2025年九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練圓中相似三角形綜合訓(xùn)練

2025年九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練圓中相似三角形綜合訓(xùn)練1．已知AD為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，切點(diǎn)為M，分別過A，D兩點(diǎn)作BC的垂線，垂足分別為B，C，AD的延長線與BC相交于點(diǎn)E．（1）求證：△ABM∽△MCD；（2）若AD=8，AB=5，求ME的長．2．如圖AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，BP與⊙O相交于點(diǎn)D，C為⊙O上的一點(diǎn)，分別連接CB、CD，∠BCD=60°．（1）求∠ABD的度數(shù)；（2）若AB=6，求PD的長度．3．如圖，AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，點(diǎn)P在BC延長線上，且滿足∠PAC=∠B．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）弦CE⊥AD交AB于點(diǎn)F，若AF?AB=12，求AC的長．4．如圖所示，⊙O的半徑為4，點(diǎn)A是⊙O上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)A；P是⊙O上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作PB⊥l于點(diǎn)B，交⊙O于點(diǎn)E，直徑PD延長線交直線l于點(diǎn)F，點(diǎn)A是的中點(diǎn)．（1）求證：直線l是⊙O的切線；（2）若PA=6，求PB的長．5．如圖，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CE∥AB，與過點(diǎn)A的切線相交于點(diǎn)E，連接AD．（1）求證：AD=AE；（2）若AB=6，AC=4，求AE的長．6．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D，且交⊙O于點(diǎn)E．連接OC，BE，相交于點(diǎn)F．（1）求證：EF=BF；（2）若DC=4，DE=2，求直徑AB的長．7．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD=90°，點(diǎn)E在BC的延長線上，且∠DEC=∠BAC．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AC∥DE，當(dāng)AB=8，CE=2時，求AC的長．8．如圖，AB是⊙M的直徑，BC是⊙M的切線，切點(diǎn)為B，C是BC上（除B點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，連接CM交⊙M于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作DC⊥BC交BG的延長線于點(diǎn)D，連接AG并延長交BC于點(diǎn)E．（1）求證：△ABE∽△BCD；（2）若MB=BE=1，求CD的長度．9．如圖，P是⊙O外的一點(diǎn)，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，PO交AB于點(diǎn)F，延長BO交⊙O于點(diǎn)C，交PA的延長交于點(diǎn)Q，連結(jié)AC．（1）求證：AC∥PO；（2）設(shè)D為PB的中點(diǎn)，QD交AB于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為3，CQ=2，求的值．10．如圖，AB是⊙O的直徑，=，E是OB的中點(diǎn)，連接CE并延長到點(diǎn)F，使EF=CE．連接AF交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，BF．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若OB=2，求BD的長．11．已知：AB為⊙O的直徑，延長AB到點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的切線，切點(diǎn)為C，連接AC，且AC=CP．（1）求∠P的度數(shù)；（2）若點(diǎn)D是弧AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E，且DE?DC=20，求⊙O的面積．（π取3.14）12．如圖，AG是∠HAF的平分線，點(diǎn)E在AF上，以AE為直徑的⊙O交AG于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作AH的垂線，垂足為點(diǎn)C，交AF于點(diǎn)B．（1）求證：直線BC是⊙O的切線；（2）若AC=2CD，設(shè)⊙O的半徑為r，求BD的長度．13．如圖，CD是⊙O的切線，點(diǎn)C在直徑AB的延長線上．（1）求證：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的長．24．如圖，點(diǎn)P是⊙O的直徑AB延長線上一點(diǎn)，且AB=4，點(diǎn)M為上一個動點(diǎn)（不與A，B重合），射線PM與⊙O交于點(diǎn)N（不與M重合）．（1）當(dāng)M在什么位置時，△MAB的面積最大，并求出這個最大值；（2）求證：△PAN∽△PMB．