(cè)，∴a＜0，b＜0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限，且與二次函數(shù)圖象交于y軸負半軸的同一點，故B錯誤；對于C，∵二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在y軸右側(cè)，∴a＞0，b＜0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、三、四象限，且與二次函數(shù)圖象交于y軸負半軸的同一點，故C正確；對于D，∵二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在y軸右側(cè)，∴a＞0，b＜0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、三、四象限，且與二次函數(shù)圖象交于y軸負半軸的同一點，故D錯誤．故選C．]

x－2－101y0466√

3．(2021·泰安)如圖是拋物線y＝ax2＋bx＋c的部分圖象，圖象過點(3，0)，對稱軸為直線x＝1，有下列四個結(jié)論：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③y的最大值為3；④方程ax2＋bx＋c＋1＝0有實數(shù)根．其中正確的為________(將所有正確結(jié)論的序號都填入)．②④

∵拋物線與x軸的交點(3，0)，對稱軸為直線x＝1，∴拋物線與x軸的另一個交點為(－1，0)，∴當(dāng)x＝－1時，y＝a－b＋c＝0，即②正確；由圖象無法判斷y的最大值，故③錯誤；方程ax2＋bx＋c＋1＝0的實數(shù)根的個數(shù)，可看作二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與y＝－1的圖象的交點個數(shù)，由圖象可知，必然有2個交點，即方程ax2＋bx＋c＋1＝0有2個不相等的實數(shù)根，故④正確．故答案為②④．]

【教師備選資源】1．(2023·泰安)二次函數(shù)y＝－x2－3x＋4的最大值是________．

2．(2020·泰安)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的y與x的部分對應(yīng)值如下表：

下列結(jié)論：①a＞0；②當(dāng)x＝－2時，函數(shù)最小值為－6；③若點(－8，y1)，點(8，y2)在二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2；④方程ax2＋bx＋c＝－5有兩個不相等的實數(shù)根．其中，正確結(jié)論的序號是________．(把所有正確結(jié)論的序號都填上)x－5－4－202y60－6－46①③④

B

[y＝－x2－2x＋3＝－(x2＋2x)＋3＝－[(x＋1)2－1]＋3＝－(x＋1)2＋4，∵將拋物線y＝－x2－2x＋3向右平移1個單位，再向下平移2個單位，∴得到的拋物線表達式為y＝－x2＋2，當(dāng)x＝－2時，y＝－(－2)2＋2＝－2，故(－2，2)不在此拋物線上，故A選項不合題意；命題點2二次函數(shù)圖象的平移【典例2】

(2021·泰安)將拋物線y＝－x2－2x＋3向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到的拋物線必定經(jīng)過(

)A．(－2，2) B．(－1，1)

C．(0，6) D．(1，－3)√當(dāng)x＝－1時，y＝－(－1)2＋2＝1，故(－1，1)在此拋物線上，故B選項符合題意；當(dāng)x＝0時，y＝－02＋2＝2，故(0，6)不在此拋物線上，故C選項不合題意；當(dāng)x＝1時，y＝－12＋2＝1，故(1，－3)不在此拋物線上，故D選項不合題意．故選B．]歸納總結(jié)

解決拋物線的平移問題，一般有兩種解決方法，一是將問題轉(zhuǎn)化為頂點的平移問題解決；二是直接利用拋物線的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”解決．[對點演練]1．(2024·內(nèi)蒙古包頭)將拋物線y＝x2＋2x向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為(

)A．y＝(x＋1)2－3 B．y＝(x＋1)2－2C．y＝(x－1)2－3 D．y＝(x－1)2－2√A

[y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，將拋物線y＝x2＋2x向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為y＝(x＋1)2－3．故選A．]2．(2024·四川內(nèi)江)已知二次函數(shù)y＝x2－2x＋1的圖象向左平移兩個單位得到拋物線C，點P(2，y1)，Q(3，y2)在拋物線C上，則y1________y2(填“＞”或“＜”)．＜[∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，∴二次函數(shù)y＝x2－2x＋1的圖象向左平移兩個單位得到拋物線C的函數(shù)關(guān)系式為y＝(x－1＋2)2，即y＝(x＋1)2，∵點P(2，y1)，Q(3，y2)在拋物線C上，∴y1＝9，y2＝16，∴y1＜y2．]＜

(2)由題意，∵點B(1，7)向上平移2個單位長度，向左平移m(m＞0)個單位長度，∴平移后的點為(1－m，9)．又(1－m，9)在y＝x2＋x＋3的圖象上，∴9＝(1－m)2＋(1－m)＋3．∴m＝4或m＝－1(舍去)．∴m＝4．

歸納總結(jié)

在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其表達式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其表達式為交點式來求解．[對點演練]1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的頂點是(1，3)，當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大，則拋物線表達式可以是(

)A．y＝－2(x＋1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3

C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝2(x－1)2＋3D

[根據(jù)題意可知拋物線開口向上，又知頂點為(1，3)，根據(jù)拋物線的頂點式，故選D．]√2．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸、y軸分別相交于A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點，則該二次函數(shù)的表達式是__________________．y＝－x2＋2x＋3

[根據(jù)題意設(shè)拋物線表達式為y＝a(x＋1)(x－3)，將點C(0，3)代入，得－3a＝3，解得a＝－1，∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．]y＝－x2＋2x＋33．(北師大版九下例題)已知二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象經(jīng)過點(2，3)和(－1，－3)，求這個二次函數(shù)的表達式．