15．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)（不與O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于點(diǎn)C，作直徑CD，過點(diǎn)C的切線交DB的延長線于點(diǎn)P，作AF⊥PC于點(diǎn)F，連接CB．（1）求證：AC平分∠FAB；（2）求證：BC2=CE?CP；（3）當(dāng)AB=4且=時，求劣弧的長度．16．如圖，已知BC⊥AC，圓心O在AC上，點(diǎn)M與點(diǎn)C分別是AC與⊙O的交點(diǎn)，點(diǎn)D是MB與⊙O的交點(diǎn)，點(diǎn)P是AD延長線與BC的交點(diǎn)，且=．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）若AD=12，AM=MC，求的值．參考答案1.【解答】（1）證明：∵AD為圓O的切線，∴∠AMD=90°，∵∠BMC=180°，∴∠2+∠3=90°，∵∠ABM=∠MCD=90°，∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3，則△ABM∽△MCD；（2）解：連接OM，∵BC為圓O的切線，∴OM⊥BC，∵AB⊥BC，∴sin∠E==，即=，∵AD=8，AB=5，∴=，即OE=16，根據(jù)勾股定理得：ME===4．2．【解答】解：（1）方法一：如圖1，連接AD．∵BA是⊙O直徑，∴∠BDA=90°．∵=，∴∠BAD=∠C=60°．∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣60°=30°．方法二：如圖2，連接DA、OD，則∠BOD=2∠C=2×60°=120°．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=（180°﹣120°）=30°．即∠ABD=30°．（2）如圖1，∵AP是⊙O的切線，∴∠BAP=90°．在Rt△BAD中，∵∠ABD=30°，∴DA=BA=×6=3．∴BD=DA=3．在Rt△BAP中，∵cos∠ABD=，∴cos30°==．∴BP=4．∴PD=BP﹣BD=4﹣3=．3．【解答】（1）∵AD是⊙O的直徑∴∠ACD=90°；∴∠CAD+∠D=90°∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，∴∠CAD+∠PAC=90°，∴∠PAD=90°，∴PA⊥AD，∵點(diǎn)A在⊙O上，∴PA是⊙O的切線（2）∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAD=90°，∵∠CAD+∠D=90°，∴∠D=∠ACF，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=∠CAF，∴△ABC∽△ACF，∴，∴AC2=AF?AB∵AF?AB=12，∴AC2=12，∴AC=2．4．【解答】（1）證明：連接DE，OA．∵PD是直徑，∴∠DEP=90°，∵PB⊥FB，∴∠DEP=∠FBP，∴DE∥BF，∵=，∴OA⊥DE，∴OA⊥BF，∴直線l是⊙O的切線．（2）解：作OH⊥PA于H．∵OA=OP，OH⊥PA，∴AH=PH=3，∵OA∥PB，∴∠OAH=∠APB，∵∠AHO=∠ABP=90°，∴△AOH∽△PAB，∴=，∴=，∴PB=．5．【解答】（1）證明：∵AE與⊙O相切，AB是⊙O的直徑，∴∠BAE=90°，∠ADB=90°，∵CE∥AB，∴∠E=90°，∴∠E=∠ADB，∵在△ABC中，AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵∠BAC+∠EAC=90°，∠ACE+∠EAC=90°，∴∠BAC=∠ACE，∴∠BCA=∠ACE，又∵AC=AC，∴△ADC≌△AEC（AAS），∴AD=AE；（2）解：設(shè)AE=AD=x，CE=CD=y，則BD=（6﹣y），∵△AEC和△ADB為直角三角形，∴AE2+CE2=AC2，AD2+BD2=AB2，AB=6，AC=4，AE=AD=x，CE=CD=y，BD=（6﹣y）代入，解得：x=，y=，即AE的長為．6．【解答】（1）證明：∵OC⊥CD，AD⊥CD，∴OC∥AD，∠OCD=90°，∴∠OFE=∠OCD=90°，∵OB=OE，∴EF=BF；（2）∵∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∵∠OCD=∠CFE=90°，∴四邊形EFCD是矩形，∴EF=CD，DE=CF，∵DC=4，DE=2，∴EF=4，CF=2，設(shè)⊙O的為r，∵∠OFB=90°，∴OB2=OF2+BF2，即r2=（r﹣2）2+42，解得，r=5，∴AB=2r=10，即直徑AB的長是10．7．【解答】解：（1）如圖，連接BD，∵∠BAD=90°，∴點(diǎn)O必在BD上，即：BD是直徑，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵點(diǎn)D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；（2）∵DE∥AC，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC，∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴CD=4，在Rt△BCD中，BD==4同理：△CFD∽△BCD，∴，∴，∴CF=，∴AC=2AF=．8．【解答】（1）證明：∵BC為⊙M切線∴∠ABC=90°∵DC⊥BC∴∠BCD=90°∴∠ABC=∠BCD∵AB是⊙M的直徑∴∠AGB=90°即：BG⊥AE∴∠CBD=∠A∴△ABE∽△BCD（2）解：過點(diǎn)G作GH⊥BC于H∵M(jìn)B=BE=1∴AB=2∴AE=由（1）根據(jù)面積法AB?BE=BG?AE∴BG=由勾股定理：AG=，GE=∵GH∥AB∴∴∴GH=又∵GH∥AB①同理：②①+②，得∴∴CD=9．【解答】（1）證明：∵PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，∴PA=PB，且PO平分∠BPA，∴PO⊥AB．∵BC是直徑，∴∠CAB=90°，∴AC⊥AB，∴AC∥PO；（2）解：連結(jié)OA、DF，如圖，∵PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，∴∠OAQ=∠PBQ=90°．在Rt△OAQ中，OA=OC=3，∴OQ=5．由QA2+OA2=OQ2，得QA=4．在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，∴PA=PB=6，∵OP⊥AB，∴BF=AF=AB．又∵D為PB的中點(diǎn)，∴DF∥AP，DF=PA=3，∴△DFE∽△QEA，∴==，設(shè)AE=4t，F(xiàn)E=3t，則AF=AE+FE=7t，∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，∴==．10．【解答】（1）證明：連接OC，∵AB是⊙O的直徑，=，∴∠BOC=90°，∵E是OB的中點(diǎn)，∴OE=BE，在△OCE和△BFE中，∵，∴△OCE≌△BFE（SAS），∴∠OBF=∠COE=90°，∴直線BF是⊙O的切線；（2）解：∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，∴BF=OC=2，∴AF===2，∴S△ABF=，4×2=2?BD，∴BD=．11．【解答】解：（1）連接OC，∵PC為⊙O的切線，∴∠OCP=90°，即∠2+∠P=90°，∵OA=OC，∴∠CAO=∠1，∵AC=CP，∴∠P=∠CAO，又∵∠2是△AOC的一個外角，∴∠2=2∠CAO=2∠P，∴2∠P+∠P=90°，∴∠P=30°；（2）連接AD，∵D為的中點(diǎn)，∴∠ACD=∠DAE，∴△ACD∽△EAD，∴=，即AD2=DC?DE，∵DC?DE=20，∴AD=2，∵=，∴AD=BD，∵AB是⊙O的直徑，∴Rt△ADB為等腰直角三角形，∴AB=2，∴OA=AB=，∴S⊙O=π?OA2=10π=31.4．12．【解答】（1）證明：連接OD，∵AG是∠HAF的平分線，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∵∠ACD=90°，∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，∵D在⊙O上，∴直線BC是⊙O的切線；（2）解：在Rt△ACD中，設(shè)CD=a，則AC=2a，AD=a，連接DE，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°，由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，∴△ACD∽△ADE，∴，即，∴a=，由（1）知：OD∥AC，∴=，即，∵a=，解得BD=r．13.【解答】（1）證明：連接OD，如圖所示．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切線，OD是⊙O的半徑，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BDC．（2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴=．∵BD=AD，∴=，∴=，又∵AC=3，∴CD=2．14.【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)M在的中點(diǎn)處時，△MAB面積最大，此時OM⊥AB，∵OM=AB=×4=2，∴S△ABM=AB?OM=×4×2=4；（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB．15．【解答】（1）證明：∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，即AC平分∠FAB．（2）證明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切線，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直徑，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴=，∴BC2=CE?CP；（3）解：作BM⊥PF于M．則CE=CM=CF，設(shè)CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直徑，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴=，∴BM2=CM?PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM==，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°∴的長==π．16．【解答】（1）證明：連接OD、OP、CD．∵=，∠A=∠A，∴△ADM∽△APO，∴∠ADM=∠APO，∴MD∥PO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OM，∴∠3=∠4，∴∠