題號135246879101112131415

課時分層評價卷(十二)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)√題號135246879101112131415

題號135246879101112131415

√題號135246879101112131415

題號135246879101112131415

√題號135246879101112131415

√D

[根據(jù)二次函數(shù)圖象，當(dāng)x＞1時，y1隨著x的增大而減小，同樣當(dāng)x＞1時，反比例函數(shù)y2隨著x的增大而減?。蔬xD．]題號135246879101112131415題號1352468791011121314155．[新定義問題](2024·四川眉山)定義運算：a?b＝(a＋2b)(a－b)，例如4?3＝(4＋2×3)(4－3)，則函數(shù)y＝(x＋1)?2的最小值為(

)A．－21

B．－9

C．－7

D．－5√B

[由題意得，y＝(x＋1)?2＝(x＋1＋2×2)(x＋1－2)＝(x＋5)(x－1)，即y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，∴函數(shù)y＝(x＋1)?2的最小值為－9．故選B．]題號1352468791011121314156．(2024·四川達州)拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標(biāo)大于1，另一個交點的橫坐標(biāo)小于1，則下列結(jié)論正確的是(

)A．b＋c＞1 B．b＝2C．b2＋4c＜0 D．c＜0√題號135246879101112131415A

[∵拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于兩點，分別設(shè)為(x1，0)和(x2，0)，且x1＜1，∴x1－1＜0，x2－1＞0，∴(x1－1)(x2－1)＜0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＜0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，－c－b＋1＜0，∴b＋c＞1．故選A．]題號1352468791011121314157．(2024·湖北)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的頂點坐標(biāo)為(－1，－2)，與y軸的交點在x軸上方，下列結(jié)論正確的是(

)A．a(chǎn)＜0 B．c＜0

C．a(chǎn)－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0√題號135246879101112131415C

[由題意，∵拋物線頂點坐標(biāo)為(－1，－2)，∴可設(shè)拋物線為y＝a(x＋1)2－2．∴y＝a(x2＋2x＋1)－2＝ax2＋2ax＋a－2．又拋物線為y＝ax2＋bx＋c，∴b＝2a，c＝a－2．∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＝a－2＞0．∴a＞2＞0，故A，B均不正確．又拋物線的頂點為(－1，－2)，∴當(dāng)x＝－1時，y＝a－b＋c＝－2，故C正確．由b＝2a，c＝a－2，∴b2－4ac＝4a2－4a(a－2)＝8a＞0，故D錯誤．故選C．]題號1352468791011121314158．[圖表信息題](2024·陜西)已知一個二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的自變量x與函數(shù)y的幾組對應(yīng)值如下表：

則下列關(guān)于這個二次函數(shù)的結(jié)論正確的是(

)A．圖象的開口向上B．當(dāng)x＞0時，y的值隨x值的增大而減小C．圖象經(jīng)過第二、三、四象限D(zhuǎn)．圖象的對稱軸為直線x＝1√x…－4－2035…y…－24－80－3－15…題號135246879101112131415

題號135246879101112131415令y＝0，得－x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，所以拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為(0，0)和(2，0)．又因為拋物線的頂點坐標(biāo)為(1，1)，所以拋物線經(jīng)過第一、三、四象限，故C選項不符合題意．因為二次函數(shù)表達式為y＝－(x－1)2＋1，所以拋物線的對稱軸為直線x＝1，故D選項符合題意．故選D．]題號1352468791011121314159．(2024·濱州)將拋物線y＝－x2先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，則平移后拋物線的頂點坐標(biāo)為________．(1，2)

[將拋物線y＝－x2先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度后，拋物線表達式為y＝－(x－1)2＋2，∴頂點坐標(biāo)為(1，2)．](1，2)題號13524687910111213141510．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(1，m)，(3，n)在拋物線y＝ax2＋bx＋2上，設(shè)拋物線的對稱軸為直線x＝t．(1)當(dāng)m＝2，n＝－4時，求拋物線的表達式；(2)當(dāng)m＝n時，求t的值．

題號135246879101112131415

題號13524687910111213141511．(2024·江蘇揚州)如圖，已知二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A(－2，0)，B(1，0)兩點．(1)求b，c的值；(2)若點P在該二次函數(shù)的圖象上，且△PAB的面積為6，求點P的坐標(biāo)．

題號135246879101112131415

題號135246879101112131415

√題號135246879101112131415B

[∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵對稱軸為直線x＝－1＜0，a，b同號，∴b＞0，∵與y軸的交點B在(0，－2)和(0，－3)之間，∴－3＜c＜－2＜0，∴abc＜0，故①不正確；∵對稱軸為直線x＝－1，且該拋物線與x軸交于點A(1，0)，∴與x軸交于另一點(－3，0)，∵x＝－3，y＝9a－3b＋c＝0，故②不正確；題號135246879101112131415

題號13524687910111213141513．(2024·四川南充)已知拋物線C1：y＝x2＋mx＋m與x軸交于兩點A，B(A在B的左側(cè))，拋物線C2：y＝x2＋nx＋n(m≠n)與x軸交于兩點C，D(C在D的左側(cè))，且AB＝CD．下列四個結(jié)論：①C1與C2交點為(－1，1)；②m＋n＝4；③mn＞0；④A，D兩點關(guān)于(－1，0)對稱．其中正確的結(jié)論是

___________．(填寫序號)①②④題號135246879101112131415①②④

[令x2＋mx＋m＝x2＋nx＋n，解得x＝－1，把x＝－1代入y